原始的な概念

数学、論理学、哲学、形式体系において、原始概念とは、以前に定義された概念によって定義されていない概念のことである。それはしばしば非形式的に動機づけられ、通常は直観に訴えるか、自明であるとみなされる。公理的理論では、原始概念間の関係は公理によって制限される。^{[ 1 ]}一部の著者は後者を1つ以上の公理によって原始概念を「定義する」と呼んでいるが、これは誤解を招く可能性がある。形式理論は、無限後退の危険を冒して原始概念を排除することはできない。

例えば、現代幾何学では、点、線、および含むといった概念は、いくつかの基本的な概念である。

アルフレッド・タルスキは原始概念の役割を次のように説明した。^{[ 2 ]}

ある学問分野を構築しようとする際、まず、その分野において、すぐに理解できると思われる表現の小さなグループを区別します。このグループの表現を「原始用語」または「未定義用語」と呼び、意味を説明せずに用います。同時に、次の原則を採用します。すなわち、原始用語と、意味が既に説明されているその分野の表現を用いて、その意味が最初に確定されない限り、検討対象の学問分野の他の表現は用いない、という原則です。このようにして用語の意味を確定する文を「定義」と呼びます。

認識論における原始的な概念への必然的な回帰は、ギルバート・デ・B・ロビンソンによって説明された。

数学者でない人にとっては、使用されているすべての用語を明示的に定義することは不可能であるという事実は、しばしば驚きとなる。これは表面的な問題ではなく、すべての知識の根底にある問題である。どこかから始めなければならず、進歩するためには、定義されていない要素や関係、そして当然のこととされている性質を明確に述べなければならない。^{[ 3 ]}

数学におけるいくつかの公理的基礎において、原始概念の必要性が示されている。

• 集合論：集合の概念は、原始的な概念の一例です。メアリー・タイルズが書いているように、^{[ 4 ]}「集合」の「定義」は、定義というよりは、原始的で未定義の用語として扱われているものの説明を試みるものです。彼女は証拠として、フェリックス・ハウスドルフの「集合は、個々の対象をまとめて全体として形成する。集合は、単位として考えられる複数である」を引用しています。
• 素朴な集合論：空集合は原始的な概念である。空集合が存在すると主張することは、暗黙の公理となる。
• ペアノ算術：後継関数とゼロは原始概念である。ペアノ算術は数の性質に関して有用であるため、原始概念が表す対象は厳密には重要ではないかもしれない。^{[ 5 ]}
• 実数の算術：一般的に、基本的な概念は、実数、2 つの二項演算（加算と乗算）、0 と 1 の数、順序付けです。
• 公理系：原始概念は、そのシステムに選択された公理の集合に依存します。 アレッサンドロ・パドアは、1900年にパリで開催された国際哲学会議でこの選択について議論しました。^{[ 6 ]}概念自体は必ずしも明示する必要はありません。スーザン・ハック（1978）は、「公理の集合は、その原始用語の暗黙の定義を与えると言われることがある」と書いています。^{[ 7 ]}
• ユークリッド幾何学：ヒルベルトの公理系では、基本的な概念は点、線、平面、合同、中間性、および接続です。
• ユークリッド幾何学：ペアノの公理系では、基本概念は点、線分、運動である。

数学の哲学に関する著書『数学の原理』 の中で、バートランド・ラッセルは次のような概念を用いている。クラス計算（集合論）においては、集合のメンバーシップを原始概念として、関係を用いている。集合を確立するために、彼は命題関数を原始概念として確立し、集合構成記法で用いられる「～である」という語句も原始概念として確立している。（18、9ページ）関係に関しては、ラッセルは与えられたxRyの逆関係と補関係を原始概念として採用している。さらに、関係の論理積と関係の相対積も原始概念である。（25ページ）記述による対象の指示に関しては、ラッセルは原始概念が関わっていることを認めている。（27ページ）ラッセルの著書のテーゼは「純粋数学は少数の概念しか用いず、それらは論理定数である」である。（xxiページ）

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