正多面体（書籍）

1973年ドーバー版の表紙
著者	ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセター
言語	英語
主題	幾何学
公開済み	1947年、1973年、1973年
出版社	メシューエン、ピットマン、マクミラン、ドーバー
ページ	321
番号	0-486-61480-8
OCLC	798003

Regular Polytopes は、ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセターが書いた正多面体に関する幾何学の本です。この本は、1947年にメチューエン社から、1948年にピットマン出版から初版が出版され、 ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]} 、 1963年にマクミラン社から第2版が出版され、 ^{[9] [10] [11] [12]}、1973年にドーバー出版から第3版が出版さ^{れました。 [13] [14] [15]}アメリカ数学会 の基本図書館リスト委員会は、この本を学部生の数学図書館に収録することを推奨しています。 ^[15]

この本の主なテーマは、プラトン立体（正凸多面体）、関連する多面体、およびそれらの高次元一般化です。^{[1] [2]}この本は14の章と多数の付録から成り、^[3]これまでのどの研究よりもこのテーマを完璧に扱っており、コクセター自身の以前の論文18本からの資料も取り入れています。^[1]この本には、多くの図（ポール・ドンチャンによるモデルの写真と図面の両方）、数値表、およびこのテーマに関する歴史的コメントが含まれています。^{[1] [2]}

第 1 章では、正多角形、正多面体、グラフ理論の基本概念、オイラー標数について説明します。^[3]オイラー標数を使用して、コクセターはディオファントス方程式を導出し、その整数解が正多面体を記述および分類します。第 2 章では、正多面体とその双対の組み合わせを使用して、半正多面体を含む関連する多面体^[1]を生成し、ゾノヘドラとペトリー多角形について説明します。^{[3]ここでも、本書全体を通じて、説明されている図形は、}シュレーフリ記号によって識別および分類されています。^[1]

第3章から第5章では、多面体の対称性について、最初は置換群^[3]として、後に本書の最も革新的な部分^[1]で、反射によって生成され、それらの反射面間の角度によって記述されるコクセター群として説明しています。本書のこの部分では、ユークリッド平面と球の正多面体、およびユークリッド空間の正蜂の巣についても説明しています。第6章では、ケプラー・ポアンソ多面体を含む星型多面体について説明します。^[3]

残りの章では、これらのトピックの高次元一般化を扱っており、正多面体の列挙と構築に関する2章、高次元オイラー特性と二次形式の背景に関する2章、高次元コクセター群に関する2章、多面体の断面と射影に関する章、星型多面体と多面体複合に関する章が含まれています。^[3]

第2版​​はペーパーバックで出版され、^{[9] [11]ロバート}・スタインバーグによるペトリー多面体とコクセター群の順序に関する最近の研究が追加され、^{[9] [12]}本の最後に多面体の新しい定義が添付され、全体にわたって小さな修正が加えられました。^[9]写真プレートもこの印刷のために拡大され、^{[10] [12]}いくつかの図が再描画されました。^[12]これらの版の命名法は時々扱いにくいものでしたが、^{[2]第3版では現代化されました。 第3版には、}電子顕微鏡で発見された自然界の多面体に関する資料を追加した新しい序文も含まれていました。^{[13] [14]}

この本は、高校レベルの代数、幾何学、三角法の知識しか前提としていないが、 ^{[2] [3]主にこの分野の専門家を対象としており、 [2]}専門家が当然と考えるような推論のいくつかのステップは、それほど上級ではない読者には難しすぎるかもしれない。^[3]それでも、評論家の JCP Miller は「娯楽、教育、その他の観点からこのテーマに関心のある人なら誰にでも」この本を勧めており^{[4] 、評論家の HE Wolfe は (}正多面体の省略について不満を述べながらも) すべての数学者がこの本を 1 冊所有すべきだと強く主張している。^{[7]地質学者の AJ Frueh Jr. は、この本を}モノグラフではなく教科書と表現し、空間の対称性に関する部分は結晶学者にとって非常に興味深いものになるだろうと示唆している。しかし、Frueh は証明の厳密さに欠け、説明が明確でないと不満を述べている。^[6]

この本は初版の時点ですでに「待望の本」^[3]、「そしておそらく今後何年もの間、この主題を体系的に扱った唯一の本」^[7]と評されていた。第2版のレビューで、マイケル・ゴールドバーグ（初版のレビューも行った）^[1]は、この本を数学の分野で「最も広範かつ権威ある概要」と呼んだ。^[10]トリシア・マルドゥーン・ブラウンの2016年のレビューでは、彼女はこの本を「時折時代遅れだが、イライラするほどではない」と評した。例えば、最後の更新後に証明された4色定理の議論などである。しかし、彼女はそれでもこの本を「よく書かれており、包括的」と評価した。^[15]

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