十二十二面体

幾何学において、十二面体（どでんけいぶつ、英: dodecadodecahedron）は、非凸の一様多面体であり、U ₃₆で索引付けされている。^[1]これは、大十二面体（およびその双対である小星型十二面体）の修正である。これは、ヘス （1878年）、バドゥロー（1881年）、およびピッチ（1882年） によって独立に発見された。

このモデルの辺は 10 個の中央六角形を形成し、これらを球体に投影すると 10 個の大円になります。これら 10 個の大円は、他の 2 つの多面体の投影による大円とともに、測地線ドームの構築に使用される球状二十面体の 31 個の大円を形成します。

4 つのシュワルツ三角形族の間には 4 つのウィトフ構成があります: 2 | 5 5/2、2 | 5 5/3、2 | 5/2 5/4、2 | 5/3 5/4ですが、結果は同じです。同様に、4 つの拡張シュレーフリ記号r{5/2,5}、r{5/3,5}、r{5/2,5/4}、r{5/3,5/4} またはCoxeter-Dynkin 図として与えることができます:、、、 そして。

これらのネットを折りたたむと、十二面体と同じ外観の形状を作成できます。

12 個の五角形と 20 個の菱形クラスターが必要です。ただし、この構成では、十二面体の交差する五角形の面が、交差しない菱形の集合に置き換えられるため、同じ内部構造は生成されません。

その凸包は2022 面体です。また、その辺の配置は、小122 面体(五角形の面を共有) および大 122 面体(五角形の面を共有) と共有されています。

この多面体は、直角化された 大十二面体とみなすことができます。これは、小星型十二面体と大十二面体の間の切断シーケンスの中心です。

切頂小星型十二面体は、表面上は十二面体のように見えますが、24 の面があります。切頂頂点から 12 個の五角形が作られ、12 個が重なり合って (切頂五芒星)、合計 24 面体です。十二面体の切頂自体は均一ではなく、均一にしようとすると退化した多面体 (十二面体の穴を埋める {10/2} 多角形を持つ小さな菱形十二面体のように見えます) になりますが、切頂十二面体という均一な準切頂があります。

これは、五芒星を正五角形に戻すことで、双曲的次数4の五角形タイリングの商空間と位相的に同値である。したがって、これは位相的に指数2の正多面体である: ^{[2] [3]}

正十二面体の双対である正十二面体菱形三十面体には、30 個の交差する菱形の面 があります。

これは、菱形を正方形に歪ませた、双曲的5次 正方形タイリングの商空間と位相的に同値である。したがって、これは位相的に指数2の正多面体である: ^[4]

5次の正方形のタイリングは4次の五角形のタイリングと双対であり、4次の五角形のタイリングの商空間は、中菱形三十面体の双対である十二十二面体と位相的に同値であることに注意してください。

• 均一多面体の一覧

• Badoureau (1881)、「二等辺の数字の記憶」、エコール工科大学ジャーナル、49 : 47–172
• Hess、Edmund (1878)、Vier arcimedeische Polyeder höherer Art、カッセル。 Th.ケイ、JFM  10.0346.03
• Pitsch (1882)、「Über halbreguläre Sternpolyheder」、Zeitschrift für das Realschulwesen、7、JFM  14.0448.01
• ウェニンガー、マグナス（1983）、デュアルモデル、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9780511569371、ISBN 978-0-521-54325-5、MR  0730208

• Weisstein、Eric W.「十二面体」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「中菱形三十面体」。MathWorld。
• 均一多面体と双対