正則4次元多面体

3 次元の類似物と同様に、凸正 4 多面体は、同じ半径に対する 4 次元の内容 (超体積) の尺度として、サイズによって自然に順序付けできます。シーケンス内の各より大きな多面体は、前のものよりも丸みを帯びており、同じ半径内により多くの内容を囲んでいます。^{[ 2 ]} 4 単体 (5 セル) は内容が最小で、120 セルは最大です。

以下の表は、6つの凸型正4次元多面体のいくつかの性質を示しています。これらの4次元多面体の対称群はすべてコクセター群であり、その表記法は当該論文で説明されています。群名の後に続く数字は、その群の位数です。

ジョン・コンウェイは、シンプレックス、オルソプレックス、テッセラクト、オクタプレックスまたはポリオクタヘドロン（pO）、テトラプレックスまたはポリテトラヘドロン（pT）、およびドデカプレックスまたはポリドデカヘドロン（pD）という名称を提唱した。^{[ 3 ]}

ノーマン・ジョンソンは、nセル、またはペンタコロン、ヘキサデカコロン、テッセラクトまたはオクタコロン、イコシテトラコロン、ヘキサコシコロン、ヘカトニコサコロン（またはドデカコンタコロン）という名称を提唱し、3D多面体および2D多角形に対する4Dアナロジーとしてポリコロンという用語を作り出しました。これはギリシャ語の語根poly（「多数」）とchoros（「部屋」または「空間」）から表現されています。^{[ 4 ] [ 5 ]}

すべての4次元多面体のオイラー標数はゼロであり、オイラーの多面体公式の4次元版が存在する。

${\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,}$

ここで、N _{k は}多面体内のk面の数を表します(頂点は 0 面、辺は 1 面など)。

任意の4次元多面体のトポロジーは、そのベッチ数とねじれ係数によって定義される。^{[ 6 ]}

正 4 多面体は、その構成要素の個数を含む構成行列として完全に記述できます。行と列は、頂点、辺、面、セルに対応します。対角線上の数値 (左上から右下) は、4 多面体全体に各要素がいくつ存在するかを示します。非対角線上の数値は、列の要素が行の要素内または行の要素にいくつ存在するかを示します。たとえば、任意の正 4 多面体では、各辺に2 つの頂点があり (各辺には2 つの頂点があります)、各面には2 つのセルが接しています(各面は2 つのセルに属します)。双対多面体の構成は、行列を 180 度回転させることで得られます。^{[ 7 ] [ 8 ]}

以下の表は、これらの4次元多面体の2次元投影図を示しています。その他の様々な視覚化は、下記の外部リンクからご覧いただけます。コクセター・ディンキン図のグラフも、シュレーフリ記号の下に示されています。

ここで挙げた名称はジョン・コンウェイによるもので、ケイリーがケプラー・ポアンソ多面体に付けた名称を拡張し、星型と巨大に加えて「壮大な」という修飾語を付け加えた。コンウェイは以下のような操作的定義を示した。

1. 星形化― 同じ線上の辺をより長い辺に置き換える。（例：五角形が星形化されて五芒星になる）
2. 拡大– 同一平面上の面をより大きな面に置き換える。（例：正二十面体が拡大して大正二十面体になる）
3. 拡大– 同じ3マス内のセルをより大きなセルに置き換えます。（例：600マスのセルが拡大して、より大きな600マスのセルになります）

ジョン・コンウェイは、3 つの正多面体 4 面体から 10 種類の形状を命名しました。pT = 多面体 {3,3,5} ( 600 個の胞を持つ正四面体)、pI = 多面体 2 面体 {3,5, 5 / 2 } ( 120個の胞を持つ正二十面体)、pD = 多面体 2 面体 {5,3,3} ( 120 個の胞を持つ正十二面体) で、接頭辞修飾子g、a、s はそれぞれ great、(ag)grand、stellated を表します。最後の星型であるgreat grand stellated polydodecahedron は、 gaspDとしてそれらすべてを含みます。

10 個のポリコラはすべて [3,3,5] ( H ₄ )六コシコリック対称性を持つ。これらは、関連する 6 つのGoursat 四面体の有理順序対称群[3,5,5/2]、[5,5/2,5]、[5,3,5/2]、[5/2,5,5/2]、[5,5/2,3]、および [3,3,5/2] から生成される。

各グループには2つの正則星多環体が存在するが、自己双対の2つのグループには1つしか存在しない。したがって、10個の正則星多環体の中には、4つの双対ペアと2つの自己双対形態が存在する。

注記：

• 120セルと600セルに一致する、2つの固有の頂点配置が存在する。
• 4種類の固有のエッジ配置があり、これらはワイヤーフレーム正投影図として示されています。
• 面配置は7種類あり、立体（面の色分け）の正投影図で示されている。（ただし、正二十面体120胞体は凸型600胞体と同じ面配置を持つ。）

セル（多面体）、その面（多角形）、多角形の辺の図形、および多面体の頂点の図形は、シュレーフリ記号によって識別されます。