射影多面体

幾何学において、（大域的）射影多面体は、実射影平面のモザイク分割である。^[1]これらは、球面多面体（球のモザイク分割）とドーナツ状多面体（トーラスのモザイク分割）の射影類似体である。

射影多面体は楕円タイル張り^[2]や楕円タイル張りとも呼ばれ、球状タイル張り^[3]との類推により、射影平面を（射影）楕円幾何学と呼ぶ。これは「球状多面体」の同義語である。しかし、楕円幾何学という用語は球面幾何学と射影幾何学の両方に適用されるため、多面体に対するこの用語には多少の曖昧さがある。

射影平面の細胞分解として、それらはオイラー特性1 を持ち、球状多面体はオイラー特性 2 を持ちます。修飾語「全体的」は、抽象多面体理論で定義されている局所射影多面体と対比するためのものです。

重なり合わない射影多面体（密度1）は、中心対称性を持つ球面多面体（同様に凸多面体）に対応します。これは、球面多面体との関係および従来の多面体との関係において、以下で詳しく説明および拡張されます。

射影多面体の最もよく知られた例としては、正射影多面体、中心対称な プラトン立体の商、そして2つの無限クラスの偶数二面体と細面体が挙げられる。^[4]

• 半立方体、{4,3}/2
• 半八面体、{3,4}/2
• 半十二面体、{5,3}/2
• 半二十面体、{3,5}/2
• 半二面体、{2p,2}/2、p>=1
• 半細面体、{2,2p}/2、p>=1

これらは、関連する球面多面体を対蹠地図（球面上の反対の点を識別する） で割ることによって取得できます。

一方、四面体には中心対称性がないので、「半四面体」は存在しません。四面体の扱いについては、以下の球状多面体との関係を参照してください。

接頭辞「hemi-」は、対称の中心を通るいくつかの面を持つ均一な多面体である半多面体を指す場合にも使用されることに注意してください。これらは球面多面体を定義しないため（球面上の定義された点にマッピングされない中心を通過するため）、3次元空間（原点を除く）から射影平面への商写像による射影多面体を定義しません。

これらの一様半多面体のうち、四半六面体だけが位相的に射影多面体であり、そのオイラー特性とローマ曲面との視覚的に明らかな接続によって確認できます。これは、立方八面体によって 2 被覆され、球状立方八面体を対蹠写像で割ったものとして実現できます。これは、射影的な唯一の一様 (従来の) 多面体です。つまり、一様従来の多面体としてユークリッド 3 次元空間に浸る唯一の一様射影多面体です。

球面から射影平面への2 対 1 の被覆写像があり、この写像の下では、射影多面体は 中心対称性を持つ球面多面体に対応します。つまり、射影多面体の 2 重被覆は中心対称の球面多面体です。さらに、被覆写像は局所同相写像(この場合は局所等長写像)であるため、球面多面体と対応する射影多面体はどちらも同じ抽象的な頂点図形を持ちます。 ${\displaystyle S^{2}\to \mathbf {RP} ^{2}}$

たとえば、(射影的)半立方体の 2 重被覆は (球面) 立方体です。半立方体には 4 つの頂点、3 つの面、6 つの辺があり、それぞれが球面内の 2 つのコピーで覆われているため、立方体には 8 つの頂点、6 つの面、12 の辺があり、これらの多面体は両方とも 4.4.4 頂点図形 (3 つの正方形が頂点で交わる) を持ちます。

さらに、射影多面体と被覆球面多面体の対称群（等長写像群）は関連しています。射影多面体の対称性は球面多面体の回転対称性と自然に同一視されますが、球面多面体の完全な対称群は、その回転群（射影多面体の対称群）と位数 2 の巡回群 {± I }の積です。詳細と他の次元については、以下の対称群を参照してください。

中心対称性のない球状多面体は、頂点、辺、面の画像が重なり合うため、射影多面体とはみなされません。タイリングの用語では、射影平面の画像は次数 2 のタイリングであり、射影平面を 2 回覆うことを意味します。球面の 2 つの面が射影平面の 1 つの面に対応して 2 回覆うのではなく、球面の各面が射影平面の 1 つの面に対応して 2 回覆うことになります。

射影多面体と中心対称球面多面体との対応は、クラスが射影平面の次数 2 のタイリングを含むように拡張され、その被覆が多面体ではなく、中心対称でない多面体とその中心逆 (2 つの多面体の合成) の多面体合成である場合には、すべての球面多面体 (必ずしも中心対称ではない) を含むガロア接続に拡張できます。これにより、ガロア接続が O(3) と PO(3) の有限部分群のレベルで幾何学化され、その下では、付加は「中心逆との結合」になります。たとえば、四面体は中心対称ではなく、4 つの頂点、6 つの辺、4 つの面、および頂点図 3.3.3 (各頂点で 3 つの三角形が交わる) を持ちます。射影平面におけるその像は、4 つの頂点、6 つの辺（交差）、4 つの面（重なり合う）を持ち、射影平面を 2 度覆います。この被覆は、8 つの頂点、12 の辺、8 つの面を持ち、頂点図 3.3.3 に示すように、2 つの四面体の合成物である星型八面体です 。

抽象多面体の文脈では、代わりに「局所射影多面体」と呼ばれます。抽象多面体: 局所位相を参照してください。たとえば、11 セルは「局所射影多面体」ですが、大域射影多面体ではなく、名前が示すように局所ユークリッドではなく局所射影であるため、実際には多様体をモザイク化しません。

射影多面体は、高次元では、1 つ少ない次元での射影空間のタイル張りとして定義できます。k次元の射影多面体をn次元の射影空間で定義するのは、ユークリッド空間での多面体の通常の定義では点の凸結合を取る必要があるため、やや複雑です。これは射影概念ではなく、文献ではあまり取り上げられていませんが、(Vives & Mayo 1991) などで定義されています。

射影多面体の対称群は、射影直交群POの有限（したがって離散）^{[注 1]}部分群であり、逆に PO のすべての有限部分群は、群の基本領域の像によって与えられた多面体を取ることによって、射影多面体の対称群になります。

関連する次元は以下のとおりである。n次元実射影空間は( n +1)次元ユークリッド空間の射影化であるため、n次元射影空間の射影直交群は次のように表される。 ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {P} (\mathbf {R} ^{n+1}),}$

PO( n +1) = P(O( n +1)) = O( n +1)/{± I }です。

n =2 kが偶数の場合（したがってn +1 = 2 k +1 は奇数）、O(2 k +1) = SO(2 k +1)×{± I } は積として分解されるため、^{[注 2]}となり、射影等長変換群は回転等長変換群と同一視できます。 ${\displaystyle PO(2k+1)=PSO(2k+1)\cong SO(2k+1)}$

したがって、特に射影多面体の対称群は、被覆球面多面体の回転対称群です。球面多面体の完全な対称群は、射影空間への通過の核である原点を通した反射との直積にすぎません。射影平面は向きを変えることができないため、「射影多面体の向きを保存する等長変換」という明確な概念は存在せず、これは PSO(3) = PO(3) という等式に反映されています。

n =2 k + 1 が奇数の場合 、O( n +1) = O(2 k +2) は積として分解されず、したがって射影多面体の対称群は球面多面体の回転対称性ではなく、対応する球面多面体の完全な対称群の 2 対 1 の商です (球面群は射影群の中心拡張です)。さらに、奇数の射影次元 (偶数のベクトル次元) では、は適切な (指数 2) 部分群であるため、方向保存等長変換という明確な概念があります。 ${\displaystyle PSO(2k)\neq PO(2k)}$

たとえば、n  = 1 (多角形) では、 2 r角形の対称性は二面体群Dih _{2 r} (位数 4 r ) で、回転群は巡回群C _{2 r}であり、これらはそれぞれ O(2) と SO(2) のサブグループです。 2 r角形 (円内)の射影化はr角形 (射影直線内) であり、したがって商群、PO(2) と PSO(2) のサブグループは Dih _rとC _rです。スピン群とピン群の平方に対して、同じサブグループの可換平方(Spin(2)、Pin ₊ (2)、SO(2)、O(2)) が発生することに注意してください。ここでは、2 倍の商まで下がるのではなく、2 倍の被覆まで上がります。

最後に、格子定理により、 O( n ) の部分群と PO( n ) の部分群、特に有限部分群の間にはガロア接続が存在します。この接続では、中心対称多面体の対称群は対応する射影多面体の対称群に対応し、中心対称性のない球面多面体の対称群は次数 2 の射影多面体 (射影空間を 2 回覆うタイリング) の対称群に対応します。その被覆 (接続の付加に対応) は、元の多面体とその中心逆の 2 つの多面体の合成物です。

これらの対称群は、バイナリ多面体群と比較対照されるべきである– Pin _± ( n ) → O( n ) が 2 対 1 被覆であるため、バイナリ多面体群と多面体群の間にガロア接続があるのと同様に、O( n ) → PO( n ) は 2 対 1 被覆であるため、部分群間に類似のガロア接続がある。しかし、O( n ) と PO( n ) の離散部分群は、球面多面体と射影多面体の対称群に対応し、幾何学的には被覆写像に対応するが、球面が単連結であるため( の場合)の被覆空間はなく、したがって Pin の部分群が対称群である対応する「バイナリ多面体」は存在しない。 ${\displaystyle S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n},}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$

• 球状多面体
• ドーナツ型多面体