実験数学

実験数学は、計算を用いて数学的対象を調査し、性質やパターンを特定する数学へのアプローチである。 ^{[ 1 ]}それは、「ガリレオ的、ベーコン的、アリストテレス的、またはカント的な意味での実験的探究と、この探求で得られたデータの綿密な分析を通して、数学コミュニティ内での洞察の体系化と伝達に最終的に関心を持つ数学の一分野」と定義されている。^{[ 2 ]}

ポール・ハルモスが述べたように、「数学は演繹的な科学ではない。それは決まり文句だ。定理を証明しようとするとき、仮説を列挙して推論を始めるわけではない。実際に行うのは試行錯誤、実験、推測だ。事実が何であるかを知りたいのであり、その点では、実験室の技術者が行うことと似ている。」^{[ 3 ]}

数学者たちは常に実験的な数学を実践してきた。バビロニア数学など、初期の数学に関する現存する記録は、代数的な恒等式を示す数値例のリストで構成されているのが一般的である。しかし、17世紀に始まった近代数学では、最終的かつ形式的で抽象的な形で結果を発表するという伝統が発展した。数学者が当初、一般的な定理を定式化するに至ったであろう数値例は発表されず、一般的に忘れ去られてしまった。

実験数学は、電子計算機の発明によって実行可能な計算の範囲が大幅に拡大し、それまでの数学者が利用できたものよりもはるかに高速かつ高精度になった20世紀に、独立した研究分野として再び注目を集めました。実験数学の重要なマイルストーンであり成果は、1995年にπの2進数桁に関するベイリー・ボルウェイン・プルーフの公式が発見されたことです。この公式は形式的な推論によってではなく、コンピュータ上での数値探索によって発見され、その後になって厳密な証明が発見されました。^{[ 4 ]}

実験数学の目的は、「理解と洞察を生み出すこと、予想を生み出し、それを検証または反駁すること、そして一般的に、専門の研究者と初心者の両方にとって数学をより具体的で、活気に満ち、楽しいものにすること」である。^{[ 5 ]}

実験数学の用途は次のように定義されています。^{[ 6 ]}

1. 洞察力と直感力を養う。
2. 新たなパターンや関係性を発見する。
3. グラフ表示を用いて、根底にある数学的原理を示唆する。
4. 仮説を検証すること、特に仮説を反証すること。
5. 考えられる結果を検証し、それが正式な証明に値するかどうかを判断する。
6. 形式的な証明のためのアプローチを提案する。
7. 長時間の手計算による導出を、コンピュータを用いた導出に置き換える。
8. 解析的に導き出された結果を確認する。

実験数学では、数値計算手法を用いて積分や無限級数の近似値を算出します。これらの値を高精度（通常は有効数字100桁以上）で求めるために、任意精度演算がよく用いられます。次に、整数関係アルゴリズムを用いて、これらの値と数学定数との間の関係を探します。高精度の値を用いることで、数学的な偶然の一致を真の関係と誤認する可能性を低減できます。その後、推測された関係の正式な証明を求めます。推測された関係の形式が分かれば、正式な証明を見つけるのは容易になる場合が多いです。

反例を探す場合や、大規模な網羅的証明を試みる場合は、分散コンピューティング技術を用いて計算を複数のコンピュータに分割することができる。

汎用的な数学ソフトウェア、あるいは高い効率性が求められる問題への攻撃のために開発されたドメイン固有ソフトウェアが頻繁に使用される。実験的な数学ソフトウェアには通常、ハードウェアまたはソフトウェアのエラーによって結果が無効になる可能性を最小限に抑えるために設計された、エラー検出および訂正機構、整合性チェック、冗長な計算機能が含まれている。

実験数学の応用例には以下のようなものがある。

• 予想に対する反例を探す
  • ロジャー・フライは実験数学の手法を用いて、オイラーのべき乗和予想に対する最小の反例を発見した。
  • ZetaGridプロジェクトは、リーマン予想に対する反例を探すために設立された。
  • トマス・オリベイラ・エ・シルバ^{[ 7 ]}はコラッツ予想の反例を探した。
• 特定の性質を持つ数値や物体の新しい例を見つける
  • グレートインターネットメルセンヌ素数探索は、新しいメルセンヌ素数を探しています。
  • 「グレート周期経路ハント」は、新たな周期経路を探索しています。
  • distributed.netの OGR プロジェクトは、最適なゴロム定規を探索しました。
  • PrimeGridプロジェクトは、最小のリーゼル数とシェルピンスキー数を探索している。
• 偶然の数値パターンの発見
  • エドワード・ローレンツは、数値気象モデルにおける異常な挙動を調査することで、カオス力学系の初期の例であるローレンツ・アトラクターを発見した。
  • ウラム螺旋は偶然発見された。
  • ウラム数列の規則性は偶然発見された。
  • ミッチェル・ファイゲンバウムによるファイゲンバウム定数の発見は、当初は数値的な観測に基づいており、その後、厳密な証明がなされた。
• コンピュータプログラムを用いて、多数ではあるが有限な事例を検証し、コンピュータ支援による網羅的証明を完成させる。
  • トーマス・ヘイルズによるケプラー予想の証明。
  • 四色定理の様々な証明。
  • クレメント・ラムによる位数10の有限射影平面の非存在の証明。^{[ 8 ]}
  • ゲイリー・マグワイアは、唯一解ける数独には少なくとも17個の手がかりが必要であることを証明した。^{[ 9 ]}
• （コンピュータ代数を用いた）予想の記号的検証は、解析的証明の探求を促す。
  • 水素分子イオンとして知られる量子三体問題の特殊なケースに対する解は、標準的な量子化学基底関数系を用いて発見されたが、それらはすべてランベルトW関数の一般化という観点から同じ唯一の解析解にたどり着くことがわかった。この研究に関連して、低次元における重力理論と量子力学の間のこれまで知られていなかったつながりが特定された（量子重力論およびその中の参考文献を参照）。
  • 相対論的多体力学の領域、すなわち時間対称ウィーラー・ファインマン吸収体理論において、粒子jが粒子iに作用する高度なリエナール・ヴィーヘルトポテンシャルと、粒子iが粒子jに作用する対応するポテンシャルとの等価性が次数まで完全に実証された。$1/c^{10}}$数学的に証明される以前から存在していたホイーラー＝ファインマン理論は、量子非局所性のおかげで再び注目を集めている。
  • 線形光学の分野において、非等方性媒質中を伝搬する超短光パルスの電場包絡線の級数展開の検証が行われた。これまでの展開は不完全であったが、今回の結果により、実験によって裏付けられた追加項が明らかになった。
• 無限級数、無限積、および積分の評価（記号積分も参照）は、通常、高精度の数値計算を実行し、次に整数関係アルゴリズム（逆記号計算機など）を使用して、この値に一致する数学定数の線形結合を見つけることによって行われます。たとえば、次の恒等式は、 1993 年にJonathan Borweinの学生であった Enrico Au-Yeung がコンピュータ検索とPSLQ アルゴリズムを使用して再発見しました。 ^{[ 10 ] [ 11 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}^{2}}{k^{2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\left(\underbrace {1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{k}}} _{H_{k}}\right)^{2}={\frac {17\pi ^{4}}{360}}\end{aligned}}}$

• 視覚調査
  • 『インドラの真珠』の中で、デイビッド・マンフォードらは、メビウス変換とショットキー群のさまざまな特性を、群のコンピュータ生成画像を用いて調査し、多くの推測に対する説得力のある証拠と、さらなる探求への誘いを提供した。^{[ 12 ]}

もっともらしい関係性の中には、高い精度で成り立つものの、必ずしも真実ではないものがある。例えば、次のようなものがある。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\mathrm {d} x={\frac {\pi }{8}}.}$

この式の両辺は、実際には小数点以下42桁目以降で異なっており、左辺は約だけ小さい。7.4 × 10 ⁻⁴³ . ^{[ 13 ]}

別の例として、 x ⁿ − 1のすべての因数の最大高さ(係数の最大絶対値) は、 n番目の円分多項式の高さと同じであるように見えることが挙げられます。これは、 n < 10000の場合にコンピュータによって真であることが示され、すべてのnに対して真であると予想されていました。しかし、より大規模なコンピュータ検索により、 n番目の円分多項式の高さが2 であるのに対し、因数の最大高さが 3 であるn = 14235の場合、この等式は成り立たないことが示されました。^{[ 14 ]}

以下の数学者およびコンピュータ科学者は、実験数学の分野に多大な貢献をしてきました。

• ボルウェインインテグラル
• コンピュータ支援による証明
• 証明と反駁
• 実験数学（学術誌）
• 実験数学研究所

• 実験数学（学術誌）
• サイモン・フレイザー大学実験構成数学センター（CECM）
• サウサンプトン大学数学教育研究共同グループ
• 数値定数の認識（デビッド・H・ベイリー、サイモン・プルーフ著）
• 実験数学の心理学
• 実験数学ウェブサイト（リンクとリソース）
• 周期表探索ウェブサイト（リンクとリソース）
• 時代を超えたアルゴリズム：PSLQ、整数関係を見つけるためのより良い方法（代替リンク： 2021年2月13日にWayback Machineにアーカイブ済み）
• 実験的アルゴリズム情報理論
• デイビッド・H・ベイリーとジョナサン・M・ボーウェイン著『実験数学の例題集』
• 実験数学における10の問題（2011年6月10日にWayback Machineにアーカイブ済み）著者：David H. Bailey、Jonathan M. Borwein、Vishaal Kapoor、Eric W. Weisstein
• デュイスブルク＝エッセン大学の実験数学研究所のアーカイブ（2015年2月10日時点、ウェイバックマシンに保存）