4面体ハニカム

双曲幾何学において、4 次十二面体ハニカムは、双曲 3 次元空間の4 つのコンパクトな正則空間充填モザイク分割(またはハニカム) のうちの 1 つです。シュレーフリ記号{5,3,4} で、各辺の周りに4 つの十二面体があり、各頂点の周りに 8 つの十二面体が八面体配置で配置されています。頂点は 3 つの直交軸で構成されています。その双対は、5 次立方ハニカムです。

幾何学的ハニカムは、多面体または高次元のセルで空間を埋め尽くしたもので、隙間がありません。これは、任意の次元における より一般的な数学的タイリングまたはテッセレーションの例です。

ハニカムは通常、凸型均一ハニカムのように、通常のユークリッド（「平坦」）空間に構築されます。また、双曲型均一ハニカムなどの非ユークリッド空間に構築されることもあります。任意の有限均一多面体をその外接球に投影して、球面空間に均一ハニカムを形成できます。

正十二面体の二面角は約116.6° なので、ユークリッド 3 次元空間の 1 辺に 4 つの正十二面体を収めることは不可能です。ただし、双曲空間では、適切にスケールされた正十二面体をスケールして二面角を 90 度に縮小すると、すべての辺に 4 つがぴったり収まります。

これは半対称構造{5,3 ^{1,1 }を持ち、}ウィトフ構造の2つのタイプ（色）の十二面体を持ちます。↔。

ベルトラミ・クラインモデルによる4次正十二面体ハニカムの図

3D 双曲空間には、次の 4 つの規則的なコンパクトなハニカムが存在します。

[5,3,4]コクセター群には、この規則的な形を含めて 15個の均一なハニカムが存在します。

分岐する[5,3 ^{1,1 ]コクセター群には、交互に配置されたこのハニカムを含め、}均一なハニカムが11個あります。この構造は、2色の正十二面体セルを交互に配置（チェッカーボード）することで表すことができます。

このハニカムは、 16 セル、立方ハニカム、および4 次六角形タイリング ハニカムとも関連しており、これらはすべて八面体の頂点図形を持ちます。

このハニカムは、正十二面体の細胞を持つ多孔体とハニカムの連続体の一部です。

修正された4次十二面体ハニカム、は、正八面体と二十二十十十面体のセルが交互に並び、頂点図形は四角柱 です。

整流されたコンパクトな規則的なハニカムは 4 つあります。

切頂4面体ハニカム、は、正八面体と切頂十二面体のセルを持ち、頂点図形は四角錐 です。

これは、切頂五角形と正方形の面を持つ 2D双曲切頂4次五角形タイリングt{5,4}に類似していると見ることができます。

二面体切頂4次十二面体ハニカム、または二面体切頂5次立方体ハニカム、は、切頂八面体と切頂二十面体のセルを持ち、対角二蝶形の 頂点図形を持ちます。

4面体ハニカム構造、は、菱形十二面体、立方八面体、および立方体のセルを持ち、くさび形の 頂点図形を持ちます。

4面体ハニカム、は、切頂二十二面体、切頂八面体、および立方体のセルと、鏡映蝶形 頂点図形を持ちます。

ランシネートされた 4 次十二面体ハニカムは、ランシネートされた 5 次立方体ハニカムと同じです。

ランシトランケートされた4面体ハニカム、は、切頂十二面体、菱形八面体、十角柱、および立方体のセルを持ち、二等辺台形 ピラミッドの 頂点図形を持ちます。

ランシカンテラテッド 4 次十二面体ハニカムは、ランシトランケーテッド 5 次立方体ハニカムと同じです。

全切頂 4 次十二面体ハニカムは、全切頂 5 次立方体ハニカムと同じです。

• 双曲空間における凸均一ハニカム
• 双曲3次元空間の正則なタイル分割
• ポアンカレホモロジー球面ポアンカレ十二面体空間
• ザイフェルト・ウェーバー空間ザイフェルト・ウェーバー十二面体空間

• Coxeter、Regular Polytopes、第 3 版、 Dover Publications、 1973 年。ISBN  0-486-61480-8。 (表 I および II: Regular polytopes と honeycombs、 pp. 294–296)
• コクセター『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年ISBN 0-486-40919-8（第10章：双曲空間における正則ハニカム、要約表 II、III、IV、V、p212-213） 
• ジェフリー・R・ウィークス 『空間の形』第2版 ISBN 0-8247-0709-5 (第16-17章: 3次元多様体上の幾何学 I、II) 
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿
  • NW ジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966 年
  • NW ジョンソン:幾何学と変換、(2018) 第 13 章: 双曲コクセター群