ヤコビ積分

使用される適切な座標系の1つは、重心に配置されたいわゆる共回転座標系であり、2つの質量μ1、μ2_を結ぶ線がx軸として選択され、長さの単位はそれらの距離に等しくなります。この座標系は2つの質量とともに共回転するため、質量は_静止したままで、(− _μ2 , 0 )と(+ μ1 _, 0)の位置にあります。^{[ a ]}  

( x , y )座標系において、ヤコビ定数は次のように表される。 

${\displaystyle C_{J}=n^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)-\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)}$

どこ：

• n = 2π / Tは平均運動（軌道周期T）です。
• μ ₁ = Gm ₁、μ ₂ = Gm ₂（2 つの質量m ₁、m ₂および重力定数Gについて） 
• r ₁、r ₂は、試験粒子と2つの質量との距離である。

ヤコビ積分は、回転座標系における単位質量あたりの全エネルギーの2倍をマイナスしたものであることに注意してください。第1項は遠心ポテンシャルエネルギー、第2項は重力ポテンシャル、第3項は運動エネルギーを表します。この座標系では、粒子に作用する力は、2つの重力、遠心力、およびコリオリ力です。最初の3つはポテンシャルから導出でき、最後の1つは軌道に垂直であるため、これらはすべて保存力であり、この座標系で測定されるエネルギー（したがってヤコビ積分）は運動の保存量となります。直接的な計算による証明については、以下を参照してください。

慣性恒星座標系（ξ、η、ζ）では、質量は重心の周りを公転している。これらの座標系では、ヤコビ定数は^{[ 2 ]で表される。}  

${\displaystyle C_{J}=2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)+2n\left(\xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }}\right)-\left({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}+{\dot {\zeta }}^{2}\right).}$