二元四面体群

数学において、2T または⟨2,3,3⟩と表記される二元四面体群^[2]は、位数24の特定の非可換群である。これは、位数 12 の四面体群T または (2,3,3)を位数 2 の巡回群で拡張したもので、スピン群による特殊直交群の 2:1被覆準同型Spin(3) → SO(3)の下での四面体群の逆像である。したがって、二元四面体群は位数 24 の Spin(3) の離散部分群である。GC Shephardによって 3(24)3または 3[3]3と名付けられた複素反射群は、Coxeterによって提案されたこの群は、二元四面体群と同型です。

二元四面体群は、 Spin(3) ≅ Sp(1) の同型の下で、単位四元数の離散部分群として具体的に記述するのが最も簡単です。ここで、Sp (1)は単位四元数の乗法群です。(この準同型の説明については、四元数と空間回転に関する記事を参照してください。)

明示的には、二元四面体群はフルヴィッツ整数環の単位群として与えられる。このような単位は24個あり、次のように与えられる。

${\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,{\tfrac {1}{2}}(\pm 1\pm i\pm j\pm k)\}}$

あらゆる可能な記号の組み合わせ。

24個の単位はすべて絶対値が1なので、単位四元数群Sp(1)に属します。4次元空間におけるこれらの24個の要素の凸包は、24セルと呼ばれる凸正則4次元多面体を形成します。

2Tで表される2元四面体群は、短完全列に適合する。

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to 2\mathrm {T} \to \mathrm {T} \to 1.}$

この数列はを分解しません。つまり、2T は{±1} と T の半直積ではありません。実際、T と同型の 2T の部分群は存在しません。

二元四面体群は四面体群の被覆群です。四面体群を 4 つの文字の交代群、T ≅ A ₄と考えると、二元四面体群は被覆群、2T ≅ となります。${\displaystyle {\widehat {\mathrm {A} _{4}}}}$

2Tの中心は部分群{±1}である。内部自己同型群はA ₄と同型であり、完全自己同型群はS ₄と同型である。^[3]

二元四面体群は半直積として表すことができる。

${\displaystyle 2\mathrm {T} =\mathrm {Q} \rtimes \mathrm {C} _{3}}$

ここで、Qは8つのリプシッツ単位からなる四元数群であり、C _3はω = − ⁠によって生成される位数3の巡回群である。1/2⁠ (1 + i + j + k )。群 Z _{3 は}共役によって正規部分群 Q に作用します。ωによる共役は、 i、 j、 k を循環的に回転させる Q の自己同型です。

二元四面体群は特殊線型群SL(2,3)と同型であることが示せます。特殊線型群 SL(2,3) は単位行列式を持つ有限体F _{3上のすべての}2 × 2行列の群であり、この同型は射影特殊線型群PSL(2,3) と交代群 A ₄の同型を覆います。

2Tグループの プレゼンテーションは

${\displaystyle \langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{3}=rst\rangle }$

または同等に、

${\displaystyle \langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{3}\rangle .}$

これらの関係を持つ生成器は次のように与えられる。

${\displaystyle r=i\qquad s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(1+i+j-k),}$

と。 ${\displaystyle r^{2}=s^{3}=t^{3}=-1}$

これらの特性を持つケイリー表は、GAP順に並べられた要素であり、

  1 2 r 4 -1 6 7 8 9 10 11 12 13 s 15 16 17 t 19 20 21 22 23 24
  2 6 7 8 9 1 13 s 15 16 17 tr 4 -1 20 21 22 23 10 11 12 24 19
  r 8 -1 10 11 20 23 9 t 12 1 19 s 21 24 7 16 2 4 15 22 13 17 6
  4 16 19 -1 12 13 8 17 23 r 10 1 15 20 21 9 t 7 11 22 6 24 2 秒
 -1 9 11 12 1 15 17 t 2 19 r 4 21 22 6 23 7 8 10 24 13 s 16 20
  6 1 13 秒 15 2 r 4 -1 20 21 22 7 8 9 10 11 12 24 16 17 t 19 23
  7 秒 9 16 17 10 24 15 22 t 2 23 4 11 19 13 20 6 8 -1 12 r 21 1
  8 20 23 9 トライ 21 24 7 16 2 -1 10 11 15 22 13 17 12 1 19 6 4
  9 15 17 t 2 -1 21 22 6 23 7 8 11 12 1 24 13 s 16 19 r 4 20 10
 10 7 4 11 19 s 9 16 17 -1 12 r 24 15 22 t 2 23 1 13 20 6 8 21
 11 t 1 19 r 24 16 2 8 4 -1 10 22 13 20 17 23 9 12 6 s 21 7 15
 12 23 10 1 4 21 t 7 16 11 19 -1 6 24 13 2 8 17 rs 15 20 9 22
 13 4 15 20 21 16 19 -1 12 22 6 24 8 17 23 r 10 1 s 9 t 7 11 2
  10 24 15 22 7 4 11 19 13 20 6 9 16 17 -1 12 r 21 t 2 23 1 8
 15 -1 21 22 6 9 11 12 1 24 13 秒 17 t 2 19 r 4 20 23 7 8 10 16
 16 13 8 17 23 4 15 20 21 9 t 7 19 -1 12 22 6 24 2 r 10 1 s 11
 17 22 2 23 7 19 20 6 s 8 9 16 12 r 10 21 24 15 t 1 4 11 13 -1
  t 24 16 2 8 11 22 13 20 17 23 9 1 19 r 6 s 21 7 4 -1 10 15 12
 19 17 12 r 10 22 2 23 7 1 4 11 20 6 s 8 9 16 -1 21 24 15 t 13
 20 rs 21 24 8 -1 10 11 15 22 13 23 9 t 12 1 19 6 7 16 2 4 17
 21 12 6 24 13 23 10 1 4 秒 15 20 t 7 16 11 19 -1 22 2 8 17 r 9
 22 19 20 6 秒 17 12 r 10 21 24 15 2 23 7 1 4 11 13 8 9 16 -1 t
 23 21 t 7 16 12 6 24 13 2 8 17 10 1 4 s 15 20 9 11 19 -1 22 r
 24 11 22 13 20 t 1 19 r 6 s 21 16 2 8 4 -1 10 15 17 23 9 12 7

1 次要素 (要素 1) が 1 個、2 次要素 ( ) が 1 個、3 次要素が 8 個、4 次要素 ( を含む) が 6 個、6 次要素 (と を含む) が 8 個あります。 ${\displaystyle e_{5}=-1}$${\displaystyle e_{3}=r}$${\displaystyle e_{14}=s}$${\displaystyle e_{18}=t}$

8 つのリプシッツ単位からなる四元数群は、指数3の 2T の正規部分群を形成します。この群と中心 {±1} は、唯一の非自明な正規部分群です。

2Tの他のすべての部分群は、3、4、6の順序を持​​つさまざまな要素によって生成される巡回群です。 ^[4]

四面体群がn単体の回転対称群（SO( n )のサブグループとして）に一般化されるのと同様に、Spin( n ) → SO( n )の被覆から生じる 2 重被覆である対応する高次の二元群が存在します。

n単体の回転対称群は、n  + 1 点の交代群A _{n +1}と見なすことができ、対応するバイナリ群は 2 重被覆群です。A ₆と A ₇ (5 次元と 6 次元単体に対応) を除くすべての高次元では、このバイナリ群は被覆群(最大被覆) であり、超完全ですが、次元 5 と 6 では、例外的に 3 重被覆が追加され、バイナリ群は超完全ではありません。

バイナリ四面体群は、1956年にヤン・ミルズ理論の文脈でチェン・ニン・ヤンらによって使用されました。^{[5]これは、1994年に}ポール・フランプトンとトーマス・ケファート によってフレーバー物理モデルの構築に初めて使用されました。 ^{[6] 2012年には、 [7]この}バイナリ四面体フレーバー対称性を使用して導出された2つのニュートリノ混合角の関係が 実験と一致すること が示さ れました。

• 二元多面体群
• 二項巡回群、⟨ n ⟩、位数 2 n
• 二元二面体群, ⟨2,2, n ⟩, ^[2]位数 4 n
• 二元八面体群, 2O = ⟨2,3,4⟩, ^[2]次数48
• 二元二十面体群, 2I = ⟨2,3,5⟩, ^[2]次数 120

• コンウェイ、ジョン H. ; スミス、デレク A. (2003)。四元数と八元数について。マサチューセッツ州ネイティック: AK ピーターズ社。ISBN 1-56881-134-9。
• Coxeter, HSM & Moser, WOJ (1980)。離散群の生成器と関係、第 4 版。ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 0-387-09212-9。6.5 二元多面体群、p. 68
• 「特殊線型群 SL(2,3)」。