星型多面体

幾何学において、星型多面体とは、非凸性の反復的な性質を持ち、星のような外観を持つ 多面体です。

星型多面体には、一般的に 2 種類あります。

• 繰り返し自己交差する多面体。
• 凸型と凹型、または鞍型の頂点が繰り返し出現する特殊な凹型多面体。数学的には、これらの図形はスタードメインの例です。

星型多面体の数学的研究は、通常、正多面体、一様多面体、または一様多面体の双対を対象としています。これらの星型はすべて、自己交差する種類のものです。

正星型多面体は自己交差多面体です。自己交差する面、または自己交差する頂点図形を持つことができます。

ケプラー・ポアンソ多面体として知られる正多面体は4 つあります。シュレーフリ記号{ p , q } は、 p辺の面とq辺の頂点図形を意味します。そのうち 2 つは五芒星形の{5/2} 面を持ち、残りの 2 つは五芒星形の頂点図形を持ちます。

これらの画像では、各フォームの 1 つの面が黄色に塗られており、その面の目に見える部分が示されています。

任意の星型多角形{ p/q } に対して、正星型二面体と正星型細面体{2, p/q } と { p/q ,2}も無数に存在します。これらはユークリッド空間では退化していますが、非退化形式では球状に実現できます。

2 つの無限級数、すなわちプリズムと反プリズム、およびそれらの双対を含む均一な星型多面体が多数存在します。

均一星型多面体と二重均一星型多面体も、自己交差多面体です。これらの多面体には、自己交差する面、自己交差する頂点図形、またはその両方があります。

均一な星型多面体には、正面または正星型多角形の面があります。 二重均一な星型多面体には、正面または正星型多角形の頂点図形があります。

上記の形式以外にも、自己交差する（星型）多面体のクラスは無限にあります。

2 つの重要なクラスは、凸多面体の星型とその双対、つまり双対多面体の ファセットです。

たとえば、図に示す完全な星型二十面体は、それぞれが (9/4) の巻かれた多角形である 20 個の同一面から構成される自己交差多面体として解釈できます。以下は、1 つの面が黄色で描かれたこの多面体の図です。

任意の次元数で同様に自己交差する多面体は、星型多面体と呼ばれます。

正多面体 { p , q , r ,..., s , t } は、その面 { p , q ,... s } またはその頂点図形 { q , r ,..., s , t }のいずれかが星型多面体である場合に星型多面体となります。

4 次元では、10 個の正星多面体はシュレーフリ・ヘス多面体と呼ばれます。正星多面体と同様に、これら 10 個はすべて、5 つの正プラトン立体のいずれか、または 4 つの正星ケプラー・ポアンソ多面体のいずれかの面で構成されています。

たとえば、3 次元空間に直交投影された 120 セルの大きな星型は、次のようになります。

4次元を超える正則星型多面体は存在しない^[要出典]。

交差せず、内部のすべてが 1 つの内部点から見える多面体は、スター ドメインの例です。多くの自己交差するスター多面体の目に見える外部部分がスター ドメインの境界を形成しますが、外観は似ていますが、抽象的な多面体としては異なる構造です。たとえば、小さな星型十二面体には 12 個の五角形の面がありますが、対応するスター ドメインには 60 個の二等辺三角形の面があり、頂点と辺の数がそれぞれ異なります。

多面体の星の領域は、さまざまなタイプの建築物に見られますが、通常は宗教的な性質を持っています。たとえば、教会を建てた教皇のシンボルとして多くのバロック様式の教会に見られ、ハンガリーの教会やその他の宗教的な建物にも見られます。これらの星は装飾としても使用できます。モラヴィアの星は両方の目的で使用され、さまざまな形で構築できます。

• スターポリゴン
• ステレーション
• 多面体化合物
• 均一多面体の一覧
• シュワルツ三角形による一様多面体の一覧

• Coxeter, HSM、MS Longuet-Higgins、JCP Miller、「Uniform Polyhedra」、Phil. Trans. 246 A (1954) pp. 401–450。
• コクセター、HSM、「正多面体」、第3版、ドーバー出版、1973年。ISBN  0-486-61480-8。（VI. 星型多面体、XIV. 星型多面体）（p. 263）[1]
• John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss、The Symmetries of Things 2008、ISBN 978-1-56881-220-5 (第 26 章、Regular star-polytopes、pp. 404–408) 
• Tarnai, T.、Krähling, J.、Kabai, S.、「星型多面体：ヴェネツィアのサン・マルコ寺院からハンガリーのプロテスタント教会まで」、論文ID209、IASS 2007議事録、シェルと空間構造：構造建築 - 過去を振り返りながら未来へ、IUAV大学、2007年。[2] 2010-11-29にWayback Machineでアーカイブ、または[3] ^{[永久リンク切れ‍ ]}

• Weisstein、Eric W.「スター多面体」。MathWorld。