頂点図形

幾何学において、頂点図形とは、広義では、一般的なn次元多面体の角を切り落としたときに現れる図形のことです。

多面体の角または頂点をいくつか取ります。各接続された辺に沿って点をマークします。接続された面を横切る線を描き、面の周りの隣接する点を結びます。完了すると、これらの線は頂点の周りに完全な回路、つまり多角形を形成します。この多角形が頂点図形です。

より正確な正式な定義は、状況に応じてかなり幅広く変化する可能性があります。たとえば、Coxeter (例: 1948、1954) は、現在の議論の領域に都合の良いように定義を変えています。頂点図形の以下の定義のほとんどは、無限タイリング、または拡張して、多面体セルやその他の高次元多面体による空間充填テッセレーションにも同様に適用されます。

多面体の角をスライスし、頂点に繋がるすべての辺を切ります。切り取った面が頂点図形（平面図形）です。これはおそらく最も一般的なアプローチであり、最も理解しやすいものです。スライスする場所は著者によって異なります。Wenninger (2003) は各辺を頂点から単位距離で切り取り、Coxeter (1948) も同様です。一様多面体の場合、Dorman Luke 構成では各接続辺をその中点で切り取ります。他の著者は各辺の反対側の端で頂点をカットします。^{[1] [2]}

不規則な多面体の場合、頂点から等距離にある頂点に接するすべての辺を切断すると、平面上にない図形が生成されることがあります。任意の凸多面体に有効な、より一般的な方法は、頂点を他のすべての頂点から分離する任意の平面に沿って切断することですが、それ以外は任意です。この構成により、接続された頂点の集合 (以下を参照) と同様に頂点図形の組み合わせ構造が決定されますが、正確な形状は決定されません。これは、任意の次元の凸多面体に一般化できます。ただし、非凸多面体の場合、頂点に接するすべての面を切断する平面が頂点の近くに存在しない場合があります。

Cromwell (1999) は、頂点を中心とする球と多面体を交差させることで頂点図形を形成します。この球は、頂点に接する辺と面のみと交差するほど小さいものです。これは、頂点を中心とする球面カットまたはスクープを作成することとして視覚化できます。したがって、カット面または頂点図形は、この球上にマークされた球面多角形です。この方法の利点の 1 つは、頂点図形の形状が固定されていることです (球のスケールまで)。一方、平面と交差する方法では、平面の角度に応じて異なる形状を作成できます。さらに、この方法は非凸多面体にも使用できます。

多くの組み合わせ論的および計算的アプローチ (例: Skilling、1975) では、頂点図形を、特定の頂点に隣接する (辺で接続された) すべての頂点の点の順序付けられた (または部分的に順序付けられた) 集合として扱います。

抽象多面体理論では、与えられた頂点Vの頂点図形は、頂点に関係するすべての要素（辺、面など）から構成されます。より正式には、これは ( n −1) 断面F _n / Vであり、F _{n は}最大面です。

この要素の集合は、頂点星とも呼ばれます。幾何学的頂点図形と頂点星は、同じ抽象セクションの 異なる実現として理解できます。

n多面体の頂点図形は( n −1) 多面体です。たとえば、多面体の頂点図形は多角形であり、4 多面体の頂点図形は多面体です。

一般に、頂点図形は平面である必要はありません。

非凸多面体の場合、頂点図形も非凸になることがあります。たとえば、均一多面体では、面および/または頂点図形に 星型多角形を持つことができます。

頂点図形は、1 つの頂点図形で多面体全体を定義できるため、 一様多面体やその他の等角多面体 (頂点推移多面体)にとって特に重要です。

正多面体の場合、頂点の周りの面を順にリストすることにより、頂点構成表記法で頂点図形を表すことができます。たとえば、3.4.4.4 は 1 つの三角形と 3 つの正方形を持つ頂点であり、均一な菱形八面体を定義します。

多面体が等角多面体である場合、頂点図形はn空間の超平面上に存在します。

これらの隣接する頂点の接続性を考慮すると、多面体の各頂点に対して頂点図を構築できます。

• 頂点図形の各頂点は、元の多面体の頂点と一致します。
• 頂点図形の各辺は、元の面から交互の 2 つの頂点を接続する元の多面体の面上またはその内部に存在します。
• 頂点図形の各面は、元のn多面体のセル上またはその内部に存在します( n > 3 の場合)。
• ...高次多面体の高次要素も同様に続きます。

一様多面体の場合、「ドーマン・ルーク」構成を使用して、元の多面体の頂点図形から双対多面体の面を見つけることができます。

多面体が正則な場合、それはシュレーフリ記号で表すことができ、この表記からセルと頂点図形の両方を簡単に抽出できます。

一般に、シュレーフリ記号 { a , b , c ,..., y , z }を持つ正多面体は、セルが { a , b , c ,..., y } で、頂点図形が { b , c ,..., y , z } です。

1. 正多面体{ p , q }の場合、頂点図形は { q }、つまりq角形です。
   • たとえば、立方体 {4,3} の頂点図形は三角形 {3} です。
2. 通常の 4 次元多面体または空間充填分割{ p , q , r }の場合、頂点図形は { q , r } です。
   • たとえば、超立方体の頂点図形 {4,3,3} の場合、頂点図形は正四面体 {3,3} です。
   • また、立方ハニカムの頂点図形{4,3,4}は、正八面体{3,4}です。

正多面体の双対多面体も正多面体であり、シュレーフリ記号のインデックスを逆にして表されるので、頂点図形の双対が双対多面体のセルであることが簡単にわかります。正多面体の場合、これはドルマン・ルーク構成の特殊なケースです。

切頂立方体ハニカムの頂点図形は、不均一な四角錐です。1 つの八面体と 4 つの切頂立方体が各頂点で接し、空間を埋め尽くすモザイク模様を形成します。

頂点図形に関連して、辺図形は頂点図形の頂点図形です。^[3]辺図形は、正多面体や一様多面体内の要素間の関係を表現するのに役立ちます。

エッジ図形は( n −2) 多面体であり、特定のエッジの周りのファセットの配置を表します。正則および単環コクセター図の一様多面体は、単一のエッジ タイプを持ちます。一般に、一様多面体は、構成内のアクティブ ミラーと同じ数のエッジ タイプを持つことができます。これは、各アクティブ ミラーが基本領域で 1 つのエッジを生成するためです。

正多面体（およびハニカム）には、正多面体である単一の辺図形があります。正多面体 { p、q、r、s、...、z } の場合、辺図形は { r、s、...、z } です。

4 次元では、4 次元多面体または3 次元ハニカムの辺図形は、辺の周りの一連の面の配置を表す多角形です。たとえば、正立方体ハニカム{4,3,4}の辺図形は正方形で、正 4 次元多面体 { p、q、r } の辺図形は多角形 { r } です。

より自明ではないが、切頂立方体ハニカムt _0,1 {4,3,4} には、切頂立方体と八面体のセルを持つ四角錐の頂点図形がある。ここでは 2 種類の辺図形がある。1 つは、ピラミッドの頂点にある四角い辺図形である。これは、辺の周りの 4 つの切頂立方体を表す。他の 4 つの辺図形は、ピラミッドの底辺の頂点にある二等辺三角形である。これらは、他の辺の周りの 2 つの切頂立方体と 1 つの八面体の配置を表す。

• 単体リンク- 頂点図形に関連する抽象概念。
• 正多面体の一覧

• HSM Coxeter、正多面体、Hbk (1948)、ppbk (1973)。
• HSM Coxeter (et al.)、Uniform Polyhedra、Phil. Trans . 246 A (1954) pp. 401–450。
• P. クロムウェル、「多面体」、CUP pbk. (1999)。
• HM Cundy および AP Rollett、「数学モデル」、オックスフォード大学出版局 (1961)。
• J. スキリング、「均一多面体の完全セット」、Phil. Trans . 278 A (1975) pp. 111–135。
• M. Wenninger、「デュアルモデル」、CUP hbk (1983) ppbk (2003)。
• 物事の対称性2008、ジョン H. コンウェイ、ハイディ バーギエル、チャイム グッドマン シュトラウス、ISBN  978-1-56881-220-5 (p289 頂点図)

ウィキメディア・コモンズには、頂点図形に関連するメディアがあります。

• ワイスタイン、エリック・W.「頂点図」。マスワールド。
• Olshevsky, George. 「頂点図形」。Hyperspaceの用語集。2007 年 2 月 4 日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• 頂点図形
• 一貫した頂点記述