二項巡回群

数学において、n角形の2 元巡回群は、位数 2 nの巡回群であり、巡回群を位数 2 の巡回群で拡張したものと考えられます。Coxeterは、 2 元巡回群を山括弧付きで ⟨ n ⟩ と書き、指数 2 の部分群を ( n ) または [ n ] ^{+ と}書きます。 ${\displaystyle C_{2n}}$${\displaystyle C_{n}}$

これは巡回群に対応する二元多面体群である。 ^[1]

二元多面体群の観点から見ると、二元巡回群は2:1被覆準同型の下での回転巡回群（）の逆像である。${\displaystyle C_{n} (3)}$

${\displaystyle \operatorname {スピン} (3)\to \operatorname {SO} (3)\,}$

特殊直交群のスピン群による。

スピン群のサブグループとして、バイナリ巡回群は、Sp(1)が単位四元数の乗法群である同型の下で、単位四元数の離散サブグループとして具体的に記述できます。（この準同型の説明については、四元数と空間回転に関する記事を参照してください。） ${\displaystyle \operatorname {スピン} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)}$

二元巡回群は、単位元の根の集合、つまり集合 として定義できます。^ここで、 ${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \left\{\omega _{n}^{k}\;|\;k\in \{0,1,2,...,2n-1\}\right\}}$

${\displaystyle \omega _{n}=e^{i\pi /n}=\cos {\frac {\pi }{n}}+i\sin {\frac {\pi }{n}},}$

グループ演算として乗算を使用します。

• 二元二面体群、⟨2,2, n ⟩、位数 4 n
• 二元四面体群、⟨2,3,3⟩、位数24
• 二元八面体群、⟨2,3,4⟩、位数48
• 二元二十面体群、⟨2,3,5⟩、位数 120