二元八面体群

数学において、 2Oまたは⟨2,3,4⟩ ^[1]と呼ばれる二元八面体群は、位数48の特定の非可換群である。これは、位数24のカイラル八面体群Oまたは(2,3,4)を位数2の巡回群で拡張したもので、スピン群による特殊直交群の2:1被覆準同型の下での八面体群の逆像である。したがって、二元八面体群は位数48のスピン(3)の 離散部分群である。 ${\displaystyle \operatorname {スピン} (3)\to \operatorname {SO} (3)}$

二元八面体群は、 Sp(1)が単位四元数の乗法群である同型の下で、単位四元数の離散部分群として具体的に記述するのが最も簡単です。(この準同型の説明については、四元数と空間回転に関する記事を参照してください。) ${\displaystyle \operatorname {スピン} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)}$

明示的には、二元八面体群は24個のフルヴィッツ単位の和集合として与えられる。

${\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,{\tfrac {1}{2}}(\pm 1\pm i\pm j\pm k)\}}$

24個の四元数はすべて

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\pm 1\pm 1i+0j+0k)}$

座標の順列とすべての可能な符号の組み合わせによって表されます。48 個の要素はすべて絶対値 1 を持ち、したがって単位四元数群 Sp(1) に属します。

2 Oで表される二元八面体群は、短い正確な数列に適合する。

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to 2O\to O\to 1.\,}$

この数列はを分解しないので、 2 O はOによる {±1} の半直積ではない。実際、Oと同型の2 Oの部分群は存在しない。

2 Oの中心は部分群 {±1} なので、内部自己同型群はOと同型です。完全自己同型群はO × Z ₂と同型です。

グループ2Oの プレゼンテーションは

${\displaystyle \langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{4}=rst\rangle }$

または同等に、

${\displaystyle \langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{4}\rangle .}$

これらの関係を持つ四元数生成子は次のように与えられる。

${\displaystyle r={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(i+j)\qquad s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i),}$

と${\displaystyle r^{2}=s^{3}=t^{4}=rst=-1.}$

24 個のフルヴィッツ単位からなる二元四面体群2 Tは、指数 2 の正規部分群を形成します。8 個のリプシッツ単位からなる四元数群Q 8は、指数6の2 Oの正規部分群を形成します。商群はS ₃ ( 3 文字の対称群)と同型です。これら 2 つの群は、中心 {±1} とともに、 2 Oの唯一の非自明な正規部分群です。

一般化された四元数群Q 16も2 Oのサブグループ(指数 3) を形成します。このサブグループは自己正規化するため、共役類には 3 つのメンバーがあります。2 Oには、2元二面体群 Q 8 とQ 12の同型コピーもあります。

他のすべてのサブグループは、さまざまな要素（順序3、4、6、8）によって生成される巡回グループです。 ^[2]

二元八面体群は高次元に一般化される。八面体が正方格子に一般化されるのと同様に、SO(3)の八面体群はSO( n )の超八面体群に一般化され、これは写像の下に二元被覆を持つ。${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\to SO(n).}$

• 二元多面体群
• 二元巡回群、⟨ n ⟩、指数 2 n
• 二元二面体群、⟨2,2, n ⟩、指数 4 n
• 二元四面体群、2T=⟨2,3,3⟩、指数 24
• 2元二十面体群、2I=⟨2,3,5⟩、指数120

• Coxeter, HSM & Moser, WOJ (1980)。離散群の生成器と関係、第 4 版。ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 0-387-09212-9。
• コンウェイ、ジョン H. ; スミス、デレク A. (2003)。四元数と八元数について。マサチューセッツ州ネイティック: AK ピーターズ社。ISBN 1-56881-134-9。