Loading article…
ルイス・キャロルが1895年に哲学雑誌『マインド』[ 1 ]に寄稿した「亀がアキレスに言ったこと」[ 1 ]は、論理の基礎に関する短い寓話的な対話である。[ 1 ]タイトルは、ゼノンの運動のパラドックス[ 2 ]、すなわちアキレスが競争で亀に追いつくことは決してできないというパラドックスを暗示している。キャロルの対話では、亀はアキレスに、論理の力を使って単純な演繹的議論の結論を受け入れるよう挑戦する。結局、アキレスは失敗する。なぜなら、賢い亀が彼を無限後退に導いたからである。[ 1 ]
議論は、次の論理的議論を検討することから始まる。[ 1 ] [ 3 ]
カメは前提AとBは真であると認めるが、仮説は認めない。
カメは「 Zを真として受け入れる論理的な必然性はない」と主張する。そしてカメはアキレスに、論理的にZを真として受け入れるよう強制してみろと挑発する。アキレスはカメがCを受け入れない理由を探る代わりに、 Cを受け入れるようにカメに求め、カメはそれを受け入れる。その後、アキレスはこう言う。
カメは「それはまた別の仮説ですよね？そして、もし私がその真実を見抜けなかったら、AとBとCは受け入れても、Zは受け入れないかもしれませんよね？」と答えます。[ 1 ] [ 3 ]
ここでも、 Dを受け入れない理由を尋ねる代わりに、亀にDを受け入れるように頼みます。そしてまたも、亀は「喜んでそれを受け入れる」[ 1 ] [ 3 ]のですが、それでもZを受け入れることを拒否します。それから亀はアキレスに自分の本に書き込むように言います。
これに続いて亀は「私がそれ（つまりE）を認めるまでは、もちろんZを認める必要はない。だからそれは必要なステップだ」と言う。[ 1 ]少し悲しげに、アキレスはその点を理解する。[ 1 ] [ 3 ]
物語は、前提のリストが際限なく増え続けることを示唆して終わるが、後退のポイントは説明されない。[ 1 ] [ 3 ]
ルイス・キャロルは、モーダス・ポネンス演繹から生じる逆行的な問題があることを示していた。
または、言葉で言うと、命題Pは真であるならばQは真であり、Pが与えられたならばQ である。
無限後退の問題は、論理原理（ここではモーダス・ポネンス）を説明するために先行原理が必要であり、その原理が説明されると、その原理を説明するために別の原理が必要になることから生じます。したがって、議論の連鎖が続く場合、議論は無限後退に陥ります。しかし、モーダス・ポネンスがシステム内で定義された推論規則として単純に定義される形式体系が導入されれば、システム内での推論によってモーダス・ポネンスを遵守することができます。これは、この形式体系に従って推論するユーザーがこれらの規則に同意するという意味ではありません（例えば、構成主義者が排中律を否定し、二元論者が矛盾律を否定することを考えてみてください）。このように、論理を体系として形式化することは、無限後退の問題への対応策と考えることができます。モーダス・ポネンスはシステム内の規則として配置され、システム外ではモーダス・ポネンスの妥当性は排除されます。
命題論理において、論理的含意は次のように定義される。
P が Q を意味するのは、命題がP または Q ではないという恒真式が同義反復である場合に限る。
したがって、モーダス・ポネンス、[P ∧ (P → Q)] ⇒ Q は、先に述べた論理的含意の定義に従って、有効な論理的結論である。論理的含意を証明することは、複合真理表がトートロジーを生成することを検証することに他ならない。しかし、亀はこの説明の根拠となっている命題論理の規則を鵜呑みにしない。彼は、これらの規則も論理的証明の対象となるべきだと主張する。亀とアキレスは、論理的含意の定義について意見が一致しない。
さらに、この物語は命題論理による解決策の問題点を示唆している。命題論理体系においては、いかなる命題や変数も意味内容を持たない。命題や変数が意味内容を持つようになると、意味内容は体系の外にあるため、再び問題が生じる。したがって、この解決策が有効であると言えるのは、与えられた形式体系内でのみ有効であり、それ以外の場合は有効ではないということになる。
論理学者の中には（ケネス・ロス、チャールズ・ライトなど） 、条件結合子と含意関係を明確に区別する者もいる。これらの論理学者は、条件結合子には「pまたはqではない」という表現を用い、含意関係には「含意する」という用語を用いる。
数人の哲学者がキャロルのパラドックスを解決しようと試みてきた。バートランド・ラッセルは『数学原理』（1903年）の第38節でこのパラドックスについて簡単に論じ、含意（「 pならばq 」という形式に関連付けられ、これは断言されていない命題間の関係であると彼は考えた）と推論（「 pならばq」という形式に関連付けられ、これは断言された命題間の関係であると彼は考えた）を区別した。この区別をしたことで、ラッセルは、亀がAとBからZを推論する ことを仮説「AとBが真ならばZは真である」に同意することと同等、あるいはそれに依存するものとして扱おうとする試みを否定することができた。
ウィトゲンシュタイン派の哲学者ピーター・ウィンチは、『社会科学の理念と哲学との関係』（1958年）の中でこのパラドックスについて論じ、このパラドックスは「論理学の核心である推論を行う実際のプロセスは、論理式として表現できないものであることを示している…推論を学ぶことは、命題間の明示的な論理的関係について教えられることだけではなく、何かを行うことを学ぶことなのだ」（57ページ ）と主張した。ウィンチはさらに、この対話の教訓は一般的な教訓の特殊なケースであり、人間の活動の形態を規定する規則の適切な適用は、それ自体をさらなる規則の集合で要約することはできないため、「人間の活動の形態は、明示的な教訓の集合で要約することは決してできない」（ 53ページ）という趣旨であると示唆している。
キャロルの対話は、論理的真理に関する慣習主義への障害を初めて記述したもので、後にWVOクワインによってより冷静な哲学的用語で再構成された。[ 4 ] [ 5 ]
ルイス・キャロル（1895年4月）。「亀がアキレスに言ったこと」。マインド。IV （ 14）：278–280。doi：10.1093 /mind/IV.14.278。
転載：
音声として:
カメがアキレスに言ったこと（パブリックドメインのオーディオブック、LibriVoxで入手可能）その他の作品
