ビリアル定理

力学において、ビリアル定理は、保存力によって束縛された離散粒子の安定系の全運動エネルギーの時間平均と、系の全位置エネルギーの時間平均との関係を示す一般的な方程式を提供する。数学的には、この定理は次のように述べている。

$${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,}$$

どこ${\displaystyle T}$は、${\displaystyle N}$粒子、${\displaystyle F_{k}}$は、​${\displaystyle k}$位置r _kにある 番目の粒子、および山括弧は囲まれた量の時間平均を表します。方程式の右辺のvirial という単語は、ラテン語で「力」または「エネルギー」を意味するvisに由来し、 1870 年にルドルフ・クラウジウスによって技術的な定義が与えられました。^{[ 1 ]}

ビリアル定理の重要な点は、統計力学で扱われるような、厳密解が存在しない非常に複雑な系であっても、平均全運動エネルギーを計算できる点にある。この平均全運動エネルギーは、エネルギー等分配定理によって系の温度と関連付けられる。しかし、ビリアル定理は温度の概念に依存せず、熱平衡状態にない系にも成り立つ。ビリアル定理は様々な形で一般化されており、中でもテンソル形式への拡張が最もよく知られている。

システムの任意の2つの粒子間の力がポテンシャルエネルギーから生じる場合${\displaystyle V(r)=\alpha r^{n}}$それはあるべき乗に比例する${\displaystyle n}$粒子間距離${\displaystyle r}$ビリアル定理は単純な形をとる

$${\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{TOT}}\rangle .}$$

したがって、平均総運動エネルギーの2倍${\displaystyle \langle T\rangle }$等しい${\displaystyle n}$平均総位置エネルギーの倍 ${\displaystyle \langle V_{\text{TOT}}\rangle }$。 一方${\displaystyle V(r)}$距離で隔てられた2つの粒子間の位置エネルギーを表す${\displaystyle r}$、${\displaystyle V_{\text{TOT}}}$はシステムの全ポテンシャルエネルギー、すなわちポテンシャルエネルギーの合計を表します。${\displaystyle V(r)}$システム内のすべての粒子ペアにわたって。このようなシステムの一般的な例は、自身の重力によってまとまっている星であり、${\displaystyle n=-1}$。

1870年、ルドルフ・クラウジウスは、20年にわたる熱力学の研究を経て、下ライン地方自然医学協会で「熱に適用可能な力学的定理について」という講演を行った。この講演では、系の平均ビリアルはビリアルに等しい、つまり平均運動エネルギーは平均位置エネルギーの半分であると述べられた。ビリアル定理は、古典的な重力力学に適用されるラグランジュの恒等式から直接得られる。その原形は、1772年に出版されたラグランジュの「三体問題に関するエッセイ」に含まれていた。カール・ヤコビによる恒等式の一般化は、${\displaystyle N}$物体とラプラスの恒等式の現在の形式は、古典的なビリアル定理に非常によく似ている。しかし、方程式の開発につながる解釈は大きく異なっていた。なぜなら、開発当時、統計力学は熱力学と古典力学の別々の研究をまだ統一していなかったからである。^{[ 2 ]}この定理は後に、ジェームズ・クラーク・マクスウェル、レイリー卿、アンリ・ポアンカレ、スブラマニヤン・チャンドラセカール、エンリコ・フェルミ、ポール・ルドゥー、リチャード・ベイダー、ユージン・パーカーによって利用され、普及され、一般化され、さらに発展した。フリッツ・ツヴィッキーは、ビリアル定理を使用して、現在ダークマターと呼ばれる目に見えない物質の存在を推論した最初の人物である。リチャード・ベイダーは、全システムの電荷分布は、ビリアル定理に従う運動エネルギーと位置エネルギーに分割できることを示した。^{[ 3 ]}ビリアル定理の多くの応用例のもう1つとして、白色矮星の安定性のチャンドラセカール限界を導出するためにビリアル定理が使用されています。

考慮する${\displaystyle N=2}$質量が等しい粒子${\displaystyle m}$粒子は互いに引力によって作用を受ける。半径rの円軌道の正反対の点に粒子があると仮定する。${\displaystyle r}$速度は${\displaystyle \mathbf {v} _{1}(t)}$そして${\displaystyle \mathbf {v} _{2}(t)=-\mathbf {v} _{1}(t)}$力に垂直な${\displaystyle \mathbf {F} _{1}(t)}$そして${\displaystyle \mathbf {F} _{2}(t)=-\mathbf {F} _{1}(t)}$それぞれの値は固定されています。${\displaystyle v}$そして${\displaystyle F}$から時間間隔におけるシステムの平均運動エネルギー$t1$に$t2$は

$$\displaystyle \langle T\rangle ={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{k}|\mathbf {v} _{k}(t)|^{2}\,dt={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{1}(t)|^{2}+{\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{2}(t)|^{2}\right)\,dt=mv^{2}.}$$

重心を原点とすると、粒子の位置は次のようになる。$\displaystyle \mathbf {r} _{1}(t)$そして${\displaystyle \mathbf {r} _{2}(t)=-\mathbf {r} _{1}(t)}$固定された大きさ${\displaystyle r}$引力は位置と反対方向に作用するため、${\displaystyle \mathbf {F} _{1}(t)\cdot \mathbf {r} _{1}(t)=\mathbf {F} _{2}(t)\mathbf {r} _{2}(t)=-Fr}$求心力の公式を適用する${\displaystyle F=mv^{2}/r}$結果として

$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle =-{\frac {1}{2}}(-Fr-Fr)=Fr={\frac {mv^{2}}{r}}\cdot r=mv^{2}=\langleタングル、}$$

必要に応じて。注：原点が移動しても、同じ結果が得られます。これは、変位と等しく反対向きの力の内積が${\displaystyle \mathbf {F} _{1}(t)}$、${\displaystyle \mathbf {F} _{2}(t)}$結果として相殺される。

ビリアル定理は全運動エネルギーと全位置エネルギーの平均化に基づいているが、ここでは平均化を最後のステップまで延期する。

コレクションのために${\displaystyle N}$点粒子、スカラー慣性モーメント${\displaystyle I}$起源について​

$${\displaystyle I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}|\mathbf {r} _{k}|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2},}$$

どこ${\displaystyle m_{k}}$そして${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$質量と位置を表す${\displaystyle k}$番目の粒子と${\displaystyle r_{k}=|\mathbf {r} _{k}|}$は位置ベクトルの大きさです。スカラーを考えます

$${\displaystyle G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},}$$

どこ${\displaystyle \mathbf {p} _{k}}$は運動量ベクトルです${\displaystyle k}$番目の粒子。^{[ 4 ]}質量が一定であると仮定すると、${\displaystyle G}$これは、この慣性モーメントの時間微分の半分である。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}&={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=G.\end{aligned}}}$$

続いて、${\displaystyle G}$は

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dG}{dt}}&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},\end{aligned}}}$$

どこ${\displaystyle m_{k}}$質量は${\displaystyle k}$番目の粒子、${\displaystyle \mathbf {F} _{k}={\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}}$は、その粒子にかかる正味の力であり、${\displaystyle T}$は、システム全体の運動エネルギーです。${\displaystyle \mathbf {v} _{k}={\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}}$各粒子の速度、

$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.}$$

ビリアル定理が量子力学にも適用されるという事実は、 1926年の三部作で初めて概説された。その後、1928年にフィンケルシュタインによってシュレーディンガー形式で、1930年にはウラジミール・フォック^{[ 5 ]}によって変分法を用いて証明された。

ハミルトニアンの交換子を評価する

$${\displaystyle H=V{\bigl (}\{X_{i}\}{\bigr )}+\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m_{n}}}}$$

位置演算子付き${\displaystyle X_{n}}$そして運動量演算子

$${\displaystyle P_{n}=-i\hbar {\frac {d}{dX_{n}}}}$$

粒子の${\displaystyle n}$、

$${\displaystyle [H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}-i\hbar {\frac {P_{n}^{2}}{m_{n}}}.}$$

すべての粒子について合計すると、次のようになる。

$${\displaystyle Q=\sum _{n}X_{n}P_{n}}$$

整流子は

$${\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}[H,Q]=2T-\sum _{n}X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}},}$$

どこ${\textstyle T=\sum _{n}P_{n}^{2}/2m_{n}}$は運動エネルギーです。この方程式の左辺は ${\displaystyle dQ/dt}$ハイゼンベルクの運動方程式によれば、期待値は${\displaystyle \langle dQ/dt\rangle }$この時間微分は定常状態ではゼロになり、量子ビリアル定理につながる。

$${\displaystyle 2\langle T\rangle =\sum _{n}\left\langle X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}\right\rangle .}$$

特殊相対性理論における単一粒子の場合、 ${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} }$むしろ、${\displaystyle T=(\gamma -1)mc^{2}}$、 どこ${\displaystyle \gamma }$ローレンツ因子とは

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$$

そして定義する${\displaystyle \mathbf {\beta } ={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$、 我々は持っています

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} &={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\beta }}\gamma mc\cdot {\boldsymbol {\beta }}c\\&={\frac {1}{2}}\gamma \beta ^{2}mc^{2}\\[5pt]&=\left({\frac {\gamma \beta ^{2}}{2(\gamma -1)}}\right)T.\end{aligned}}}$$

最後の式は次のように簡略化できます。

$${\displaystyle \left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{2}}\right)T=\left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)T.}$$

したがって、前のセクションで説明した条件（ニュートンの運動の第三法則を含む）の下では、 ${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\mathbf {F} _{kj}}$（相対性理論にもかかわらず）時間平均${\displaystyle N}$べき乗則ポテンシャルを持つ粒子は

$$\displaystyle {\frac {n}{2}}\left\langle V_{\text{TOT}}\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-\beta _{k}^{2}}}}{2}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\gamma _{k}+1}{2\gamma _{k}}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }.}$$

特に、運動エネルギーと位置エネルギーの比率はもはや固定値ではなく、必然的にある区間内に収まる。

$${\displaystyle {\frac {2\langle T_{\text{TOT}}\rangle }{n\langle V_{\text{TOT}}\rangle }}\in [1,2],}$$

相対論的なシステムほど、比率が大きくなる。

ビリアル定理は周期運動に対して特に単純な形式をとる。非線形振動子の摂動計算を行うために使用できる。^{[ 7 ]}

また、中心ポテンシャルの運動を研究するためにも使用できます。^{[ 4 ]}中心ポテンシャルが次の形式の場合${\displaystyle U\proptor^{n}}$ビリアル定理は次のように簡略化される。${\displaystyle \langle T\rangle ={\frac {n}{2}}\langle U\rangle }$特に、重力または静電（クーロン）引力の場合、${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle }$。

レイリー卿は 1900 年にビリアル定理の一般化を発表し^{[ 12 ]} 、 1903 年に部分的に再版されました^{[ 13 ]。}アンリ・ポアンカレは 1911 年に原始星雲からの太陽系形成の問題 (当時は宇宙論として知られていた)にビリアル定理の一形式を証明し適用しました^{[ 14 ]} 。ビリアル定理の変分形式は 1945 年にルドゥーによって開発されました^{[ 15 ]} 。ビリアル定理のテンソル形式はパーカー^{[ 16 ]} 、チャンドラセカール^{[ 17 ] 、フェルミ[ 18 ]}によって開発されました。逆二乗法則の場合について、ビリアル定理の次の一般化が 1964 年にポラードによって確立されました^{[ 19 ] [ 20 ] 。}$${\displaystyle 2\lim _{\tau \to +\infty }\langle T\rangle _{\tau }=\lim _{\tau \to +\infty }\langle U\rangle _{\tau }\quad {\text{if and only if}}\quad \lim _{\tau \to +\infty }{\tau }^{-2}I(\tau )=0.}$$ それ以外の場合は境界項を追加する必要がある。^{[ 21 ]}

ビリアル定理は電場と磁場を含むように拡張できます。結果は^{[ 22 ]です。}

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{\mathrm {E} }+W^{\mathrm {M} }-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},}$$

どこ${\displaystyle I}$は慣性モーメントです。${\displaystyle G}$は電磁場の運動量密度であり、${\displaystyle T}$は「流体」の運動エネルギーです。${\displaystyle U}$は粒子のランダムな「熱」エネルギーであり、 ${\displaystyle W^{\text{E}}}$そして${\displaystyle W^{\text{M}}}$は、考慮対象の体積の電気エネルギーと磁気エネルギーの含有量です。最後に、 ${\displaystyle p_{ik}}$は、局所移動座標系で表現された流体圧力テンソルである。

$${\displaystyle p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma },}$$

そして${\displaystyle T_{ik}}$は電磁応力テンソルであり、

$${\displaystyle T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)\delta _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).}$$

プラズモイドは、磁場とプラズマの有限な構成です。ビリアル定理を用いると、外部からの力によって拘束されない限り、このような構成は膨張することが容易にわかります。圧力を支える壁や磁気コイルのない有限な構成では、面積分はゼロになります。右辺の他の項はすべて正であるため、慣性モーメントの加速度も正になります。膨張時間も容易に推定できます。${\displaystyle \tau }$総質量が${\displaystyle M}$半径内に限定されている${\displaystyle R}$すると、慣性モーメントはおおよそ${\displaystyle MR^{2}}$、そしてビリアル定理の左辺は${\displaystyle {\frac {MR^{2}}{\tau ^{2}}}}$右側の項の合計は約${\displaystyle pR^{3}}$、 どこ${\displaystyle p}$はプラズマ圧力または磁気圧力のうち大きい方である。これら2つの項を等しいとおいて、を解くと、${\displaystyle \tau }$すると、

$${\displaystyle \tau \,\sim {\frac {R}{c_{\mathrm {s} }}},}$$

どこ${\displaystyle c_{s}}$はイオン音波の速度（磁気圧がプラズマ圧よりも高い場合はアルフベン波の速度）である。したがって、プラズモイドの寿命は音波（またはアルフベン波）の伝播時間と同程度になると予想される。

物理システムの場合、圧力場、電磁場、重力場、および粒子の加速度場を考慮すると、ビリアル定理は相対論的形式で次のように記述されます。^{[ 23 ]}

$${\displaystyle \left\langle W_{k}\right\rangle \approx -0.6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,}$$

値が${\displaystyle W_{k}=\gamma _{c}T}$粒子の運動エネルギーを超える${\displaystyle T}$ローレンツ因子に等しい係数で ${\displaystyle \gamma _{c}}$システムの中心にある粒子について。通常の条件下では、 ${\displaystyle \gamma _{c}\approx 1}$すると、ビリアル定理では運動エネルギーは係数ではなく位置エネルギーと関係していることがわかります。${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$、しかし係数は0.6に近い。古典的なケースとの違いは、システム内の圧力場と粒子の加速度場を考慮することによって生じるが、スカラーの導関数は${\displaystyle G}$はゼロと等しくなく、物質微分として考慮されるべきである。

一般化ビリアルの積分定理の解析により、場の理論に基づいて、温度の概念を使用せずにシステムの典型的な粒子の二乗平均速度の式を見つけることが可能になる。^{[ 24 ]}

$${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{c}^{2}\sin ^{2}\left({\frac {r}{c}}{\sqrt {4\pi \eta \rho _{0}}}\right)}}}},}$$

どこ${\displaystyle ~c}$光速とは、${\displaystyle ~\eta }$は加速度場定数です。${\displaystyle ~\rho _{0}}$は粒子の質量密度であり、${\displaystyle ~r}$現在の半径です。

粒子のビリアル定理とは異なり、電磁場のビリアル定理は次のように記述されます。^{[ 25 ]}

$${\displaystyle ~E_{kf}+2W_{f}=0,}$$

エネルギーが${\textstyle ~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$4つの電流に関連する運動場エネルギーとして考えられます${\displaystyle j^{\alpha }}$、 そして

$${\displaystyle ~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0}}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$$

電磁テンソルの成分を通して求められるポテンシャル場エネルギーを設定します。

ビリアル定理は天体物理学で頻繁に応用され、特に系の重力ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーまたは熱エネルギーの関係を表すのに用いられる。一般的なビリアル関係には以下のようなものがある。$${\displaystyle {\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}={\frac {3}{2}}{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m_{\mathrm {p} }}}={\frac {1}{2}}v^{2}}$$ ミサのために${\displaystyle M}$半径${\displaystyle R}$速度${\displaystyle v}$温度${\displaystyle T}$定数はニュートン定数です${\displaystyle G}$ボルツマン定数${\displaystyle k_{B}}$、そして陽子の質量${\displaystyle m_{p}}$これらの関係は近似的なものであり、多くの場合、主要な数値因子（例：${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$または${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$）は完全に無視されている。

• ビリアル係数
• ウイルス性ストレス
• ビリアル質量
• チャンドラセカールテンソル
• チャンドラセカール・ビリアル方程式
• デリックの定理
• 等分配定理
• エーレンフェストの定理
• ポホジャエフの正体
• 統計力学