球状多面体

幾何学において、球面多面体または球面タイリングは、球面が大きな弧によって球面多角形と呼ばれる境界領域に分割または区分された球面のタイリングです。頂点が中心から等距離にある多面体は、その辺を球に投影して対応する球面多面体を取得することで簡単に調べることができます。

最もよく知られている球状多面体は、球面切頂二十面体と考えられるサッカーボールです。次によく知られている球状多面体は、直角二乗面体と考えられるビーチボールです。

細面体やその双対である二面体などの一部の「不適切な」多面体は球状多面体として存在しますが、それらの平面類似体は退化しています。例の六角形のビーチボール ${2, 6} は$ 細面体であり、 ${6, 2}$ はその双対二面体です。

歴史

10世紀、イスラム学者アブー・アル・ワファ・ブズジャーニー（アブル・ワファ）は、職人や建築家が必要とする幾何学の研究の一環として、球面多面体を研究した。^[1]

20世紀半ばのバックミンスター・フラーの測地線ドームに関する研究は、球状多面体研究のブームを引き起こした。^[2]ほぼ同じ時期に、コクセターは万華鏡の構築（ウィトフ構築）を通じて、球状多面体のうち1つを除くすべての均一な多面体を数えるためにそれらを使用した。^[3]

すべての正多面体、半正多面体、およびそれらの双対は、タイリングとして球上に投影できます。

球面タイリングでは、多面体では不可能なケース、つまり、 {2,n} の図形である細面体や、 {n,2} の図形である二面体が可能になります。一般的には、正細面体と正二面体が使用されます。

少なくとも1つの反転対称性を持つ球面多面体は、射影多面体^[4]（実射影平面のモザイク状配置）と関連しています。球体が射影平面の2対1の被覆写像を持つのと同じように、射影多面体は2重被覆の下で、原点を通る鏡映対称である球面多面体に対応します。

射影多面体の最もよく知られた例としては、正射影多面体、中心対称なプラトン立体の商、そして2つの無限クラスの偶数二面体と細面体が挙げられる。^[5]

^ Sarhangi, Reza (2008年9月). 「アブ・アル＝ワファ・ブズジャーニーの図解：平面図、球形構成」.イラン研究. 41 (4): 511–523. doi :10.1080/00210860802246184.
^ ポプコ、エドワード S. (2012)。分割された球体：測地線と球の秩序ある分割。CRC プレス。p. xix。ISBN 978-1-4665-0430-1バックミンスター・フラーのジオデシック・ドームの発明は、球面分割の研究開発に最も大きな刺激を与えました。
^ Coxeter, HSM ; Longuet-Higgins, MS ; Miller, JCP (1954). 「均一多面体」. Phil. Trans . 246 A (916): 401–50. JSTOR 91532.
^ McMullen, Peter ; Schulte, Egon (2002). 「6C. 射影正則多面体」。抽象正則多面体。ケンブリッジ大学出版局。pp. 162–5。ISBN 0-521-81496-0。
^ Coxeter, HSM (1969). 「§21.3 正則写像」「幾何学入門（第2版）」 Wiley。pp.386–8。ISBN 978-0-471-50458-0MR 0123930 。