数値相対性

数値相対論は、数値的方法とアルゴリズムを使用して問題を解決および分析する一般相対論の分野の 1 つです。この目的のために、スーパーコンピューターは、ブラックホール、重力波、中性子星、およびアルバート アインシュタインの一般相対性理論で説明されている他の多くの現象を研究するためによく使用されます。数値相対論の現在活発な研究分野は、相対論的連星とそれに関連する重力波のシミュレーションです。

数値相対論の主な目的は、正確な形がわかっていない時空を研究することです。計算によって発見された時空は、完全に動的、定常、または静的のいずれかであり、物質場または真空を含む可能性があります。定常および静的ソリューションの場合、数値手法を使用して平衡時空の安定性を研究することもできます。動的時空の場合、問題は初期値問題と発展に分けられ、それぞれに異なる方法が必要です。

数値相対論は、宇宙論 モデル、臨界現象、摂動を受けた ブラックホールと中性子星、ブラックホールと中性子星の合体など、多くの分野に適用されています。これらのいずれの場合も、アインシュタインの方程式は、ダイナミクスを展開できるいくつかの方法で定式化できます。コーシー法が大部分の注目を集めていますが、特性計算やレッジェ計算に基づく方法も使用されています。これらの方法はすべて、ある超曲面上の重力場のスナップショット、つまり初期データから始まり、これらのデータを隣接する超曲面へと展開します。^[1]

数値解析におけるすべての問題と同様に、数値解の安定性と収束には細心の注意が払われます。この分野では、ゲージ条件、座標、アインシュタイン方程式のさまざまな定式化、およびそれらが正確な数値解を生成する能力に与える影響 に多くの注意が払われます。

数値相対論の研究は、これらの分野で実施される多くの技術が相対論には適用できないため、古典的な場の理論に関する研究とは異なります。しかし、多くの側面は、計算流体力学、電磁気学、固体力学などの他の計算科学における大規模な問題と共有されています。数値相対論者は、応用数学者と協力することが多く、数値解析、科学的計算、偏微分方程式、幾何学などの数学の専門分野から洞察を得ています。

アルバート・アインシュタインは1915年に一般相対性理論を発表しました。^[2] これは、以前の特殊相対性理論と同様に、現在アインシュタイン場の方程式として知られているものに従う統一された時空として空間と時間を記述しました。これらは、結合した非線形偏微分方程式（PDE）のセットを形成します。理論の最初の発表から100年以上経った後、場の方程式の閉じた形式の解は比較的少数しか知られておらず、それらのほとんどは方程式の複雑さを軽減するために特殊対称性を仮定した宇宙論的解です。

数値相対論の分野は、アインシュタイン方程式を数値的に近似的に解くことによって、場の方程式のより一般的な解を構築し研究したいという要望から生まれました。そのような試みに必要な前段階は、時空を分離した空間と時間に戻す分解でした。これは、 1950 年代後半にRichard Arnowitt、Stanley Deser、Charles W. Misnerによって最初に発表され、 ADM 形式として知られるようになりました。^[3] 技術的な理由から、元の ADM 論文で定式化された正確な方程式が数値シミュレーションで使用されることはめったにありませんが、数値相対論への実用的なアプローチのほとんどは、時空を 3 次元空間と 1 次元時間に「3+1 分解」して、ADM 形式と密接に関連しています。これは、ADM 手順がアインシュタイン場の方程式を、計算手法を使用して対処できる制約付き 初期値問題に再定式化するためです。

ADM が最初の論文を発表した当時、コンピュータ技術では、相当規模の問題に対する方程式の数値解法はサポートされていなかったでしょう。アインシュタイン場の方程式を数値的に解く最初の試みは、1964 年の SG Hahn と RW Lindquist によるものと思われます^[4] 。その後すぐにLarry Smarr ^{[5] [6]}と KR Eppley が続きました。^{[7]これらの初期の試みは、}軸対称(「2+1 次元」とも呼ばれる) におけるミスナー データの進化に焦点を当てていました。ほぼ同じ時期に、 Tsvi Piran は、円筒対称性を使用して重力放射を持つシステムを展開する最初のコードを書きました^[8] 。この計算で、Piran は、ADM 形式論で生じる制約方程式の扱いに関する基本的な問題に対処する「自由進化」と「制約進化」など、今日 ADM 方程式を展開する際に使用される多くの概念の基礎を築きました^{[明確化が必要]} 。対称性を適用することで、問題に関連する計算およびメモリ要件が削減され、研究者は当時利用可能な スーパーコンピューターで結果を得ることができました。

回転崩壊の最初の現実的な計算は、80年代初頭にリチャード・スタークとツヴィ・ピランによって行われた^[9]。このとき、回転するブラックホールの形成から生じる重力波の形が初めて計算された。最初の結果から20年近く経つが、数値相対論では他の結果はほとんど発表されていなかった。おそらく、この問題を扱えるほど強力なコンピュータがなかったためだろう。1990年代後半、バイナリー・ブラックホール・グランド・チャレンジ・アライアンスは、バイナリー・ブラックホールの正面衝突のシミュレーションに成功した。後処理ステップとして、グループは時空の事象の地平線を計算した。この結果を得るには、計算に軸対称性を課してそれを利用する必要があった。^[10]

3次元でアインシュタイン方程式を解く最初の試みのいくつかは、単一のシュワルツシルトブラックホールに焦点を当てたもので、これはアインシュタイン場の方程式の静的かつ球対称な解で記述される。これは数値相対論の優れたテストケースとなる。なぜなら、閉じた形式の解を持つため数値結果を厳密解と比較することができ、静的であり、相対論の最も数値的に難しい特徴の1つである物理的特異点を含んでいるからである。この解をシミュレートしようとした最も初期のグループの1つは、1995年のピーター・アニノスらである。^[11] 彼らは論文で、

「3次元数値相対論の進歩は、3D時空の十分な解像度の計算を実行するのに十分なメモリと計算能力を備えたコンピュータの不足によって部分的に妨げられてきました。」

その後の数年間で、コンピュータの性能が向上しただけでなく、さまざまな研究グループが計算の効率を向上させるための代替技術を開発しました。特にブラックホールのシミュレーションに関しては、方程式の解における物理的特異点の存在に関連する問題を回避するために、(1) 切除法と (2) 「パンクチャー」法という 2 つの技術が考案されました。さらに、Lazarus グループは、非線形 ADM 方程式を解く短期シミュレーションの初期結果を使用する技術を開発しました。これは、摂動論から導出された線形化方程式に基づくより安定したコードの初期データを提供するためです。より一般的には、計算流体力学で既に使用されていた適応メッシュ改良技術が、数値相対論の分野に導入されました。

1990 年代後半に初めて提案された除去技法^{[12]では、ブラックホールの特異点を取り囲む}事象の地平線の内側の時空の一部は、単純に進化しません。理論的には、因果律の原理と事象の地平線の特性 (つまり、ブラックホール内部の物理的要素は、地平線外部の物理現象に影響を与えることはできない) により、これは事象の地平線外部の方程式の解には影響しないはずです。したがって、地平線内部の方程式を解かなくても、外部で有効な解を得ることができるはずです。特異点を取り囲む境界に、地平線内部の境界に入力境界条件を課すことで、内部を「除去」します。除去の実装は非常に成功していますが、この技法には 2 つの小さな問題があります。1 つ目は、座標条件に注意する必要があることです。物理的効果は内部から外部に伝播できませんが、座標効果は伝播できます。たとえば、座標条件が楕円形の場合、内部の座標変化は地平線を通じて瞬時に伝播する可能性があります。これは、座標効果の伝播には、光より遅い特性速度を持つ双曲型座標条件が必要であることを意味します (たとえば、調和座標座標条件を使用)。2 つ目の問題は、ブラック ホールが移動すると、ブラック ホールとともに移動するように、除去領域の位置を継続的に調整する必要があることです。

切除技術は、安定性を高める新しいゲージ条件の開発や、切除領域が計算グリッド内を移動できることを実証する作業など、数年にわたって開発されました。^{[13] [14] [15] [16] [17] [18]} この技術を使用した2つのブラックホールの軌道と合体の安定した長期的な進化の最初の結果は2005年に発表されました。^[19]

パンクチャー法では、解はブラックホールの特異点を含む解析的部分^[20]と、特異点のない数値的に構築された部分に分解されます。これは、静止しているブラックホールの初期データに関する Brill-Lindquist ^[21]の規定を一般化したものであり、回転および移動するブラックホールの初期データに関する Bowen-York ^[22]の規定に一般化できます。2005 年まで、パンクチャー法の公開された使用法はすべて、シミュレーションの過程ですべてのパンクチャーの座標位置が固定されていることを条件としていました。もちろん、互いに近接しているブラックホールは重力の影響で移動する傾向があるため、パンクチャーの座標位置が固定されているという事実は、座標系自体が「引き伸ばされる」または「ねじれる」ことを意味し、これは通常、シミュレーションのいくつかの段階で数値的不安定性につながります。

2005年、研究者グループが初めて座標系を介してパンクチャーを移動できることを実証し、この方法の以前の問題のいくつかを解消しました。これにより、ブラックホールの正確な長期的発展が可能になりました。^{[19] [23] [24]}適切な座標条件を選択し、特異点近くのフィールドについて大まかな解析的仮定を行うことで（ブラックホールから物理的影響が伝播することはないため、近似の粗さは問題になりません）、2つのブラックホールが互いの周りを回る問題に対する数値解と、それらから放出される重力放射（時空のさざ波）の正確な計算が得られます。2005年は、特殊相対性理論の奇跡の年（1905年） から100年後に、数値相対性理論の「奇跡の年」と改名されました。

ラザルス計画（1998-2005）は、グランドチャレンジ後の技術として、連星ブラックホールの短期間の完全な数値シミュレーションから天体物理学的結果を抽出するために開発された。これは、前（ポストニュートン軌道）と後（単一ブラックホールの摂動）の近似技術を、アインシュタインの場の方程式を解こうとする完全な数値シミュレーションと組み合わせたものである。^[25]連星ブラックホールの周りの重力場を記述するヒルベルト-アインシュタイン方程式をスーパーコンピューターで数値的に統合するこれまでのすべての試みは、1周が完了する前にソフトウェア障害に終わった。

一方、ラザルス計画のアプローチは、連星ブラックホール問題に対する最良の洞察を与え、最新の合体状態で放出された放射エネルギーと角運動量、^{[26] [27]}不等質量のブラックホールによって放射された線形運動量、^[28]および残存ブラックホールの最終的な質量とスピンなど、多数の比較的正確な結果を生み出しました。^[29]この方法はまた、合体プロセスによって放出された詳細な重力波を計算し、ブラックホールの衝突が宇宙で最もエネルギーの高い単一イベントであり、銀河全体が一生の間に放出するよりも多くのエネルギーを重力放射の形で一瞬のうちに放出すると予測しました。

数値的手法としての適応メッシュ改良(AMR) は、数値相対論の分野での最初の応用をはるかに超えた歴史を持っています。メッシュ改良は、1980 年代にチョプティックによるスカラー場の臨界崩壊の研究を通じて数値相対論の文献に初めて登場しました。^{[30] [31]} 元の研究は 1 次元でしたが、その後 2 次元に拡張されました。^{[32] 2 次元では、AMR は}不均質宇宙論 の研究にも適用されています。^{[33] [34]}シュワルツシルト ブラック ホールの研究にも適用されています。^{[35]この手法は現在、数値相対論の標準的なツールとなっており、ブラック ホールやその他のコンパクト オブジェクトの合体、さらにはそのような天文イベントによって生成される}重力放射 の伝播の研究に使用されています。^{[36] [37]}

過去数年間^{[いつ? ]}、数百の研究論文が発表され、軌道を回るブラックホールの問題に関する数学的相対性理論、重力波、天体物理学的結果の幅広い範囲につながっています。この手法は、中性子星とブラックホールを含む天体物理学的連星系にまで拡張され、^{[38]複数のブラックホール[39]}も対象となりました。最も驚くべき予測の 1 つは、2 つのブラックホールの合体により、残骸のブラックホールが最大 4000 km/s の速度で移動し、既知のどの銀河からも脱出できる可能性があるというものです。^{[40] [41]}シミュレーションでは、この合体プロセスで膨大な重力エネルギーが放出されることも予測されており、その量は静止質量の最大 8% に達します。^[42]

• 一般相対性理論の数学
• ニュートン以降の膨張
• スピンフリップ
• カクタスフレームワーク

• 数値相対論の初期データ — 数値相対論の技術的な議論を含むレビュー記事。
• 相対論における回転する星 — 数値相対論の応用に関するセクションを含む、回転する星に関する技術レビュー記事。
• Caltech の相対性理論チュートリアル — 数値相対性理論の概念の基本的な紹介。