論理的等価性

論理学と数学において、文と は、どのモデルにおいても真理値が同じである場合に、論理的に同等であるとされます。^[1]と の論理的同値性は、使用されている表記法に応じて、 、、、またはと表現されることがあります。ただし、これらの記号は物質的同値性にも使用されるため、適切な解釈は文脈によって異なります。論理的同値性と物質的同値性は本質的に関連していますが、2つの概念は異なります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p\equiv q}$${\displaystyle p::q}$${\displaystyle {\textsf {E}}pq}$${\displaystyle p\iff q}$

論理学では、多くの共通の論理的等価性が存在し、法則や特性としてリストされることがよくあります。次の表は、これらのいくつかを示しています。

1. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg p\vee q}$
2. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p}$
3. ${\displaystyle p\vee q\equiv \neg p\implies q}$
4. ${\displaystyle p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)}$
5. ${\displaystyle \neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q}$
6. ${\displaystyle (p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)}$
7. ${\displaystyle (p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)}$
8. ${\displaystyle (p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r}$
9. ${\displaystyle (p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r}$

1. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)}$
2. ${\displaystyle p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q}$
3. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)}$
4. ${\displaystyle \neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q\equiv p\oplus q}$

ここで、 はXORを表します。 ${\displaystyle \oplus }$

次の文は論理的に同等です。

1. リサがデンマークにいる場合、彼女はヨーロッパにいることになります( という形式の文)。${\displaystyle d\implies e}$
2. リサがヨーロッパにいない場合、彼女はデンマークにいません ( という形式の文)。${\displaystyle \neg e\implies \neg d}$

統語的には、(1)と(2)は対置と二重否定の規則によって互いに導き出せる。意味的には、(1)と(2)はまったく同じモデル(解釈、評価)において真である。つまり、リサがデンマークにいる場合は偽、リサがヨーロッパにいる場合は真である。

（この例では古典論理が前提となっていることに注意してください。一部の非古典論理では（1）と（2）は論理的に同等であるとはみなされません。）

論理的同値性と物質的同値性は異なる。式とが論理的に同値性を持つのは、それらの物質的同値性（ ）の記述がトートロジーである場合のみである。 ^[2]${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p\leftrightarrow q}$

と（多くの場合 と表記される）の物質的同値性は、それ自体がおよびと同じオブジェクト言語における別のステートメントです。このステートメントは、「の場合に限り」という考えを表現します。特に、 の真理値はモデルごとに変わる可能性があります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p\leftrightarrow q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p\leftrightarrow q}$

一方、2 つの式が論理的に同等であるという主張は、2 つのステートメントとの関係を表現するメタ言語のステートメントです。すべてのモデルにおいて、ステートメントの真理値が同じである場合、ステートメントは論理的に同等です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

• 含意
• 等充足可能性
• もし、そして、もし、
• 論理双条件
• 論理的等価性
• ≡ iff 記号 (U+2261と同一)
• ∷ aはb に対して、 c はdに対してという記号 (U+2237比率)
• ≡二重引用符付き二条件文 (U+21D4左右二重矢印)
• ↔双方向矢印 (U+2194左右矢印)