対応定理

群論において、対応定理^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]}（また、格子定理^[9]、および様々かつ曖昧に第3および第4同型定理^{[6] [10]}）は、 が群の正規部分群である場合、を含むの部分群全体の集合から商群の部分群全体の集合への全単射が存在することを述べています。大まかに言えば、 の部分群の構造は、を含むの部分群の構造とまったく同じであり、 は単位元に縮約されます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

具体的には、

Gはグループであり、

${\displaystyle N\triangleleft G}$、Gの正規部分群、

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{A\mid N\subseteq A<G\}}$、 Nを含むGのすべての部分群Aの集合、および

${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{S\mid S<G/N\}}$、 G / Nのすべての部分群の集合、

すると、次のような 全単射写像が存在する。${\displaystyle \phi :{\mathcal {G}}\to {\mathcal {N}}}$

${\displaystyle \phi (A)=A/N}$全ての${\displaystyle A\in {\mathcal {G}}.}$

さらに、 AとBが${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

• ${\displaystyle A\subseteq B}$の場合に限り、${\displaystyle A/N\subseteq B/N}$
• ならば、 はBにおけるAのインデックス（BにおけるAの剰余類bAの数）です。${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle |B:A|=|B/N:A/N|}$${\displaystyle |B:A|}$
• ${\displaystyle \langle A,B\rangle /N=\left\langle A/N,B/N\right\rangle ,}$ここで、の 部分群は、${\displaystyle \langle A,B\rangle }$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A\cup B;}$
• ${\displaystyle (A\cap B)/N=A/N\cap B/N}$、 そして
• ${\displaystyle A}$がの正規部分群である場合、かつ が の正規部分群である場合に限ります。${\displaystyle G}$${\displaystyle A/N}$${\displaystyle G/N}$

このリストは完全なものではありません。実際、部分群のほとんどの特性は、商群の部分群への単射による像でも保持されます。

より一般的には、のサブグループの格子（ を必ずしも含まない）と のサブグループの格子の間には単調なガロア接続 が存在します。 のサブグループの下随伴関数は によって与えられ、のサブグループの上随伴関数は によって与えられます。のサブグループ上の関連する閉包演算子は です。のサブグループ上の関連する核演算子は恒等演算子です。対応定理の証明については、こちらをご覧ください。 ${\displaystyle (f^{*},f_{*})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f^{*}(H)=HN/N}$${\displaystyle K/N}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle f_{*}(K/N)=K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\bar {H}}=HN}$${\displaystyle G/N}$

同様の結果は、環、加群、ベクトル空間、代数にも当てはまります。より一般的には、正規部分群の代わりに合同関係に関する類似の結果が、任意の代数構造に当てはまります。

• モジュラーラティス