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幾何学において、4-多面体（ポリコロオン、[ 1 ]ポリセル、または多面体とも呼ばれる）は4次元多面体である。[ 2 ] [ 3 ]これは連結した閉じた図形であり、頂点、辺、面（多角形）、セル（多面体）といった低次元の多面体要素から構成される。各面はちょうど2つのセルによって共有される。4-多面体は、1853年以前にスイスの数学者ルートヴィヒ・シュレーフリによって発見された。 [ 4 ]
4次元多面体の2次元版は多角形であり、3次元版は多面体である。
位相的に見ると、4次元多面体は、 3次元空間を敷き詰める立方体ハニカムなどの均一なハニカム構造と密接に関連しています。同様に、3次元立方体は無限の2次元正方形タイル張りと関連しています。凸型の4次元多面体は、3次元空間で切り取って展開することでネットとして表すことができます。
4次元多面体は閉じた4次元図形です。頂点（角点）、辺、面、セルから構成されます。セルは面の3次元版であり、したがって多面体です。各面は、多面体の各辺がちょうど2つの面と繋がるのと同様に、必ず2つのセルと繋がらなければなりません。他の多面体と同様に、4次元多面体の要素は、2つ以上の4次元多面体の集合に分割することはできません。つまり、複合多面体ではありません。
凸正4次元多面体は、プラトン立体の4次元版である。最もよく知られている4次元多面体は、立方体の4次元版であるテセラクト（超立方体）である。
凸正4多面体は、同じ半径における4次元内容（超体積）の尺度として、サイズ順に並べることができます。この系列のより大きな多面体は、前の多面体よりも丸みを帯びており、同じ半径内により多くの内容[ 5 ]を囲んでいます。4単体（5セル）は最小の極限であり、120セルは最大のケースです。複雑さ（構成行列を比較したり、単に頂点の数を比較したりして測定）も同じ順序に従います。
4次元多面体は、その余分な次元のため、3次元空間では視覚的に捉えることができません。そのため、それらを視覚化するためにいくつかの手法が用いられています。
直交投影を用いることで、4次元多面体の様々な対称方向を示すことができる。2次元では頂点と辺のグラフとして描画でき、3次元では実面を持つ可視射影包絡線として表示できる。
3D形状を平面に投影できるのと同様に、4D形状も3次元空間、あるいは平面に投影することができます。一般的な投影法の一つにシュレーゲル図があり、これは3次元球面上の点を立体投影によって3次元空間に投影し、直線状の辺、面、セルで接続して3次元空間に描画するものです。
多面体を切断すると切断面が現れるのと同様に、4次元多面体を切断すると3次元空間における切断された「超曲面」が現れる。このような断面を連続的に観察することで、全体の形状を理解することができる。この追加の次元を時間軸に見立てることで、これらの断面を滑らかにアニメーション化することができる。
4次元多面体の展開図は、面同士が連結された多面体セルで構成されており、それらはすべて同じ3次元空間を占めている。これは、多面体の展開図の多角形の面が辺同士で連結され、すべて同じ平面を占めているのと同様である。
任意の4次元多面体のトポロジーは、そのベッチ数とねじれ係数によって定義される。[ 6 ]
多面体を特徴付けるために用いられるオイラー標数の値は、高次元に有用に一般化できず、基礎となるトポロジーに関わらず、すべての4次元多面体に対してゼロとなる。高次元における異なるトポロジーを確実に区別する上でオイラー標数が不十分であることから、より洗練されたベッティ数が発見された。[ 6 ]
同様に、多面体の向き付け可能性の概念は、トーラス状の4次元多面体の表面のねじれを特徴付けるには不十分であり、これがねじれ係数の使用につながった。[ 6 ]
すべての多面体と同様に、4次元多面体も「凸性」や「対称性」といった性質に基づいて分類することができる。
以下に、上記の基準に従って分類された4次元多面体の様々なカテゴリーを列挙する。
その他の凸4次元多面体：
ユークリッド3次元空間の無限均一4次元多面体（凸均一セルの均一なテセレーション）
双曲型3次元空間の無限均一4次元多面体（凸均一セルの均一なテセレーション）
その他：
これらのカテゴリーには、高い対称性を示す4次元多面体のみが含まれます。他にも多くの4次元多面体が存在しますが、これらのカテゴリーに含まれるものほど広範に研究されていません。