一様多面体

幾何学では、3 次元以上の一様多面体は、一様面で囲まれた頂点推移 多面体です。ここで、「頂点推移」とは、すべての頂点が他のすべての頂点に向かう対称性を持つことを意味します。多面体の各低次元面内でも同じことが当てはまります。2 次元 (および高次元多面体の 2 次元面) では、より強力な定義が使用されます。つまり、正多角形のみが一様であると見なされ、2 つの異なる長さの辺が交互に現れる多角形は許可されません。

これは、半正多面体という古いカテゴリの一般化ですが、正多面体も含まれています。さらに、星型の正面と頂点図形(星型多角形) が許可されているため、可能な解が大幅に広がります。厳密な定義では、一様多面体は有限である必要がありますが、より拡張的な定義では、ユークリッド空間と双曲空間の一様ハニカム(2 次元のタイリングとより高次元のハニカム)も多面体と見なすことができます。

ほぼすべての均一多面体は、ウィトフ構成によって生成でき、コクセター図によって表すことができます。注目すべき例外には、3 次元の大二菱形十二面体と4 次元の 大反角柱があります。

同様に、ウィソフ多面体は、その次元の正多面体に基本演算を適用することによって生成できます。このアプローチは、ヨハネス・ケプラーによって最初に使用され、コンウェイ多面体表記法の基礎となっています。

正 n 次元多面体にはn次元の平行移動があります。0 番目の平行移動は元の形式です。( n −1) 番目の平行移動は双対です。平行移動は辺を頂点に縮小し、2 次元平行移動は面を頂点に縮小し、3 次元平行移動はセルを頂点に縮小し、4 次元平行移動は4 面を頂点に縮小し、5 次元平行移動は5 面を頂点に縮小します。

拡張されたSchläfli 記号は、単一の下付き文字を持つ修正形式を表すために使用できます。

• k番目の整流 = t _k {p ₁、 p ₂、 ...、 p _n-1 } = k r。

任意の組み合わせの正n多面体 に適用できる切り捨て操作。結果の Coxeter ダイアグラムには 2 つのリング ノードがあり、操作の名前はそれらの間の距離にちなんで付けられます。切り捨ては頂点を切り取り、カンテレーションは辺を切り取り、ランシネーションは面を切り取り、ステリア化はセルを切り取ります。各上位の操作は下位の操作も切り取るため、カンテレーションは頂点を切り捨てます。

1. t _0,1またはt :切り捨て-多角形以上に適用されます。切り捨ては頂点を削除し、以前の各頂点の代わりに新しい面を挿入します。面は切り捨てられ、辺が 2 倍になります。(ケプラーが作ったこの用語は、ラテン語のtruncare「切り取る」 に由来します。)

   

   • さらに高度な切り捨てもあります:ビット切り捨て t _1,2または2t、トリ切り捨て t _2,3または3t、クアド切り捨て t _3,4または4t、クイント切り捨て t _4,5または5tなど。
2. t _0,2またはrr :カンテレーション-多面体以上に適用されます。これは、その修正を修正したものと見ることができます。カンテレーションは、頂点と辺の両方を切り詰め、新しい面で置き換えます。セルは、位相的に拡張されたコピーで置き換えられます。(ジョンソンによって造られたこの用語は、ベベルと同様に、斜めの面で切ることを意味する動詞cantから派生しています。)

   

   • より高いカンテレーションも存在します: 2 カンテレーション t _1,3またはr2r、3 カンテレーション t _2,4またはr3r、4 カンテレーション t _3,5またはr4rなど。
   • t _0,1,2またはtr :カンティトランケーション-多面体以上に適用されます。これは、その整流化を切り捨てたものと見ることができます。カンティトランケーションは、頂点と辺の両方を切り捨て、新しい面で置き換えます。セルは、位相的に拡張されたコピーで置き換えられます。(複合用語は、カンティレーションとトランケーションを組み合わせたものです)
     • より高いカンテレーションもあります:二重カンテレーション t _1,2,3またはt2r、三重カンテレーション t _2,3,4またはt3r、四重カンテレーション t _3,4,5またはt4rなど。
3. t _0,3 :ランシネーション-均一な 4 次元多面体以上に適用されます。ランシネーションは頂点、辺、面を切り捨て、それぞれを新しい面で置き換えます。4 次元面は、位相的に拡張されたコピーで置き換えられます。(ジョンソンが作ったこの用語は、ラテン語のruncina「大工の平面」に由来しています。)
   • より高次のランシネーションもあります：バイランシネーション t _1,4、トリランシネーション t _2,5など。
4. t _0,4または2r2r :立体化-均一な 5 次元多面体以上に適用されます。立体化の立体化と見ることができます。立体化は頂点、辺、面、セルを切り捨て、それぞれを新しい面で置き換えます。5 次元面は、位相的に拡張されたコピーで置き換えられます。(ジョンソンによって造られたこの用語は、ギリシャ語のstereosの「立体」に由来しています。)
   • より高次の立体配座も存在します：ビステリケーション t _1,5または2r3r、トリステリケーション t _2,6または2r4rなど。
   • t _0,2,4または2t2r :立体分割-均一な 5 次元多面体以上に適用されます。これは、その双直交化をビットランケートしたものと見ることができます。
     • より高次の立体配座も存在します：二立体配座 t _1,3,5または2t3r、三立体配座 t _2,4,6または2t4rなど。
5. t _0,5 :ペンテレーション-均一な 6 次元多面体以上に適用されます。ペンテレーションは、頂点、辺、面、セル、および 4 次元面を切り捨て、それぞれを新しい面に置き換えます。6 次元面は、位相的に拡張されたコピーに置き換えられます。(ペンテレーションはギリシャ語のpente (5) に由来します。)
   • さらに高次のペンテレーションもあります:バイペンテレーション t _1,6、トリペンテレーション t _2,7など。
6. t _0,6または3r3r :ヘキシケーション-均一な 7 次元多面体以上に適用されます。これは、三次元平行移動の三次元平行移動と見ることができます。ヘキシケーションは、頂点、辺、面、セル、4 面、5 面を切り捨て、それぞれを新しい面に置き換えます。7 面は、位相的に拡張されたコピーに置き換えられます。(ヘキシケーションは、ギリシャ語の16 進数「6」に由来します。)
   • より高い六価クロム化もあります:二六価クロム化: t _1,7または3r4r、三六価クロム化: t _2,8または3r5rなど。
   • t _0,3,6または3t3r :六面体切断-均一な 7 次元多面体以上に適用されます。三面体平行化を三面体切断したものと見ることができます。
     • より高次のヘキシルンシネーションも存在します：ビヘキシルンシネーション：t _1,4,7または3t4r、トリヘキシルンシネーション：t _2,5,8または3t5rなど。
7. t _0,7 :ヘプテレーション-均一な 8 面以上の多面体に適用されます。ヘプテレーションは、頂点、辺、面、セル、4 面、5 面、および 6 面を切り捨て、それぞれを新しい面に置き換えます。8 面は、位相的に拡張されたコピーに置き換えられます。(ヘプテレーションは、ギリシャ語のhepta「7」に由来します。)
   • さらに高次の七分音階もあります:二七分音階 t _1,8、三七分音階 t _2,9など。
8. t _0,8または4r4r :オクテレーション-均一な 9 次元多面体以上に適用されます。
9. t _0,9 : Ennecation -均一な 10 次元多面体以上に適用されます。

さらに、切り捨ての組み合わせを実行して、新しい均一な多面体を生成することもできます。たとえば、runcitruncationは、 runcinationとtruncation を一緒に適用したものです。

すべての切り捨てが一度に適用される場合、その操作はより一般的にはomnitruncationと呼ばれます。

交代と呼ばれる特別な操作では、偶数辺のみを持つ多面体から交代頂点が削除されます。交代した全切形多面体はスナブと呼ばれます。

結果として得られる多面体は常に構築可能であり、一般に反射的ではなく、また一般に均一な多面体解を持ちません。

超立方体を交互に配置して形成される多面体の集合は、半立方体と呼ばれます。3 次元では、これにより四面体が生成され、4 次元では、16 セル、つまり半四面体が生成されます。

一様多面体は、頂点図形、各頂点の周りの辺、面、セルなどの配置から構築できます。コクセター図によって表され、リングによってアクティブミラーがマークされる一様多面体は反射対称性を持ち、頂点図形の再帰反射によって簡単に構築できます。

少数の非反射一様多面体は単一の頂点図形を持ちますが、単純な反射では繰り返されません。これらのほとんどは、他の一様多面体の 交代などの操作で表すことができます。

単環コクセター図の頂点図形は、図から環ノードを削除し、隣接するノードを環化することで構築できます。このような頂点図形は、それ自体が頂点推移的です。

多重リング多面体は、やや複雑な構築プロセスで構築でき、そのトポロジは均一な多面体ではありません。たとえば、切断された正多面体 (2 つのリングを持つ) の頂点図形はピラミッドです。全切断多面体 (すべてのノードがリング状) は、常に不規則な単体を頂点図形として 持ちます。

一様多面体は辺の長さが等しく、すべての頂点は中心から等距離にあり、これを外接半径と呼びます。

外接半径が辺の長さに等しい一様多面体は、一様ハニカムの頂点図形として使用できます。たとえば、正六角形は6 つの正三角形に分割され、正三角形のタイリングの頂点図形になります。また、立方八面体は8 つの正四面体と 6 つの正四角錐 (半八面体) に分割され、交互立方ハニカムの頂点図形になります。

一様多面体を次元で分類すると便利です。これは、コクセター図のノードの数、またはウィソフ構成の超平面の数に相当します。( n +1) 次元多面体はn次元球面空間のタイリングであるため、 n次元ユークリッド空間と双曲空間のタイリングも ( n +1) 次元であると見なされます。したがって、 2次元空間のタイリングは、3 次元の立体とグループ化されます。

唯一の 1 次元多面体は線分です。これは Coxeter 族 A ₁に対応します。

2 次元では、凸一様多面体の無限の族、正多角形があり、最も単純なのは正三角形です。切頂正多角形は、辺の数が 2 倍の 2 色の幾何学的に準正多角形、t{p}={2p}になります。最初のいくつかの正多角形 (および準正多角形) を以下に示します。

星型多角形も無限に存在しますが（2 より大きい有理数ごとに 1 つずつ）、これらは非凸です。最も単純な例は五芒星で、これは有理数 5/2 に対応します。正多角形 {p/q} は、半正多角形 t{p/q}=t{2p/q} に切り詰めることができますが、qが偶数の場合は二重被覆になります。切り詰めは、逆向きの多角形 t{p/(pq)}={2p/(pq)} を使用して行うこともできます（たとえば、t{5/3}={10/3}）。

正多角形は、 p 角形のSchläfli 記号{p} で表されます。正多角形は自己双対なので、平行化によって同じ多角形が生成されます。一様切断操作により、辺が 2 倍になり、{2p} になります。切断を交互に行うスナブ操作により、元の多角形 {p} が復元されます。したがって、すべての一様多角形は正多角形でもあります。次の操作を正多角形に対して実行して、一様多角形 (これも正多角形) を導出できます。

3次元では、状況はさらに面白くなります。プラトン立体として知られる凸正多面体が5つあります。

これらに加えて、半正多面体、つまりアルキメデスの立体も 13 個あります。これらは、次の表に示すように、ウィトフ作図、またはプラトン立体に対する切捨てなどの操作を実行することによって取得できます。

また、各正多角形ごとに 1 つずつ、無限のプリズムの集合と、対応する反プリズムの集合も存在します。

均一な星型多面体には、さらに 4 つの正星型多面体、ケプラー・ポアンソ多面体、および 53 の半正星型多面体が含まれます。また、星型プリズム (星型多角形ごとに 1 つ) と星型反プリズム (3/2 より大きい有理数ごとに 1 つ) の 2 つの無限集合もあります。

ウィトフ一様多面体とタイリングは、オブジェクトの基本領域を指定するウィトフ記号で定義できます。コクセターも使用したシュレーフリ表記の拡張は、すべての次元に適用されます。これは、文字「t」に続いてコクセター図の環状ノードに対応する一連の下付き数字が続き、その後に正則シード多面体のシュレーフリ記号が続きます。 たとえば、切頂八面体は、 t _0,1 {3,4} という表記で表されます。

4 次元には、6 つの凸正則 4 次元多面体、プラトン立体とアルキメデス立体上の 17 個のプリズム (立方体プリズムは除く。立方体プリズムはすでに四次元体として数えられています)、および 2 つの無限集合 (凸反プリズム上のプリズムとデュオプリズム)が存在します。また、非ウィトフ 大反プリズムとスナブ 24 セルを含む 41 個の凸半正則 4 次元多面体も存在します。これらの特別な 4 次元多面体は両方とも、600 セルの頂点のサブグループで構成されています。

4 次元の均一な星型多面体はすべて列挙されているわけではない。列挙されているものには、10 個の通常の星型 (シュレーフリ-ヘス) 4 次元多面体と均一な星型多面体上の 57 個のプリズム、および 3 つの無限族 (星型反プリズム上のプリズム、2 つの星型多角形を掛け合わせて形成されるデュオプリズム、通常の多角形と星型多角形を掛け合わせて形成されるデュオプリズム) がある。上記のカテゴリに当てはまらない 4 次元多面体は無数に存在し、これまでに 1,000 個以上が発見されている。

すべての正多面体は、少数の鏡に映った基本領域の像として見ることができます。4 次元多面体 (または 3 次元立方体ハニカム) では、基本領域は 4 つの鏡で囲まれます。4 次元空間の鏡は 3 次元超平面ですが、ここでは超球面の 3 次元表面との 2 次元交差のみを考える方が便利です。つまり、鏡は不規則な四面体を形成します。

16 個の正 4 次元多面体のそれぞれは、次の 4 つの対称群のいずれかによって生成されます。

• グループ[3,3,3]：5セル{3,3,3}は自己双対である。
• グループ[3,3,4]: 16セル{3,3,4}とその双対四次元体{4,3,3}。
• グループ[3,4,3]: 24セル{3,4,3}、自己双対;
• グループ[3,3,5]: 600セル{3,3,5}、その二重の120セル{5,3,3}、およびそれらの10個の通常の星型配列。
• グループ[3 ^1,1,1 ]: [3,3,4]ファミリーの繰り返しメンバーのみが含まれます。

(グループはCoxeter 表記法で命名されています。)

ユークリッド 3 次元空間の凸均一ハニカム8 つは、ウィトフ均一 4 次元多面体を生成するために使用されるのと同じ操作を適用することによって、 立方ハニカム{4,3,4} から同様に生成されます。

与えられた対称単体では、生成点は 4 つの頂点、6 つの辺、4 つの面、または内部ボリュームのいずれかに配置できます。これらの 15 個の要素のそれぞれに、4 つの鏡に映った像が均一な 4 次元多面体の頂点となる点があります。

拡張シュレーフリ記号は、tの後に 1 から 4 つの下付き文字 0、1、2、3 が続くことによって表されます。下付き文字が 1 つの場合、生成点は基本領域の角、つまり 3 つのミラーが交わる点にあります。これらの角は次のように表記されます。

• 0 : 親の4次元多面体の頂点（双対のセルの中心）
• 1 : 親のエッジの中心（デュアルの面の中心）
• 2 : 親の面の中心（デュアルのエッジの中心）
• 3 : 親セルの中心（双対の頂点）

(2 つの自己双対 4 次元多面体の場合、「双対」は双対位置にある類似の 4 次元多面体を意味します。) 2 つ以上の下付き文字は、生成点が示されたコーナーの間にあることを意味します。

15 の構成形式を族別にまとめると、次のようになります。自己双対族は 1 つの列にリストされ、その他は対称Coxeter 図上で共通のエントリを持つ 2 つの列にリストされます。最後の 10 行目には、24 セルのスナブ構成がリストされます。これには、Coxeter 族を持たない非 Wythoffian 大反プリズムを除く、すべての非プリズム均一 4 次元多面体が含まれます。

次の表は、15 種類の切り捨て形式を定義しています。各形式には、上で定義した 0、1、2、3 の位置にある 1 ～ 4 種類のセルが含まれます。セルには、多面体切り捨て表記法でラベルが付けられています。

• n角柱は {n}×{ } として表されます。
• 親またはデュアルのいずれかに相当するフォームには、緑色の背景が表示されます。
• 赤い背景は親の切り捨てを示し、青い背景はデュアルの切り捨てを示します。

ハーフ構造は、リング状のノードではなく穴を持つ構造です。穴と非アクティブなノードに隣接するブランチは偶数次である必要があります。ハーフ構造には、同一のリング構造の頂点があります。

5 次元以上では、超立方体、単体、交差多面体の3 つの正多面体が存在します。これらはそれぞれ、3 次元の立方体、四面体、八面体を一般化したものです。これらの次元には、正星型多面体は存在しません。ほとんどの均一な高次元多面体は、正多面体を修正するか、より低次元の多面体の直積を取ることで得られます。

6次元、7次元、8次元では、例外的な 単純リー群、E ₆、E ₇、E ₈が作用します。コクセター図の非ゼロ個のノードにリングを配置することで、39個の新しい6次元多面体、127個の新しい7次元多面体、255個の新しい8次元多面体を得ることができます。注目すべき例は、4 ₂₁多面体です。

有限一様多面体の主題に関連しているのは、ユークリッド空間と双曲空間における一様ハニカムです。ユークリッド一様ハニカムはアフィン コクセター群によって生成され、双曲ハニカムは双曲コクセター群によって生成されます。2 つのアフィン コクセター群は掛け合わせることができます。

双曲コクセター群には、コンパクトとパラコンパクトの 2 つのクラスがあります。コンパクト群によって生成される均一なハニカムは、有限の面と頂点図形を持ち、2 次元から 4 次元に存在します。パラコンパクト群は、アフィンまたは双曲部分グラフと、無限の面または頂点図形を持ち、2 次元から 10 次元に存在します。

• シュレーフリ記号

• コクセター 『幾何学の美：12のエッセイ』、ドーバー出版、1999年、ISBN  978-0-486-40919-1（第3章：ワイトフの一様多面体の構成）
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
  • ノーマン・ジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966年オンライン
• A. ブール・ストット:正多面体と空間充填からの準正則の幾何学的演繹、Koninklijke academy van Wetenschappen width Unit Amsterdam の Verhandelingen、Eerste Sectie 11,1、アムステルダム、1910 PDF
• HSMコクセター:
  • HSM Coxeter、MS Longuet-Higgins、JCP Miller: Uniform Polyhedra、ロンドン王立協会哲学論文集、ロンドン、1954 PDF
  • HSM コクセター『正多面体』第 3 版、ドーバー ニューヨーク、1973 年
• 万華鏡：HSM コクセター選集、F. アーサー シャーク、ピーター マクマレン、アンソニー C. トンプソン、アジア アイビック ワイス編、ワイリー インターサイエンス出版、1995 年、ISBN 978-0-471-01003-6 
  • (論文 22) HSM Coxeter, 正則多面体と半正則多面体 I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (論文 23) HSM Coxeter、「正則多面体と半正則多面体 II」[Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (論文 24) HSM Coxeter, 正則多面体と半正則多面体 III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• マルコ・メラー、「多面体多面体多面体多面体」、論文、ハンブルク大学、ハンブルク (2004) (ドイツ語)オンライン

• Olshevsky, George. 「Uniform polytope」。Hyperspace の用語集。2007 年 2 月 4 日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• 4 次元の均一凸多面体:、Marco Möller (ドイツ語)