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以下で議論する数学的 命題は、 ZFC（ツェルメロ＝フレンケル公理系と選択公理からなる、現代数学の標準的な公理的集合論）が無矛盾であると仮定すれば、ZFCから証明可能な独立性を持つ。命題がZFCから独立している（「ZFCにおいて決定不能」と表現されることもある）とは、ZFCの公理系から証明も反証もできない場合をいう。
1931年、クルト・ゲーデルは不完全性定理を証明し、ZFCを含む多くの数学理論が自身の無矛盾性を証明できないことを明らかにした。このような理論のω-無矛盾性を仮定すると、無矛盾性に関する主張は反証できないため、独立していることになる。数年後、そのような理論に依存しない他の算術的主張が定義された。例えば、ロッサーのトリックを参照されたい。
以下の集合論的命題は、とりわけZFCとは独立している。
以下のような連鎖的な影響が考えられます。
（順序理論の項を参照）：
大きな基数の存在に関するいくつかの命題は、ZFC では証明できません (ZFC が無矛盾であると仮定した場合)。これらの命題は、ZFC と無矛盾である限り、ZFC とは独立しており、ほとんどの作業集合論者はそうであると考えています。これらの命題は、ZFC の無矛盾性を暗示するのに十分な強さを持っています。このことから、(ゲーデルの第 2 不完全性定理を介して)、ZFC では、これらの命題と ZFC の無矛盾性を証明できないという結果になります (ZFC が無矛盾であると仮定した場合)。以下の命題はこのクラスに属します。
適切な大きな基数の一貫性を仮定すれば、以下の命題はZFCとは独立であることが証明できる。
実数直線には、測度論やベール圏定理に関連する命題と結びついた多くの基数不変量があり、その正確な値は ZFC に依存しません。それらの間には非自明な関係が証明できますが、ほとんどの基数不変量はℵ 1から2 ℵ 0までの任意の正則基数になり得ます。これは実数直線の集合論における主要な研究分野です (チホン図を参照)。MA は、最も興味深い基数不変量のほとんどを 2 ℵ 0に設定する傾向があります。
実数直線の部分集合Xが強測度ゼロ集合であるとは、正の実数の任意の列 ( ε n ) に対して、 Xを覆い、長さが高々 ε n であるような区間の列 ( I n )が存在する場合をいう。すべての強測度ゼロ集合は可算であるというボレルの予想は、ZFC とは無関係である。
実数直線の部分集合Xはすべての開区間が を含む場合、密である-Xの多くの要素。すべて-稠密集合が順序同型であることはZFCに依存しない。[ 2 ]
ススリンの問題は、特定の短い性質のリストが実数の順序集合Rを特徴づけるかどうかを問うものです。これは ZFC では決定不能です。[ 3 ]ススリン線とは、この特定の性質のリストを満たすがRと順序同型ではない順序集合です。ダイヤモンド原理◊はススリン線の存在を証明し、MA + ¬CH は EATS (すべてのアロンシャイン木は特別である) を意味します。[ 4 ]これはさらに (ただし同等ではない)ススリン線の非存在を意味します。[ 5 ]ロナルド・ジェンセンはCH がススリン線の存在を意味しないことを証明しました。[ 6 ]
クレパ木の存在は、アクセス不可能な基数の一貫性を仮定すれば、ZFCとは無関係である。[ 7 ]
序数の分割の存在単色非可算連続閉部分集合を持たない 2 色への分割は、Mahlo 基数の一貫性を仮定すると、ZFC、ZFC + CH、および ZFC + ¬CH とは独立である。[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] このShelahの定理は、 H. Friedmanの質問に答えるものである。
1973年、サハロン・シェラは、ホワイトヘッド問題（「Ext 1 (A, Z ) = 0 を満たすすべてのアーベル群Aは自由アーベル群か？」）が ZFC とは無関係であることを示した。 [ 11 ] Ext 1 (A, Z ) = 0を満たすアーベル群はホワイトヘッド群と呼ばれ、MA + ¬CH は非自由ホワイトヘッド群の存在を証明し、V = Lはすべてのホワイトヘッド群が自由であることを証明する。適切な強制の初期の応用例の 1 つで、シェラは非自由ホワイトヘッド群が存在する ZFC + CH のモデルを構築した。[ 12 ] [ 13 ]
数年前、バーバラ・オソフスキーは、以下のようないくつかの独立性に関する結果を証明していた。
具体的な多項式p ∈ Z [ x 1 , ..., x 9 ]を書き下すと、「 p ( m 1 , ..., m 9 ) = 0となる整数m 1 , ..., m 9が存在する」という命題はZFC では証明も反証もできない (ZFC が無矛盾であると仮定した場合)。これは、ヒルベルトの第 10 問題のユーリ・マティヤセヴィッチによる解決から導かれる。この多項式は、ZFC が無矛盾である場合に限り整数根を持つように構成されている。[ 16 ]
正の関数に対するフビニの定理のより強いバージョンでは、関数はもはや可測であるとは仮定されず、単に 2 つの反復積分が適切に定義され、存在すると仮定されるだけであり、ZFC とは独立している。一方では、CH は、反復積分が等しくない単位正方形上の関数が存在することを意味する。この関数は、基数 ω 1の整列と同等の [0, 1] の順序の指示関数にすぎない。同様の例はMAを使用して構成できる。他方では、強いフビニの定理の一貫性は、最初にフリードマンによって示された。[ 17 ]また、フライリングの対称性の公理の変形から導出することもできる。[ 18 ]
正規ムーア空間予想、すなわちすべての正規ムーア空間は距離化可能であるという予想は、連続体仮説を仮定するか、マーティンの公理と連続体仮説の否定の両方を仮定すると反証でき、大きな基数の存在を意味するある公理を仮定すると証明できる。したがって、大きな基数が与えられれば、正規ムーア空間予想は ZFC とは無関係である。[ 19 ]
ガース・デールズとロバート・M・ソロベイは1976年に、カプランスキーの予想、すなわちバナッハ代数C ( X ) (ここでXはあるコンパクトなハウスドルフ空間)から他の任意のバナッハ代数へのすべての代数準同型は連続でなければならないという予想が、ZFC に依存しないことを証明した。CH は、任意の無限Xに対して、任意のバナッハ代数への不連続準同型が存在することを意味する。[ 21 ]
無限次元可分ヒルベルト空間H上の有界線形作用素の代数B ( H ) を考える。コンパクト作用素はB ( H )において両側イデアルを形成する。このイデアルが 2 つのより小さいイデアルの和であるかどうかという問題は ZFC とは無関係であり、1987 年にAndreas BlassとSaharon Shelahによって証明された。 [ 22 ]
チャールズ・アケマンとニック・ウィーバーは2003年に、「ℵ 1 , 要素によって生成されるナイマークの問題に対する反例が存在する」という命題はZFCとは無関係であることを示した。
ミロスラフ・バチャクとペトル・ハジェクは2008年に、「密度特性ω1のすべてのアスプルンド空間は、マズール交差特性を持つ再ノルムを持つ」という命題がZFCに依存しないことを証明した。この結果はマーティンの最大公理を用いて示されており、一方、マル・ヒメネスとホセ・ペドロ・モレノ（1997）はCHを仮定した反例を提示していた。
Ilijas Farah [ 23 ]およびN. Christopher PhillipsとNik Weaver [ 24 ]が示したように、カルキン代数の外部自己同型の存在はZFC を超える集合論的仮定に依存します。
ウェッツェルの問題は、あらゆる点で可算個以上の異なる値をとる解析関数の集合は必ず可算であるかを問うものであり、連続体仮説が偽である場合に限り真となる。[ 25 ]
マーシャ・グロシェクとセオドア・スラマンは、チューリング次数の構造に関して、ZFCとは独立した命題の例を挙げた。特に、連続体よりも小さい最大独立な次数集合が存在するかどうかである。[ 26 ]
ビジービーバー関数の数値は、BB(748)のようにZFCに依存しないことが知られています。これは、ZFCに矛盾がある場合に限り停止する748状態を持つチューリングマシンを構築することによって行われます。ZFCが一貫している場合、このマシンが停止することを証明することはできません。したがって、任意の具体的な自然数nに対して「BB(748) < n」の形式の定理を証明することもできません。[ 27 ]
