一般相対性理論における二体問題

ケプラー問題は、デンマークの天文学者ティコ・ブラーエの助手として働いていたヨハネス・ケプラーにちなんで名付けられました。ブラーエは太陽系の惑星の運動を非常に正確に測定しました。ケプラーはこれらの測定結果から、惑星運動の最初の近代的な記述であるケプラーの法則を定式化することができました。

1. すべての惑星の軌道は楕円であり、太陽はその2つの焦点のうちの1つに位置する。
2. 惑星と太陽を結ぶ線は、等しい時間間隔で等しい面積を掃過する。
3. 惑星の公転周期の二乗は、その軌道の長半径の三乗に正比例する。

ケプラーは1609年に最初の2つの法則を、1619年に3つ目の法則を発表しました。これらの法則は、プトレマイオスやコペルニクスなどの太陽系の従来のモデルに取って代わりました。ケプラーの法則は、二体問題という限定的な場合にのみ適用されます。ヴォルテールとエミリー・デュ・シャトレは、これらの法則を初めて「ケプラーの法則」と呼びました。

それからほぼ1世紀後、アイザック・ニュートンは運動の3法則を定式化した。特に、ニュートンの第2法則は、質量mに力Fを加えると、 F = maという式で与えられる加速度aが生じると述べている。ニュートンは次に、「ケプラーが観測した楕円軌道を生み出す力は何でなければならないのか？」という疑問を投げかけた。彼の答えは万有引力の法則にあり、質量Mと別の質量mの間の力は次の式で与えられる と述べている。$${\displaystyle F=G{\frac {Mm}{r^{2}}},}$$ ここで、 rは質量間の距離、Gは重力定数です。この力の法則と運動方程式から、ニュートンは互いに引き合う 2 つの点質量がそれぞれ完全な楕円軌道を描くことを示すことができました。これらの楕円の大きさの比はm / Mであり、質量が大きいほど楕円は小さくなります。M が m よりはるかに大きい場合、質量が大きい方は、質量が小さい方の楕円軌道の焦点で静止しているように見えます。このモデルは、太陽系に近似的に適用できます。太陽の質量は惑星の質量よりもはるかに大きいため、各惑星に作用する力は主に太陽によるものであり、惑星同士の重力は第一近似で無視できます。

2つの天体間の位置エネルギーがニュートンの万有引力の法則の1/ rポテンシャルと正確に一致せず、わずかに異なる場合、軌道の楕円は徐々に回転します (他の可能性のある効果もあります)。この近点歳差は、太陽の扁平 (完全な球形ではない) と他の惑星同士の引力により、太陽を周回するすべての惑星で観測されます。近点と遠点とは、軌道上で最も近い点と最も遠い点 (それぞれ近点と遠点) のことです。近点歳差は、近点を結ぶ線の回転に対応します。また、近点を結ぶ線に沿って指すラプラス・ルンゲ・レンツベクトルの回転にも対応します。

ニュートンの万有引力の法則は、すべての惑星の運動を非常に正確に予測できたため、すぐに受け入れられるようになりました。これらの計算は、18世紀後半にピエール＝シモン・ラプラスによって最初に行われ、 19世紀後半にフェリックス・ティスランによって改良されました。逆に、ニュートンの万有引力の法則が惑星の近点歳差を正確に予測できなかった場合、万有引力の理論として放棄されなければなりませんでした。このような異常な歳差運動は、19世紀後半に観測されました。

1859年、ウルバン・ルヴェリエは、水星の軌道歳差運動が本来あるべき姿とは少し異なることを発見した。他の惑星の影響をすべて考慮に入れた後でも、水星の軌道の楕円は、従来のニュートン重力理論で予測されるよりもわずかに速く回転（歳差運動）していた。^{[ 4 ]}この影響は小さい（1世紀あたり約43秒角の回転）が、測定誤差（1世紀あたり約0.1秒角）をはるかに上回っている。ルヴェリエはすぐにこの発見の重要性を認識し、天文学者と物理学者にその説明を求めた。惑星間塵、観測されていない太陽の扁平率、未発見の水星の衛星、あるいはバルカンと名付けられた新しい惑星など、いくつかの古典的な説明が提案された。^{[ 5 ]}これらの説明が却下された後、一部の物理学者は、ニュートンの逆二乗法則が間違っているという、より過激な仮説に至った。例えば、一部の物理学者は、指数が2とわずかに異なるべき乗則を提案した。 ^{[ 6 ]}

ニュートンの法則に速度依存ポテンシャルを補足すべきだと主張する者もいた。しかし、これはニュートン力学の天体力学と矛盾する。ラプラスは天体力学に関する論文の中で、重力の影響が瞬時に作用しない場合、惑星自体の運動は厳密には運動量保存則を満たさないことを示した（したがって、運動量の一部は、電磁相互作用の媒介者に運動量を帰属させるのと同様に、重力相互作用の媒介者に帰属させなければならない）。ニュートン力学の観点から見ると、重力の影響が有限の速度で伝播する場合、惑星は常に、太陽の瞬間的な位置ではなく、太陽が以前存在していた場所に引き寄せられることになる。ラプラスは、古典的な基礎を前提として、重力が光速程度の速度で伝播する場合、太陽系は不安定になり、長くは存在し得ないことを示した。太陽系が十分に古いという観測結果から、彼は重力の速度の下限値を設定することができ、それは光速よりも何桁も速いことが判明した。^{[ 5 ] [ 7 ]}

ラプラスの重力速度の推定は、相対性原理を尊重する場の理論では正しくありません。電場と磁場が組み合わさるため、一定速度で移動する点電荷の引力は、観測時に見かけ上占めているように見える位置ではなく、外挿された瞬間位置に向かうことになります。^{[注1 ]}これらの問題を回避するために、1870年から1900年の間に、多くの科学者がヴィルヘルム・エドゥアルト・ウェーバー、カール・フリードリヒ・ガウス、ベルンハルト・リーマンの電気力学の法則を用いて、安定した軌道を生成し、水星の軌道の近日点移動を説明しました。1890年、モーリス・レヴィはウェーバーとリーマンの法則を組み合わせることでこれに成功し、彼の理論では重力速度は光速に等しくなります。また、別の試みとして、ポール・ゲルバー（1898年）は近日点移動の正しい公式を導き出すことに成功しました（これは後にアインシュタインが使用した公式と同一でした）。しかし、ウェーバーらの基本法則が間違っていたため（例えば、ウェーバーの法則はマクスウェルの理論に取って代わられた）、これらの仮説は却下された。^{[ 8 ]}マクスウェルの理論をすでに使用していたヘンドリック・ローレンツ（1900年）による別の試みでは、近日点移動が低すぎる結果となった。^{[ 5 ]}

1904年から1905年頃、ヘンドリック・ローレンツ、アンリ・ポアンカレ、そして最終的にはアルベルト・アインシュタインの特殊相対性理論の研究により、光速を超える効果の伝播の可能性は排除された。したがって、相対論的効果が無視できる状況でニュートンの極限を維持しながら、相対性の原理と両立する別の法則でニュートンの万有引力の法則を置き換える必要があった。このような試みは、アンリ・ポアンカレ（1905年）、ヘルマン・ミンコフスキー（1907年）、アーノルド・ゾンマーフェルト（1910年）によって行われた。^{[ 9 ]} 1907年、アインシュタインはこれを達成するには特殊相対性理論の後継が必要であるという結論に達した。1907年から1915年にかけて、アインシュタインは自身の等価原理を指針となる重要な概念として用いて、新しい理論の構築に取り組んだ。この原理によれば、一様な重力場は内部のあらゆるものに等しく作用するため、自由落下する観測者からは検出できない。逆に、すべての局所的な重力効果は直線的に加速する基準系で再現可能であり、その逆もまた然りである。したがって、重力は遠心力やコリオリ力のような仮想的な力のように作用する。これらの力は加速する基準系にあることから生じるものであり、すべての仮想的な力は重力と同様に慣性質量に比例する。重力と特殊相対性理論を調和させ、等価原理を取り入れるためには、何かを犠牲にしなければならなかった。その何かとは、私たちの空間がユークリッド幾何学の法則に従うという、長年信じられてきた古典的な仮定、例えばピタゴラスの定理が実験的に正しいという仮定である。アインシュタインは、時空の曲率を考慮に入れるために、より一般的な幾何学である擬リーマン幾何学を用いました。これは、時空の曲率を調和させるために必要なものでした。8年間の研究（1907年～1915年）を経て、彼は自然界で観測される物理法則、特に重力を再現するために、時空がどのように曲がるべきかを正確に発見することに成功しました。重力は、遠心力やコリオリ力といった仮想的な力とは異なり、時空の曲率が物理的に実在するものとみなされるのに対し、仮想的な力は力とはみなされません。彼の場の方程式の最初の解は、水星の異常な歳差運動を説明し、光の異常な曲がりを予測しました。これは後に確認されました。彼の理論は発表された。これらの解決策については以下で説明する。

アインシュタインの一般相対性理論によれば、質量が無視できる粒子は時空内の測地線に沿って移動する。重力源から遠く離れた曲がっていない時空では、これらの測地線は直線に対応する。しかし、時空が曲がっている場合は、直線からずれる可能性がある。測地線の式は^{[ 10 ]である。}$${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{dq^{2}}}+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{dq}}{\frac {dx^{\lambda }}{dq}}=0}$$ ここで、Γ はクリストッフェル記号を表し、変数q は粒子の時空における経路、いわゆる世界線をパラメータ化します。クリストッフェル記号は計量テンソルg _μνのみに依存し、正確には位置によってどのように変化するかに依存します。変数qは、時間的軌道 (質量のある粒子が移動する軌道) の固有時間τの定数倍であり、通常はこれに等しいとみなされます。光的 (またはヌル) 軌道 (光子などの質量のない粒子が移動する軌道) の場合、固有時間はゼロであり、厳密には変数qとして使用することはできません。しかしながら、光的軌道は、時間的軌道の超相対論的極限、すなわち、粒子の全エネルギーを固定したまま粒子の質量m がゼロに近づく極限として導出できます。

極めて微小な質量を持つ試験粒子の軌道${\displaystyle m}$中心塊について${\displaystyle M}$運動方程式によって与えられる $${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left({\frac {E}{mc}}\right)^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right).}$$ どこ${\displaystyle h}$は比角運動量であり、${\textstyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {L} }{\mu }}}$そして${\displaystyle \mu }$は換算質量である。これは軌道の式に変換できる。 $${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{{\tilde {b}}^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{{\tilde {a}}^{2}}}+r^{2}\right)\,}$$ ここで、簡潔にするために、2つの長さスケール、${\textstyle {\チルダ {a}}\equiv h/c}$そして${\textstyle {\チルダ {b}}\equiv Lc/E\,,}$これらは導入された。これらは運動の定数であり、試験粒子の初期条件（位置と速度）に依存する。したがって、軌道方程式の解は $${\displaystyle \varphi =\int {\frac {1}{r^{2}}}\left[{\frac {1}{{\tilde {b}}^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {1}{{\tilde {a}}^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)\right]^{-1/2}dr\,.}$$

上記で導出した粒子の運動方程式 $$\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left({\frac {E}{mc}}\right)^{2}-c^{2}+{\frac {r_{\text{s}}c^{2}}{r}}-\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}+{\frac {r_{\text{s}}h^{2}}{r^{3}}}}$$シュヴァルツシルト半径r _s の定義を用いて次のように 書き換えることができる。$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\!\left[{\frac {E^{2}}{mc^{2}}}-mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}}$$$ これは、粒子が一次元有効ポテンシャル内を運動することに相当する。$${\displaystyle V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}\,.}$$ 最初の2つの項はよく知られた古典的なエネルギーであり、1つ目はニュートン力学における引力的な重力ポテンシャルエネルギー、2つ目は斥力的な「遠心力」ポテンシャルエネルギーに対応します。しかし、3つ目の項は一般相対性理論に特有の引力エネルギーです。以下および他の箇所で示されているように、この逆3乗エネルギーによって、楕円軌道は1回転あたり小さな角度δωだけ徐々に歳差運動を起こします。 $${\displaystyle \delta \omega \,\approx \,{\frac {6\pi G\left(M+m\right)}{c^{2}a\left(1-e^{2}\right)}}\,,}$$ ここで、 aは軌道の長半径、eは離心率です。ここで、δ ωは球面座標( t、r、θ、φ )からのφ座標の変化ではなく、それに近いものです。これは、古典的な閉じた軌道の近点引数の変化です。

第３項は魅力的で、rの値が小さい場合に支配的となり、粒子がr = 0に不可避的に引き込まれる臨界内半径r _{innerを与えます}。この内半径は、粒子の単位質量あたりの角運動量、または同等に、上で定義された長さスケールの関数です。 

有効電位Vは長さで書き直すことができる${\textstyle A\equiv h/c\,}$:$${\displaystyle V(r)={\frac {mc^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {A^{2}}{r^{2}}}-{\frac {A^{2}r_{\text{s}}}{r^{3}}}\right].}$$

有効力がゼロの場合、円軌道は可能となる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}F&=-{\frac {dV}{dr}}\\&=-{\frac {mc^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{\text{s}}r^{2}-2A^{2}r+3A^{2}r_{\text{s}}\right]=0\,;\end{aligned}}}$$ すなわち、ニュートン重力（第1項）と一般相対性理論特有の引力（第3項）という2つの引力が、反発力である遠心力（第2項）によって正確に釣り合っている状態です。この釣り合いが生じる半径は2つあり、ここではr _innerとr _outerで表します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{outer}}&={\frac {A^{2}}{r_{\text{s}}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3{r_{\text{s}}}^{2}}{A^{2}}}}}\right),\\[1ex]r_{\text{inner}}&={\frac {A^{2}}{r_{\text{s}}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3{r_{\text{s}}}^{2}}{A^{2}}}}}\right)={\frac {3A^{2}}{r_{\text{outer}}}}\,,\end{aligned}}}$$ これらは二次方程式を用いて得られる。内半径r _innerは不安定である。なぜなら、r が小さくなると、引力である第 3 の力が他の 2 の力よりもはるかに速く強くなるからである。粒子がr _inner (3 の力すべてが釣り合っている場所) からわずかに内側に滑り込むと、第 3 の力が他の 2 の力を支配し、粒子をr = 0 に容赦なく引き込む。しかし、外半径では、円軌道は安定している。第 3 項はそれほど重要ではなく、システムは非相対論的ケプラー問題のように振る舞う。

Aがr _s（古典的な場合） よりはるかに大きい場合、これらの式は近似的に$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{outer}}&\approx {\frac {2A^{2}}{r_{\text{s}}}}\,,\\r_{\text{inner}}&\approx {\frac {3}{2}}r_{\text{s}}\,.\end{aligned}}}$$

Aとr _sの定義をr _outerに代入すると、質量mの粒子が質量Mの物体の周りを公転する古典的な公式が得られます。

次の式 $${\displaystyle r_{\text{outer}}^{3}={\frac {G\left(M+m\right)}{\Omega _{\varphi }^{2}}}}$$ どこ${\displaystyle {\Omega _{\varphi }}}$は粒子の軌道角速度であり、非相対論的力学では遠心力をニュートン重力に等しく設定することによって得られる。 $${\displaystyle {\frac {GMm}{r^{2}}}=\mu \Omega _{\varphi }^{2}r}$$ どこ${\displaystyle \mu }$は換算質量です。

我々の表記法では、古典的な軌道角速度は $${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{\varphi }^{2}\approx {\frac {GM}{r_{\text{outer}}^{3}}}&={\frac {r_{\text{s}}c^{2}}{2r_{\text{outer}}^{3}}}\\[1ex]&={\frac {r_{\text{s}}c^{2}}{2}}\cdot {\frac {r_{\text{s}}^{3}}{8A^{6}}}={\frac {\;c^{2}{r_{\text{s}}}^{4}}{\;16A^{6}}}\end{aligned}}}$$

もう一方の極端な例として、${\displaystyle A^{2}}$上から3rs2^に近づくと、2つの半径_は単一の値に収束する 。$${\displaystyle r_{\text{outer}}\approx ~r_{\text{inner}}\approx 3r_{\text{s}}}$$上記の二次解は 、r outer が常に 3 r s より大きいことを保証する一方、r inner は 3 / ₂ r sと₃ r sの_間にあることを保証する。3 / ₂ r sより小さい円軌道 は 不可能_である。質量のない粒子の場合_、${\displaystyle A}$無限大に近づくということは、 r _inner = ⁠ 3 / 2 ⁠ r _sに光子の円軌道が存在することを意味します。この半径の球は、光子球と呼ばれることもあります。

軌道歳差運動の速度は、非ニュートン遠心力を含むこの半径方向有効ポテンシャルVを用いて導出できる。_半径rの円軌道からのわずかな半径方向のずれは、角周波数で安定的に振動する。 $${\displaystyle \Omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left.{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right|_{r=r_{\text{outer}}}}$$ これは等しい $${\displaystyle \Omega _{r}^{2}={\frac {c^{2}r_{\text{s}}}{2r_{\text{outer}}^{4}}}{\Bigl (}r_{\text{outer}}-r_{\text{inner}}{\Bigr )}~=~\Omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{\text{s}}^{2}}{a^{2}}}}}}$$

両辺の平方根を取り、二項定理を用いて展開すると、次の式が得られる。 $${\displaystyle \Omega _{r}~=~\Omega _{\varphi }\left(1-{\frac {3r_{\text{s}}^{2}}{4a^{2}}}+\cdots \right)}$$ 1回転の周期Tを掛けると、1回転あたりの軌道の歳差運動が得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta \varphi &=T(\Omega _{\varphi }-\Omega _{r})\\[1ex]&\approx 2\pi \,{\frac {3r_{\text{s}}^{2}}{4a^{2}}}={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{\text{s}}^{2}\end{aligned}}}$$ ここで、Ω _φ T ≈ 2 π (円軌道の場合に正確) と、長さスケールの定義をaで設定しました。シュワルツシルト半径r _sの定義を代入すると、 $${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\,{\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}}$$

これは、楕円軌道の長半径a、離心率e、および相対角運動量hを用いて簡略化することができ、これらは次の式で関係付けられます。$${\displaystyle {\frac {h^{2}}{G(M+m)}}=a\left(1-e^{2}\right)}$$ 歳差角を与える $${\displaystyle \operatorname {\delta } \!\varphi ~\approx ~{\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}a\left(1-e^{2}\right)}}~.}$$

閉じた古典軌道は一般に楕円であるため、量a ( 1 − e ² )は半正弦である。${\displaystyle \ell }$楕円の。

したがって、単位回転における角近点歳差の最終式は次のようになる。 $${\displaystyle \operatorname {\delta } \!\varphi ~\approx ~{\frac {6\pi G(M+m)}{\ell c^{2}}}~.}$$

シュヴァルツシルト解では、質量の大きい方の天体Mが静止しており、Mのみが重力場（すなわち時空の幾何学）を決定すると仮定され、したがって、質量の小さい方の天体mはその固定された時空を通る測地線経路をたどる。これは、光子や、太陽の約600万分の1の質量を持つ水星の軌道に対しては妥当な近似である。しかし、質量が同程度の大きさになる可能性のある連星系には不十分である。

質量が同程度である2つの物体の計量は閉じた形で解くことができないため、ポストニュートン近似や数値近似などの近似手法に頼らざるを得ない。ちなみに、低次元における1つの例外について言及しておく（詳細はR  = Tモデル を参照）。(1+1)次元、すなわち1つの空間次元と1つの時間次元からなる空間では、質量が等しい2つの物体の計量はランベルトW関数を用いて解析的に解くことができる。^{[ 11 ]}ただし、2つの物体間の重力エネルギーは、伝播するために3次元空間を必要とする重力子ではなく、ダイラトンを介して交換される。

ポストニュートン展開は、与えられた問題に対してより正確な解を連続的に提供する計算方法です。^{[ 12 ]}この方法は反復的です。粒子の運動の初期解を使用して重力場を計算し、これらの導出された場から新しい粒子の運動を計算し、そこからさらに正確な場の推定値を計算できます。このアプローチは、粒子の軌道に対するニュートン解が初期解としてよく使用されるため、「ポストニュートン」と呼ばれます。

この理論は二つの部分に分けられる。まず、ニュートン力学のポテンシャルに対する一般相対性理論の補正を捉えた二体有効ポテンシャルを求める。次に、得られた運動方程式を解く。

アインシュタイン方程式は、高度な数値計算手法を用いてコンピュータ上で解くこともできます。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}十分なコンピュータ処理能力があれば、このような解はポストニュートン解よりも正確になる可能性があります。しかし、方程式は一般的に4次元空間で解かなければならないため、このような計算は困難です。それでも、1990年代後半から、一般相対性理論におけるケプラー問題の非常に難しいバージョンである2つのブラックホールの合体のような難問を解くことが可能になりました。

一般相対性理論によれば、入射する重力波がない場合、互いに周回する2つの物体は重力波を放出し、その結果、軌道は徐々にエネルギーを失っていく。

ケプラー問題の2つの天体からの重力放射によるエネルギーと角運動量の損失を記述する式が計算された。 ^{[ 13 ]}エネルギー損失率（完全な軌道にわたって平均化）は次のように与えられる。 ^{[ 14 ]}$${\displaystyle -\left\langle {\frac {dE}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}(m_{1}+m_{2})}{5c^{5}a^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)}$$ ここで、eは軌道離心率、aは楕円軌道の長半径です。式の左辺の角括弧は、1周回の平均を表しています。同様に、角運動量の減少率の平均は、 $${\displaystyle -\left\langle {\frac {dL_{z}}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}{\sqrt {m_{1}+m_{2}}}}{5c^{5}a^{7/2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{2}\right)}$$

周期減少率は^{[ 13 ] [ 15 ]で与えられる。}$${\displaystyle -\left\langle {\frac {dP_{b}}{dt}}\right\rangle ={\frac {192\pi G^{5/3}m_{1}m_{2}}{5c^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}\left(m_{1}+m_{2}\right)^{1/3}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)\left({\frac {P_{b}}{2\pi }}\right)^{-{5/3}}}$$ ここで、Pb_は軌道周期である。

軌道の離心率が1に近づくにつれて、すなわち軌道の楕円がますます細長くなるにつれて、エネルギーと角運動量の損失は著しく増加する。放射損失もまた、軌道の大きさaが小さくなるにつれて著しく増加する。

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  実験的に観測された連星パルサーPSR B1913+16の近星点通過時間の変化（赤い点）は、一般相対性理論によって予測される軌道周期の減少による変化（青い曲線）とほぼ完全に一致する。
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  互いに高速で回転する2つの中性子星は、重力波を放出することで徐々にエネルギーを失っていく。エネルギーを失うにつれて、それらはより速く、より接近して互いの周りを公転するようになる。