大星型十二面体

幾何学において、大星型十二面体は、シュレーフリ記号{ 5 ⁄ 2,3 }で表されるケプラー・ポアンソ多面体である。これは4つの非凸正多面体のうちの1つである。

12 個の交差する五芒星の面で構成され、各頂点で 3 つの五芒星が交わります。

正十二面体と頂点の配置は共通だが、頂点の形状や頂点の構成は共通していない。また、（より小さな）十二面体の星型でもある。十二面体自体を除けば、この特性を持つ唯一の十二面体の星型である。双対である大二十面体も、二十面体と同様の関係にある。

三角錐を削り取ると二十面体になります。

五芒星の面を三角形に分割すると、位相的には三等辺二十面体と関連し、面の連結性は同じですが、二等辺三角形の面がはるかに高くなります。代わりに三角形を反転させて中央の二十面体を掘り下げると、大十二面体が得られます。

大星型十二面体は、2 次元の類似物である五芒星と同様に、五角形多面体面と単体頂点図形を持つn次元五角形多面体を、星型化できなくなるまで、つまり最終的な星型化まで星型化を試みることで構築できます。

辺の長さがEである大星型十二面体の場合、

$${\displaystyle {\text{半径}}={\tfrac {{\text{E}}({\sqrt {5}}-1)}{2}}}$$

$${\displaystyle {\text{中半径}}={\tfrac {{\text{E}}(1+{\sqrt {5}})}{4}}}$$

$${\displaystyle {\text{Circumradius}}={\tfrac {{\text{E}}(3+{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}}{4}}}$$

$${\displaystyle {\text{Surface Area}}=15{\Bigl (}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{\Bigr )}{\text{E}}^{2}}$$

$${\displaystyle {\text{Volume}}={\tfrac {(3+{\sqrt {5}}){\text{E}}^{3}}{4}}}$$

大星型十二面体に切り詰め処理を施すと、一様な多面体のシリーズが生成される。辺を点まで切り詰めると、平行化された大星型十二面体として大二十二面体が生成されます。この処理は二重平行化として完了し、元の面が点まで縮小され、大二十面体が生成されます。

切頂大星型十二面体は退化した多面体で、切頂頂点から20 個の三角形の面と、元の五芒星の面の切頂として 12 個の (隠れた) 五角形の面があり、後者は 20面体の内側に内接し、その辺を共有する 大十二面体を形成します。

• ウェニンガー、マグナス（1974）。多面体モデル。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-09859-9。

• コクセター、ハロルド(1954)。「均一な多面体」。ロンドン王立協会哲学論文集。シリーズ A、数学および物理科学。246 (  916 ) 。王立協会: 401–450。Bibcode :1954RSPTA.246..401C。doi : 10.1098/rsta.1954.0003。JSTOR 91532。S2CID  202575183。

• Weisstein, Eric W.、「大星型十二面体」（「均一多面体」）（MathWorld）。
  • Weisstein, Eric W.「十二面体の 3 つの星型」。MathWorld。
• 均一多面体と双対