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数学演習とは、代数やその他の数学を与えられた課題に日常的に適用するものです。数学教師は生徒のスキルを伸ばすために数学演習を課します。初期の演習では、整数の加算、減算、乗算、除算を扱います。学校で行われる広範な演習コースでは、このような算術を有理数にまで拡張します。幾何学のさまざまなアプローチでは、角度、線分、三角形の関係に基づいた演習が行われています。三角法の分野では、三角恒等式から多くの演習が生まれています。大学の数学では、演習はしばしば実変数の関数や定理の応用に依存します。微積分学の標準的な演習では、指定された関数の導関数と積分を求めます。
通常、教師は学生に例題を示して準備させます。まず練習問題が提示され、次に模範解答が示されます。多くの場合、学生が自力で練習問題に取り組む準備ができる前に、いくつかの例題が示されます。シャウムのアウトラインシリーズのような一部の教科書は、数学のトピックの理論的な解説よりも、例題に重点を置いています。
小学校では、生徒はまず1桁の算数の練習から始めます。その後、ほとんどの練習は少なくとも2桁の数字を扱います。初等代数でよくある練習は、多項式の因数分解です。別の練習は、 2次多項式の平方完成です。人工的に作成された文章問題は、数学を身近なものにするための練習の一種です。スティーブン・リーコックはこのタイプを次のように説明しています。[ 1 ]
アラン・H・シェーンフェルドは、練習問題と数学の問題の区別をしました。 [ 2 ]
彼は課題を設定することを提唱した。
マービン・ビッティンガーも、教科書の第2版[ 3 ]を準備した際に同様の意見を述べている。
各生徒、または生徒のグループごとに設定された最近接発達領域は、生徒にとって挑戦的でありながらも挫折感を与えない難易度の課題を設定する。
微積分学の教科書[ 4 ]の序文にあるいくつかのコメントは、その教科書における演習問題の中心的な位置づけを示している。
このテキストには、「応用における関数とグラフ」（第0.6章）が含まれており、これは文章問題の準備のための14ページにわたる内容です。
有限体に関する本の著者は、演習問題を自由に選んだ。[ 5 ]
JC Maxwellは、運動が数学の言語へのアクセスを容易にする方法を説明しました。[ 6 ]
様々な大学の個々の講師は、数学の授業の一環として演習問題を使用しています。大学における問題解決について調査したシェーンフェルドは、次のように述べています。 [ 7 ]
こうした練習問題集は、指導者とその所属機関の専有物である場合がある。練習問題集の価値を示す例として、公文寅氏とその公文式学習法の成果を考えてみよう。公文式では、生徒は各レベルの練習問題を完全に習得するまで次のレベルに進むことはできない。ロシア数学学校では、生徒は小学校1年生から多段階の問題に取り組み、以前の結果を積み重ねて解答へと進んでいくことを学ぶ。
1960年代には、ロシア語から数学の演習問題集が翻訳され、 WH Freeman and Companyから出版されました。ソ連オリンピック問題集(1962 年) [ 8 ] 、高等代数の問題集(1965 年) [ 9 ]、微分方程式の問題集(1963 年) [ 10 ]などです。
中国では、古代から数を表すために数棒が使われ、算術は数棒計算、後に算盤で行われていました。『数と計算の書』と『九章算術』には、線形代数の模範となる演習が含まれています。[ 11 ]
980年頃、アル＝シジは『幾何学的図形の導出を容易にする方法』を著し、これは1996年にヤン・ホーゲンダイクによって翻訳・出版された。[ 12 ]
アラビア語の演習問題集がスペイン語に翻訳され、『Compendio de Algebra de Abenbéder 』としてNature誌でレビューされた。[ 13 ]
ロバート・レコードは1543年に『芸術の基礎』を初めて出版した。 [ 14 ]
まず、ほとんどが解説で、練習問題はほとんどありませんでした。練習問題は18世紀と19世紀に普及しました。比較のために、1751年に初版が出版された別のベストセラー、ウォーキングゲームの『家庭教師の助手』を見てみましょう。この本は70パーセントが練習問題に費やされているのに対し、レコードの本では約1パーセントしかありませんでした。練習問題の導入は、算数の教科書におけるその後の最も重要な発展の1つであり、教師が教科書を練習問題の資料として利用し始めたことで、教育の発展と並行していました。レコードは主に独学で学ぶ人、つまり練習問題の答えをチェックしてくれる人がいない学者向けに書いていました。
1900年以前のヨーロッパでは、図像的遠近法の科学が幾何学の演習の枠組みとなっていた。例えば、1719年にブルック・テイラーは『線遠近法の新原理』の中で次のように書いている。
テイラーは続けた
学校での筆記用石板の使用は、初期の練習問題の形式を提供した。練習問題の普及は、筆記試験の導入と、ペンと紙を用いた学習の導入に伴って進んだ。
フェリックス・クラインは、エコール・ポリテクニークの入学試験の準備について次のように述べている[ 17 ]
シルヴェストル・ラクロワは才能あふれる教師であり、解説者でもあった。彼の記述幾何学に関する著書では、「問題」と題された章を用いて読者の理解度を鍛えている。1816年には『教育全般に関するエッセイ、特に数学教育に関するエッセイ』を著し、その中で、練習とテストの必要性を強調した。
アンドリュー・ワーウィックは、運動に関する歴史的な問題に注目している。
ケンブリッジ大学で導入された数学トライポス試験について報告する中で、彼は次のように述べている。
試験と運動の関係を説明する中で、彼は次のように書いている。
改革がどのように根付いたかを説明する中で、ウォーウィックは次のように書いている。
ウォーウィックは、ドイツではほぼ同時期にフランツ・エルンスト・ノイマンが「学生に基本的な数学的スキルとテクニックの階層を紹介する段階的な演習の共通システムを開発し、…学生がその技術を習得できる独自の問題集を作成し始めた」と報告している。 [ 19 ]： 174 ロシアでは、ステファン・ティモシェンコが演習を中心とした指導法を改革した。1913年、彼はサンクトペテルブルク国立通信大学で材料力学を教えていた。1968年に彼が書いたように、
