中央構成

天体力学において、中心配置とは、各質点が系の合成重力によって質量中心に向かって直接引っ張られ、その加速度が中心からの距離に比例するという性質を持つ質点系である。中心配置は、任意の次元のユークリッド空間で定式化されたn体問題で研究されるが、物理空間における天体力学に直接関連するのは1、2、3次元のみである。^{[1] [2]}

n個の等しい質量に対して、1つの可能な中心配置は、質量を正多角形（クレンペラーのロゼットを形成）、プラトン立体、または高次元の正多面体の頂点に配置することです。配置の中心性はその対称性から生じます。また、任意の質量の追加点をシステムの質量の中心に配置しても、その中心性は変わりません。^[1]

正三角形に3つの質量体を配置するか、正四面体の頂点に4つの質量体を配置するか、より一般的には正単体の頂点にn個の質量体を配置すると、質量が等しくなくても中心配置が生成されます。これは、これらの質量の中心配置のうち、低次元の部分空間に存在しない唯一の中心配置です。^[1]

ニュートンの万有引力の法則によれば、中心配置で静止している物体は、質量中心で衝突して崩壊してもその配置を維持する。2次元の中心配置にある物体のシステムは、相対的な位置を維持しながら質量中心の周りを円軌道で、または質量中心が楕円の焦点にある楕円軌道で安定して周回することができる。これらは、粒子のシステムが常に初期配置と類似した状態を維持する3次元空間で可能な唯一の安定軌道である。^[1]

より一般的には、ニュートンの重力下で運動し、すべての粒子が時間と空間内の一点で衝突するあらゆる粒子系は、時間が衝突時間に近づく極限で中心配置に近づきます。同様に、最終的にすべての粒子が正確に脱出速度で互いに逃げる粒子系は、時間が無限大に近づく極限で中心配置に近づきます。そして、ニュートンの重力下で剛体のように運動する粒子系は、中心配置で運動しなければなりません。地球の海洋の大規模な嵐システムなどの2次元流体力学の渦も、中心配置に整列する傾向があります。^[2]

2 つの中心配置は、類似している場合、つまり、回転、平行移動、拡大縮小の組み合わせによって相互に変換できる場合、同等であると見なされます。この同等性の定義では、1 つまたは 2 つの点の配置は 1 つだけであり、常に中心となります。

3体の場合、レオンハルト・オイラーによって発見された3つの1次元中心配置があります。3点中心配置の集合の有限性は、ジョゼフ・ルイ・ラグランジュが3体問題の解決法で示しました。ラグランジュは、3点が正三角形の頂点を形成する非共線中心配置が1つだけあることを示しまし た。^[2]

任意の次元の4つの点には、有限個の中心配置しかありません。この場合、配置の数は、点の質量に応じて、少なくとも32、最大で8472です。^{[3] [4]} 4つの等しい質量の唯一の凸型中心配置は正方形です。^{[5] 3次元にまたがる4つの質量の唯一の中心配置は、正}四面体の頂点によって形成される配置です。^[6]

1次元上の任意の数の点に対しても、直線上の点のn !/2の線形順序（順序の反転まで）ごとに1つずつ、有限個の解しか存在しません。^{[1] [2] [7] [8]}

n個の質点の集合とn未満の次元ごとに、その次元の中心配置が少なくとも 1 つ存在します。^[1] ほとんどすべてのn組の質量に対して、ちょうどn − 2次元にまたがる「Dziobek」配置が有限個存在します。 ^[1] 2 次元以上の 5 個以上の質量の中心配置の数に常に制限があるかどうかは、Chazy (1918) と Wintner (1941) によって提起された未解決の問題です。 1998 年、Stephen Smale はこの問題を「次の世紀の数学的問題」のリストの 6 番目に含めました。^{[2] [9] [10] [11]}部分的な進歩として、ほとんどすべての 5 組の質量に対して、5 点の 2 次元中心配置の数は制限されているだけです。^[12]

中心構成は、その質量の3つ以上の部分集合も中心構成を形成する場合、積み重ねられていると言われます。たとえば、等しい質量が四角錐を形成し、その底部の4つの質量も中心構成を形成する場合や、質量が三角錐を形成し、その中央の三角形にある3つの質量も中心構成を形成する場合などです。^[13]

蜘蛛の巣中心配置とは、同心円の集合と別の直線の集合の交点に質量が位置し、円の中心で等角度で交わる配置である。直線と単一の円の交点はすべて等しい質量の点で占められるが、質量は円ごとに異なっていてもよい。追加の質量（ゼロの場合もある）がシステムの中心に置かれる。蜘蛛の巣中心配置の各同心円上の任意の所望の線の数、円の数、および質量のプロファイルについて、それらのパラメータに一致する蜘蛛の巣中心配置を見つけることが可能である。^{[14] [15]同様に、入れ子になった}プラトン立体 の族、またはより一般的には直交群の任意の有限部分群の群論的軌道の中心配置を得ることができる。^[16]

ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、1つの円、巨大な中心天体、そして円上の等間隔の点にあるはるかに軽い天体からなるこれらの配置の特別なケースが、土星の環の動きを理解するのに使えるかもしれないと示唆した。^{[14] [17]}サーリ（2015）は、既知の質量分布を持つ蜘蛛の巣状の中心配置から生成された安定した軌道を使用して、銀河の質量分布の古典的な推定方法の精度をテストした。彼の結果は、これらの方法が非常に不正確である可能性があることを示し、銀河の動きを予測するために必要な暗黒物質は標準理論が予測するよりも少ない可能性があることを示している。^[14]