ビオ＝サバールの法則

物理学、特に電磁気学において、ビオ・サバールの法則（/ˈbiːoʊsəˈvɑːr /または/ˈbjoʊsəˈvɑːr / ）[ 1 ]は、一定の^電流によって生成^される磁場を記述する方程式^です。これは、磁場を電流の大きさ、方向、長さ、および近接度に関連付けます。

ビオ・サバールの法則は静磁気学の基本法則です。静磁気近似では有効であり、アンペールの周回積分法則とガウスの磁気法則の両方と一致します。^{[ 2 ]}静磁気学が適用されない場合は、ビオ・サバールの法則をジェフィメンコの式に置き換える必要があります。この法則は、1820 年にこの関係を発見したジャン＝バティスト・ビオとフェリックス・サバールにちなんで名付けられました。

方程式

以下の式では、媒体は非磁性（例えば真空）であると仮定しています。これにより、磁場Bを簡単に導出できます。ここでの基本ベクトルはHです。^{[ 3 ]}

電流（閉じた曲線／導線に沿って流れる電流）

{\displaystyle Id{\boldsymbol {\ell }}} — 示されているのは、 $Id{\boldsymbol {\ell }}$ 、 $\mathbf {{\hat {r}}'}$ 、そしてその価値は $|\mathbf {r'} |$

ビオ・サバールの法則^{[ 4 ]}^{：第5-2-1節}は、フィラメント電流I（例えば、導線によるもの）によって3D空間の位置rで生成される合成磁束密度Bを計算するために使用されます。定常（または静止）電流は、時間とともに変化せず、どの点でも電荷が蓄積も減少もしない電荷の連続的な流れです。この法則は、電流が流れる経路C （例えば、導線）に沿って評価される線積分の物理的な例です。SI単位テスラ（T）での式は^[⁵^]です。

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}$

どこ $d{\boldsymbol {\ell }}$ パスに沿ったベクトル $C$ その大きさは、従来の電流の方向における導線の微小要素の長さであり、 ${\boldsymbol {\ell }}$ パス上の点です $C$ 、そして $\mathbf {r'} =\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}$ はワイヤ要素からの完全な変位ベクトルです（ $d{\boldsymbol {\ell }}$ ) 地点で ${\boldsymbol {\ell }}$ フィールドが計算されている時点まで（ $\mathbf {r}$ ）、μ₀_は磁気定数である。あるいは： $\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r'} |^{2}}}$ どこ $\mathbf {{\hat {r}}'}$ は単位ベクトルです $\mathbf {r'}$ 太字の記号はベクトル量を表します。

積分は通常、閉曲線に沿って行われます。なぜなら、定常電流は有界な閉経路に沿ってのみ流れることができるからです。しかし、この法則は無限に長い導線にも適用されます（この概念は、2019年5月20日まで電流のSI単位であるアンペアの定義に使用されていました）。

この方程式を適用するには、磁場を計算する空間上の点を任意に選択する（ $\mathbf {r}$ その点を固定したまま、電流の経路に沿った線積分を計算して、その点における全磁場を求めます。この法則の適用は、暗黙のうちに磁場の重ね合わせの原理、すなわち磁場がワイヤの各微小部分によって個別に生成される磁場のベクトル和であるという事実に依拠しています。 ^{[ 6 ]}

例えば、半径のループの磁場を考えてみましょう。 $R$ 電流を流す $I.$ 距離にある点の場合 $x$ ループの中心線に沿ったその点における磁場ベクトルは次のようになる。 $\mathbf {B} ={\mu _{0}IR^{2} \over 2(x^{2}+R^{2})^{3/2}}{\hat {\mathbf {x} }},$ どこ ${\hat {\mathbf {x} }}$ はループの中心線に沿ったの単位ベクトルです (ループは原点を中心としています)。^{[ 4 ]}^{:セクション 5-2、式 (25)}上述のようなループは、ヘルムホルツコイル、ソレノイド、マグセイル宇宙船推進システムなどの装置に現れます。中心線から外れた点における磁場の計算には、数値解法または近似を必要とする楕円積分を含む、より複雑な数学が必要です。^{[ 7 ]}

電流密度（導体体積全体）

上記の式は、電流が無限に細い導線を流れると近似できる場合にはうまく機能します。導体に厚みがある場合、ビオ・サバールの法則の適切な式（これもSI単位系）は次のようになります。

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ {\frac {(\mathbf {J} \,dV)\times \mathbf {r} '}{|\mathbf {r} '|^{3}}}$

どこ $\mathbf {r'}$ は、dVから観測点へのベクトルです。 $\mathbf {r}$ 、 $dV$ は体積要素であり、 $\mathbf {J}$ は、その体積内の電流密度ベクトルです（SI単位系ではA/m² ^）。

単位ベクトルの観点から $\mathbf {{\hat {r}}'}$ $\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ dV{\frac {\mathbf {J} \times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}$

一定の均一電流

一様な定常電流Iの特殊な場合、磁場は $\mathbf {B}$ は $\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int _{C}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}$ つまり、電流を積分から取り出すことができる。

一定速度で移動する点電荷

一定速度vで運動する点電荷粒子qの場合、マクスウェル方程式は電場と磁場について次の式を与えます。 ^[⁸^] ${\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{\left(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{3/2}}}{\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}\\[1ex]\mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \end{aligned}}$ どこ

$\mathbf {\hat {r}} '$ は、粒子の現在の（遅延していない）位置から場が測定されている点に向かう単位ベクトルです。
$\beta =v/c$ 速度の単位は $c$ そして
$θ$ は、 $\mathbf {v}$ そして $\mathbf {r} '$ あるいは、これらは、源電荷の慣性系におけるクーロン力（4つの力の形式）のローレンツ変換を考慮することによって導出することもできます。 ^[⁹^]

$v 2 ≪ c 2$ の場合、電場と磁場は次のように近似できます^{[ 8 ]} $\mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}$ $\mathbf {B} ={\mu _{0} \over 4\pi }q{\mathbf {v} \times {\hat {\mathbf {r} }}' \over |\mathbf {r} '|^{2}}$

これらの方程式は、1888年にオリバー・ヘヴィサイドによって初めて導出されました。一部の著者^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}は、上記の方程式を $\mathbf {B}$ 標準的なビオ・サバールの法則とよく似ていることから、「点電荷のビオ・サバールの法則」と呼ばれることがある。しかし、ビオ・サバールの法則は定常電流にのみ適用され、空間を移動する点電荷は定常電流を構成しないため、この表現は誤解を招く。^{[ 12 ]}

磁気応答アプリケーション

ビオ・サバールの法則は、原子レベルや分子レベルでの磁気応答の計算にも使用できます。例えば、化学遮蔽や磁化率などです。ただし、電流密度が量子力学的な計算または理論から得られることが前提となります。

空気力学の応用

{\displaystyle dV} — 図は速度を示しています（ $dV$ ）渦糸の要素によって点 P で誘発される（ $dl$ 強さ $\Gamma$ 。

ビオ・サバールの法則は、空気力学理論において、渦線によって生じる速度を計算するためにも用いられる。

空力的な応用においては、渦度と流れの役割は、磁気的な応用とは逆になる。

マクスウェルの1861年の論文「物理的な力線について」^{[ 13 ]}では、磁場強度Hは純粋な渦度（スピン）と直接等しく、 Bは渦海の密度で重み付けされた重み付き渦度でした。マクスウェルは、磁気透磁率μを渦海の密度の尺度とみなしました。したがって、次の関係が成り立ちます。

磁気誘導電流: $\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$ これは本質的に、直線的な電流の関係に対する回転的な類似性であり、
電気対流電流: $\mathbf {J} =\rho \mathbf {v} ,$ ここでρは電荷密度である。

Bは、軸方向平面に沿って整列した渦の磁気電流の一種とみなされ、Hは渦の周方向速度である。

電流方程式は、直線運動を伴う電荷の対流電流と見なすことができる。同様に、磁気方程式はスピンを伴う誘導電流である。誘導電流には、Bベクトルの方向に沿った直線運動はない。磁気誘導電流は力線を表し、特に逆二乗法則に従う力線を表す。

空気力学において、誘導された気流は渦軸の周りにソレノイド状のリングを形成します。この渦軸は、磁気における電流の役割を担っていると考えることができます。つまり、空気力学における気流（流体速度場）は、電磁気学における磁束密度ベクトルBに相当する役割を担っていると言えます。

電磁気学では、B線は電流源の周囲にソレノイド状のリングを形成するが、空気力学では、気流（速度）は渦軸の周囲にソレノイド状のリングを形成する。

したがって、電磁気学では渦は「結果」の役割を果たすのに対し、空気力学では渦は「原因」の役割を果たします。しかし、B線だけを個別に見てみると、 Bが渦軸であり、Hが周方向速度であるという点で、まさに空気力学的な状況が確認できます。これは、マックスウェルが1861年に発表した論文と同じです。

2次元において、無限長の渦線の場合、ある点における誘導速度は次のように与えられる。 $v={\frac {\Gamma }{2\pi r}}$ ここで、 $Γ$ は渦の強さ、rは点と渦線との間の垂直距離である。これは、平面に垂直な無限に長い直線状の細い導線が平面上に生成する磁場に似ている。

これは、有限長の渦セグメント（有限長のワイヤーに類似）に関する公式の極限ケースである。 $v={\frac {\Gamma }{4\pi r}}\left[\cos A-\cos B\right]$ ここで、AとBは、点と線分の両端との間の（符号付きの）角度である。

ビオ・サバールの法則、アンペールの周回積分法則、および磁気に関するガウスの法則

静磁場状態では、ビオ・サバールの法則から計算される磁場B は常にガウスの磁気の法則とアンペールの周回積算の法則を満たします。^{[ 14 ]}

証拠

ビオ＝サバールの法則から始めましょう。 $\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}d^{3}{\boldsymbol {\ell }}\,\mathbf {J} ({\boldsymbol {\ell }})\times {\frac {\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|^{3}}}$

関係式を代入すると ${\frac {\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|^{3}}}=-\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|}}\right)$ また、カールの積の法則を使用すること、さらにJ が依存しないという事実も考慮すると、 $\mathbf {r}$ この方程式は次のように書き換えることができます^{[ 14 ]} $\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \times \iiint _{V}d^{3}{\boldsymbol {\ell }}\,{\frac {\mathbf {J} ({\boldsymbol {\ell }})}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|}}$

回転の発散は常にゼロであるため、これは磁気に関するガウスの法則を確立します。次に、両辺の回転を取り、回転の回転の公式を使用し、 Jがに依存しないという事実を再び使用します。 $\mathbf {r}$ 最終的に結果^{[ 14 ]が得られます。} $\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \iiint _{V}d^{3}{\boldsymbol {\ell }}\,\mathbf {J} ({\boldsymbol {\ell }})\cdot \nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|}}\right)-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}d^{3}{\boldsymbol {\ell }}\,\mathbf {J} ({\boldsymbol {\ell }})\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|}}\right)$

最後に、関係性を代入します^{[ 14 ]} ${\begin{aligned}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|}}\right)&=-\nabla _{\boldsymbol {\ell }}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|}}\right),\\\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|}}\right)&=-4\pi \delta (\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }})\end{aligned}}$ （ここで $δ$ はディラックのデルタ関数） Jの発散がゼロであるという事実（静磁気学の仮定による）を利用し、部分積分を実行すると、結果は^[¹⁴^]となる。 $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$ つまり、アンペールの周回積分法則。（静磁気学の仮定により、 $\partial \mathbf {E} /\partial t=\mathbf {0}$ したがって、アンペールの法則には余分な変位電流項は存在しない。）

非静磁場状態では、ビオ・サバールの法則は成り立たなくなる（ジェフィメンコの式に取って代わられる）が、磁気に関するガウスの法則とマクスウェル・アンペールの法則は依然として成り立つ。

理論的背景

ビオ・サバールの法則は、当初はアンペールの研究に応えて実験的に発見されました。^{[ 15 ]} 初期の形では、現代のベクトル解析法が存在しなかったため、現在とは大きく異なっていました。今日では、この法則は、マクスウェル方程式から理論的にさまざまな方法で導出されています。ファインマン物理学講義では、まず、電荷の静的分布の外側の電位と、連続的に分布した電流系の外側の磁気ベクトルポテンシャルの表現の類似性が強調され、次に、ベクトルポテンシャルの回転によって磁場が計算されます。^{[ 16 ]}別のアプローチでは、定常電流の場合のベクトルポテンシャルの非斉次波動方程式の一般解を使用します。 ^{[ 17 ]}磁場は、 1 つの荷電粒子から別の荷電粒子に作用する電磁力のローレンツ変換の結果として計算することもできます。^{[ 18 ]}ビオ・サバールの法則を導出する他の 2 つの方法には、次のものがあります。1) 電荷の分布を持つ電場のみが存在する移動座標系から、これらの電荷が移動する静止座標系への電磁テンソル成分のローレンツ変換。2)遅延電位法の使用。

注記

↑「ビオ＝サバールの法則」。ランダムハウス・ウェブスター大辞典。
↑ジャクソン、ジョン・デイビッド (1999).古典電磁気学(第 3 版). ニューヨーク: ワイリー. 第 5 章. ISBN 0-471-30932-X。
↑ Landau, LD; Lifshitz, EM (1980). The Classical Theory of Fields: Volume 2 (4th ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0750627689。
1 2 Zahn, Marcus (2003). "電磁場理論: 問題解決アプローチ" . ocw.mit.edu . 2022年7月3日取得.
↑電磁気学（第2版）、IS Grant、WR Phillips、Manchester Physics、John Wiley & Sons、2008年、 ISBN 978-0-471-92712-9
↑重ね合わせの原理は電場と磁場にも当てはまります。なぜなら、これらは一連の線形微分方程式、すなわちマクスウェル方程式の解であり、電流はその「ソース項」の1つだからです。
↑ Freeland, RM (2015). "Mathematics of Magsail" . Journal of the British Interplanetary Society . 68 : 306– 323 – via bis-space.com.
1 2グリフィス、デイビッド J. (1998).電磁気学入門（第 3版）. プレンティスホール. pp. 222–224, 435–440 . ISBN 0-13-805326-X。
↑ Rosser, WGV (1968). Classical Electromagnetism via Relativity . pp. 29–42 . doi : 10.1007/978-1-4899-6559-2 . ISBN 978-1-4899-6258-4。
↑ Knight, Randall (2017). Physics for Scientists and Engineers (4th ed.). Pearson Higher Ed. p. 800.
↑ 「移動する点電荷による磁場」。 2009年6月19日にオリジナルからアーカイブ済み。2009年9月30日に取得。
↑グリフィス著219ページの注意書き、またはジャクソン著175～176ページの議論を参照のこと。
↑ Maxwell, JC 「物理的な力の線について」（PDF）。Wikimedia commons 。 2011年12月25日取得。
1 2 3 4 5ジャクソンの178～179ページ、またはグリフィスの222～224ページを参照してください。グリフィスの記述は特に詳細で、すべての点が明確に説明されています。
↑ダリゴル、オリヴィエ (2000).アンペールからアインシュタインまでの電気力学. ISBN 9780198505945。
↑ファインマン物理学講義第2巻第14章：様々な状況における磁場
↑ David Tong. 電磁気学講義。ケンブリッジ大学、数学トライポス第 1 部および第 2 部 (2015)。http ://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/em.html。
↑ Daniel Zile および James Overdui。「クーロンの法則からのビオ・サバールの法則の導出と重力への示唆」。APS 2014 年 4 月会議、抄録 ID. D1.033。https ://doi.org/10.1103/BAPS.2014.APRIL.D1.33。

参考文献

グリフィス、デイビッド・J. (1998).電磁気学入門（第3 版）. プレンティス・ホール. ISBN 0-13-805326-X。
ファインマン、リチャード（2005）。ファインマン物理学講義（第2 版）。アディソン・ウェスリー。ISBN 978-0-8053-9045-2。

さらに読む

電気と現代物理学（第2版）、GAGベネット、エドワード・アーノルド（英国）、1974年、ISBN 0-7131-2459-8
物理学の基本原理、PM Whelan、MJ Hodgeson、第2版、1978年、John Murray、ISBN 0-7195-3382-1
『ケンブリッジ物理学公式ハンドブック』、G. ウォーン著、ケンブリッジ大学出版局、2010年、ISBN 978-0-521-57507-2。
科学者と技術者のための物理学 - 現代物理学付き（第6版）、PA ティプラー、G. モスカ、フリーマン、2008年、ISBN 0-7167-8964-7
Encyclopaedia of Physics (第 2 版)、RG Lerner、GL Trigg、VHC 出版社、1991 年、ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1、ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
マグロウヒル物理学百科事典（第2版）、CBパーカー、1994年、ISBN 0-07-051400-3

外部リンク

ウィキメディア・コモンズにあるビオ＝サバールの法則に関連するメディア
MISN-0-125アンペール・ラプラス・ビオ・サバールの法則、 Orilla McHarris および Peter Signell 著、Project PHYSNET向け。

[1] 「ビオ＝サバールの法則」。ランダムハウス・ウェブスター大辞典。

[2] ジャクソン、ジョン・デイビッド (1999).古典電磁気学(第 3 版). ニューヨーク: ワイリー. 第 5 章. ISBN 0-471-30932-X。

[3] Landau, LD; Lifshitz, EM (1980). The Classical Theory of Fields: Volume 2 (4th ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0750627689。

[:0-4] 1 2 Zahn, Marcus (2003). "電磁場理論: 問題解決アプローチ" . ocw.mit.edu . 2022年7月3日取得.

[5] 電磁気学（第2版）、IS Grant、WR Phillips、Manchester Physics、John Wiley & Sons、2008年、 ISBN 978-0-471-92712-9

[6] 重ね合わせの原理は電場と磁場にも当てはまります。なぜなら、これらは一連の線形微分方程式、すなわちマクスウェル方程式の解であり、電流はその「ソース項」の1つだからです。

[:14-7] Freeland, RM (2015). "Mathematics of Magsail" . Journal of the British Interplanetary Society . 68 : 306– 323 – via bis-space.com.

[Griffiths-8] 1 2グリフィス、デイビッド J. (1998).電磁気学入門（第 3版）. プレンティスホール. pp. 222–224, 435–440 . ISBN 0-13-805326-X。

[9] Rosser, WGV (1968). Classical Electromagnetism via Relativity . pp. 29–42 . doi : 10.1007/978-1-4899-6559-2 . ISBN 978-1-4899-6258-4。

[10] Knight, Randall (2017). Physics for Scientists and Engineers (4th ed.). Pearson Higher Ed. p. 800.

[11] 「移動する点電荷による磁場」。 2009年6月19日にオリジナルからアーカイブ済み。2009年9月30日に取得。

[12] グリフィス著219ページの注意書き、またはジャクソン著175～176ページの議論を参照のこと。

[13] Maxwell, JC 「物理的な力の線について」（PDF）。Wikimedia commons 。 2011年12月25日取得。

[GaussAmpereProof-14] 1 2 3 4 5ジャクソンの178～179ページ、またはグリフィスの222～224ページを参照してください。グリフィスの記述は特に詳細で、すべての点が明確に説明されています。

[15] ダリゴル、オリヴィエ (2000).アンペールからアインシュタインまでの電気力学. ISBN 9780198505945。

[16] ファインマン物理学講義第2巻第14章：様々な状況における磁場

[17] David Tong. 電磁気学講義。ケンブリッジ大学、数学トライポス第 1 部および第 2 部 (2015)。http ://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/em.html。

[18] Daniel Zile および James Overdui。「クーロンの法則からのビオ・サバールの法則の導出と重力への示唆」。APS 2014 年 4 月会議、抄録 ID. D1.033。https ://doi.org/10.1103/BAPS.2014.APRIL.D1.33。

電流

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