準周期運動

数学と理論物理学において、準周期運動とは、同じ点に戻ることのないトーラス上の運動のことです。この動作は、準周期的進化、ダイナミクス、またはフローとも呼ばれます。トーラスは、任意の点の近傍が 2 次元以上になるように一般化されたトーラスである場合があります。トーラスの各点には、トーラス上に残る運動の方向があります。トーラス上の流れが定義または固定されると、軌道が決まります。軌道が一定時間後に特定の点に戻る場合、運動はその周期で周期的であり、そうでない場合は準周期的です。

準周期運動は、トーラスの周りをさまざまな方向に回る運動の周波数として考えられる、有限の周波数セットによって特徴付けられます。たとえば、トーラスがドーナツの表面である場合、運動がドーナツの周りを回る周波数と、内側と外側に移動する周波数があります。ただし、周波数セットは一意ではありません。トーラス上の位置をパラメーター化する方法を再定義することで、同じサイズの別のセットを生成できます。これらの周波数は、以前の周波数の整数の組み合わせになります (逆変換も整数の組み合わせになるように)。準周期であるためには、周波数の比率が無理数でなければなりません。^{[1] [2] [3] [4]}

n 個の位置変数とそれに伴う変化率を持つハミルトン力学では、 n 個の保存量の集合が見つかることがあります。これは完全積分可能ケースと呼ばれます。この場合、各保存量に対して 1 つずつ、作用角座標と呼ばれる新しい位置変数が与えられ、これらの作用角は時間とともに単純に線形に増加します。これにより、保存量の「レベル セット」上の運動が生じ、結果としてn次元多様体であるトーラスが形成されます。つまり、局所的にはn次元空間の位相を持ちます。 ^{[5]この概念は、}トーラス上の線形フローに関する基本的な事実と密接に関連しています。これらの本質的に線形なシステムと、その摂動下での挙動は、非線形動的システムの一般理論で重要な役割を果たします。 ^{[6]準周期運動は、}カオス システムに特徴的なバタフライ効果を示さない。言い換えれば、トーラス上のわずかに異なる初期点から開始すると、偏差が大きくなるのではなく、常に元の軌道とわずかに異なる軌道になります。^[4]

ユークリッド空間内の直線に沿った直線運動は、直線運動の方向余弦が無理数比を形成する限り、空間がトーラス（コンパクトな空間）に変換され、すべての点が整数格子（整数座標を持つ点）に関して同じように位置している他の任意の点と等しくなるようにすると、準周期運動を生じます。次元が2の場合、これは方向余弦が通約不可能であることを意味します。より高い次元では、方向余弦が有理数体上で線形独立でなければならないことを意味します。^[5]

位相空間がトーラス Tによってモデル化されていると仮定すると(つまり、変数は角度のように周期的である)、準周期システムの軌跡は、トーラスの周りを回り、決してそれ自身に戻ることのないT上の曲線によってモデル化されます。Tの次元が少なくとも 2 であると仮定すると、これらは、(特定の点を単位元として指定することにより)グループ構造が与えられたトーラスの1 パラメータ サブグループとして考えることができます。

準周期運動は、その値が「準周期関数」のベクトルである時間の関数として表現できます。実数直線上の準周期関数fは、標準トーラスT ( n 個の角度で定義) 上の関数Fから、各角度が一定の割合で増加するトーラス内の軌道によって得られる関数です。^[7] n 個の「内部周波数」はn個の角度が進む速度ですが、前述のように、そのセットは一意に決定されません。多くの場合、トーラス内の関数は、多重フーリエ級数として表現できます。nが 2 の場合、これは次のようになります。

${\displaystyle F(\theta _{1},\theta _{2})=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }C_{jk}\exp(ij\theta _{1})\exp(ik\theta _{2})}$

軌道が

${\displaystyle \theta _{1}=a_{1}+\omega _{1}t}$

${\displaystyle \theta _{2}=a_{2}+\omega _{2}t}$

準周期関数は次のようになります。

${\displaystyle f(t)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }C_{jk}\exp(ija_{1}+ika_{2}+i(j\omega _{1}+k\omega _{2})t)}$

これは、展開には有限個の周波数の倍数ではなく、無限個の周波数が存在する可能性があることを示しています。どの係数が非ゼロであるかに応じて、「内部周波数」と自体は、および などの代替の内部周波数セットを使用する場合でも、この展開の項に寄与しない可能性があります。 ^[8]比率が特定の定数である場合にのみ が非ゼロである場合、関数は実際には準周期的ではなく周期的です。 ${\displaystyle C_{jk}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}.}$${\displaystyle C_{jk}}$${\displaystyle i/j}$

モードの数に関連する幾何学とフーリエ理論については、クロネッカーの定理を参照してください。 T内の任意の 1 パラメータ サブグループの閉包 (の像) は、ある次元dのサブトーラスです。そのサブトーラスでは、クロネッカーの結果が適用されます。つまり、有理数に対して線形独立なd個の実数があり、それらが対応する周波数です。

準周期的なケースでは、像が密であり、運動のエルゴード性に関する結果が証明される。Tの任意の測定可能な部分集合 A （通常の確率測度の場合）に対して、A内での運動に費やされる時間の平均割合はAの測度に等しい。^[9]

ほぼ周期的な関数の理論は、大まかに言えば、同じ状況ですが、T を無限次元のトーラスとみなします。ピアーズ・ボールの研究に続いてアーネスト・エスクランゴンが行った準周期関数の初期の議論は、実際にハラルド・ボーアの用語であるほぼ周期的な関数の定義につながりました。^[10]イアン・スチュワートは、この時期の古典的天体力学のデフォルトの立場は、準周期的として記述できる運動が最も複雑なものであったと書いています。^[11]太陽系の場合、惑星同士の重力による引力が無視できる場合は明らかにそうなるでしょうが、その仮定が複雑な数学の出発点であることが判明しました。^[12]アンドレイ・コルモゴロフが 1950 年代に始めた研究の方向性は、位相空間トーラス上の準周期的な流れが摂動に耐えることができるという理解につながりました。^[13]

注意:準周期関数の概念、例えば複素解析におけるシータ関数やワイエルシュトラスのゼータ関数が周期格子に関して準周期を持つと言われる意味は、このトピックとは異なるものです。

• 準周期性
• コルモゴロフ・アーノルド・モーザー定理