ウィグナー分布関数

ウィグナー分布関数(WDF) は、信号処理において時間周波数解析の変換として使用されます。

WDF は、1932 年にユージン・ウィグナーによって古典統計力学に対する量子補正を説明するために物理学で初めて提案され、位相空間における量子力学において重要です(比較として、ウィグナー準確率分布(ウィグナー関数またはウィグナー・ヴィル分布とも呼ばれる) を参照してください)。

位置運動量共役対と時間周波数共役対の間で共有される代数構造を考えると、これは、この記事の主題である時間周波数解析の変換として、信号処理にも役立ちます。ガボール変換などの短時間フーリエ変換と比較すると、ウィグナー分布関数は、不確定性原理の制限内で数学的に可能な最高の時間対周波数分解能を提供します。欠点は、信号成分のすべてのペア間および正の周波数と負の周波数の間に大きな交差項が導入されることです。これにより、関数の元の定式化はほとんどの解析アプリケーションに適合しなくなります。その後、ウィグナー分布関数の鋭さを維持しながら交差項を大幅に抑制する変更が提案されました。

ウィグナー分布関数にはいくつかの異なる定義がある。ここで示す定義は時間周波数解析に特有のものである。時系列が与えられた場合、その非定常自己共分散関数は次のように与えられる 。${\displaystyle x[t]}$

${\displaystyle C_{x}(t_{1},t_{2})=\left\langle \left(x[t_{1}]-\mu [t_{1}]\right)\left(x[t_{2}]-\mu [t_{2}]\right)^{*}\right\rangle ,}$

ここで、 はプロセスのすべての可能な実現の平均を表し、 は平均であり、時間の関数である場合もそうでない場合もあります。ウィグナー関数は、まず自己相関関数を平均時間と時間遅れで表し、次に遅れをフーリエ変換することで得られます。 ${\displaystyle \langle \cdots \rangle }$${\displaystyle \mu (t)}$${\displaystyle W_{x}(t,f)}$${\displaystyle t=(t_{1}+t_{2})/2}$${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }C_{x}\left(t+{\frac {\tau }{2}},t-{\frac {\tau }{2}}\right)\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$

したがって、単一の（平均ゼロの）時系列の場合、ウィグナー関数は次のように単純に与えられる。

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$

ウィグナー関数の目的は、定常プロセスでは常にスペクトル密度関数に簡約されるが、非定常自己相関関数と完全に等価であることです。したがって、ウィグナー関数は、スペクトル密度が時間とともにどのように変化するかを（大まかに）示します。 ${\displaystyle t}$

ここでは、WDF が時間周波数解析でどのように使用されるかを示す例をいくつか示します。

入力信号が一定の場合、その時間周波数分布は時間軸に沿った水平線になります。たとえば、x ( t ) = 1の場合、

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau =\delta (f).}$

入力信号が正弦関数である場合、その時間周波数分布は時間軸に平行な水平線であり、正弦信号の周波数だけずれている。例えば、x ( t ) = e ^{i2π kt}の場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)}e^{-i2\pi k\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)}e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau \left(f-k\right)}\,d\tau \\&=\delta (f-k).\end{aligned}}}$

入力信号が線形チャープ関数である場合、瞬時周波数は線形関数です。つまり、時間周波数分布は直線になるはずです。たとえば、

${\displaystyle x(t)=e^{i2\pi kt^{2}}}$、

するとその瞬間周波数は

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d(2\pi kt^{2})}{dt}}=2kt~,}$

およびそのWDF

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)^{2}}e^{-i2\pi k\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{2}}e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i4\pi kt\tau }e^{-i2\pi \tau f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau (f-2kt)}\,d\tau \\&=\delta (f-2kt)~.\end{aligned}}}$

入力信号がデルタ関数の場合、t=0 でのみ非ゼロとなり、無限の周波数成分を含むため、その時間周波数分布は原点を横切る垂直線になるはずです。これは、デルタ関数の時間周波数分布もデルタ関数になることを意味します。WDF による

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\delta \left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=4\int _{-\infty }^{\infty }\delta (2t+\tau )\delta (2t-\tau )e^{-i2\pi \tau f}\,d\tau \\&=4\delta (4t)e^{i4\pi tf}\\&=\delta (t)e^{i4\pi tf}\\&=\delta (t).\end{aligned}}}$

ウィグナー分布関数は、入力信号の位相が 2 次以下の場合の時間周波数解析に最適です。これらの信号の場合、WDF は入力信号の時間周波数分布を正確に生成できます。

${\displaystyle x(t)={\begin{cases}1&|t|<1/2\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\qquad }$、

長方形関数 ⇒

${\displaystyle W_{x}(t,f)={\begin{cases}{\frac {1}{\pi f}}\sin(2\pi f\{1-2|t|\})&|t|<1/2\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

ウィグナー分布関数は線形変換ではありません。交差項 (「時間ビート」) は、入力信号に複数のコンポーネントがある場合に発生し、時間的には周波数ビートに類似しています。^[1]先祖物理学のウィグナー準確率分布では、この項は、忠実な期待値に必要な、重要かつ有用な物理的結果を持っています。対照的に、短時間フーリエ変換にはこの機能はありません。WDF の負の特徴は、古典信号のガボール限界を反映しており、量子構造の可能性のある基礎とは物理的に無関係です。

以下は、ウィグナー分布関数の交差項特性を示すいくつかの例です。

• ${\displaystyle x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t)&t\leq -2\\\cos(4\pi t)&-2<t\leq 2\\\cos(3\pi t)&t>2\end{cases}}}$
• ${\displaystyle x(t)=e^{it^{3}}}$

クロスタームの困難さを軽減するために、文献ではいくつかのアプローチが提案されており、^{[2] [3]}その中には、修正ウィグナー分布関数、ガボール・ウィグナー変換、チョイ・ウィリアムズ分布関数、コーエンのクラス分布などの新しい変換につながるものもある。

ウィグナー分布関数には、次の表にリストされているいくつかの明らかな特性があります。

投影プロパティ

${\displaystyle {\begin{aligned}|x(t)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,df\\|X(f)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}}$

エネルギー特性

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,df\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}\,df}$

回復特性

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}\left({\frac {t}{2}},f\right)e^{i2\pi ft}\,df&=x(t)x^{*}(0)\\\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}\left(t,{\frac {f}{2}}\right)e^{i2\pi ft}\,dt&=X(f)X^{*}(0)\end{aligned}}}$

平均状態頻度と平均状態時間

${\displaystyle {\begin{aligned}X(f)&=|X(f)|e^{i2\pi \psi (f)},\quad x(t)=|x(t)|e^{i2\pi \phi (t)},\\{\text{if }}\phi '(t)&=|x(t)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }fW_{x}(t,f)\,df\\{\text{ and }}-\psi '(f)&=|X(f)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }tW_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}}$

モーメント特性

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}|x(t)|^{2}\,dt\\\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}|X(f)|^{2}\,df\end{aligned}}}$

不動産

${\displaystyle W_{x}^{*}(t,f)=W_{x}(t,f)}$

地域のプロパティ

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}x(t)&=0{\text{ for }}t>t_{0}{\text{ then }}W_{x}(t,f)=0{\text{ for }}t>t_{0}\\{\text{If }}x(t)&=0{\text{ for }}t<t_{0}{\text{ then }}W_{x}(t,f)=0{\text{ for }}t<t_{0}\end{aligned}}}$

乗法定理

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=x(t)h(t)\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,\rho )W_{h}(t,f-\rho )\,d\rho \end{aligned}}}$

畳み込み定理

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )h(\tau )\,d\tau \\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\rho ,f)W_{h}(t-\rho ,f)\,d\rho \end{aligned}}}$

相関定理

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau )h^{*}(\tau )\,d\tau {\text{ then }}\\W_{y}(t,\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\rho ,\omega )W_{h}(-t+\rho ,\omega )\,d\rho \end{aligned}}}$

時間シフト共分散

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=x(t-t_{0})\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(t-t_{0},f)\end{aligned}}}$

変調共分散

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=e^{i2\pi f_{0}t}x(t)\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(t,f-f_{0})\end{aligned}}}$

スケール共分散

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&={\sqrt {a}}x(at){\text{ for some }}a>0{\text{ then }}\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(at,{\frac {f}{a}})\end{aligned}}}$

信号が時間制限されていない場合、そのウィグナー分布関数を実装するのは困難です。したがって、その積分部分に新しい関数（マスク）を追加して、負の無限大から正の無限大まで全体を積分するのではなく、元の関数の一部のみを実装します。元の関数： マスク付き関数：実数で時間制限があります${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$ ${\displaystyle w(\tau )}$

定義によると:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\W_{x}(t,f)=2\int _{-\infty }^{\infty }w(2\tau ')x\left(t+\tau '\right)\cdot x^{*}\left(t-\tau '\right)e^{-j4\pi \tau 'f}\cdot d\tau '\\W_{x}(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=2\sum _{p=-\infty }^{\infty }w(2p\Delta _{t})x((n+p)\Delta _{t})x^{\ast }((n-p)\Delta _{t})e^{-j4\pi mp\Delta _{t}\Delta _{f}}\Delta _{t}\end{aligned}}}$

と仮定すると、${\displaystyle w(t)=0}$${\displaystyle |t|>B\rightarrow w(2p\Delta _{t})=0}$${\displaystyle p<-Q}$${\displaystyle p>Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=2\sum _{p=-Q}^{Q}w(2p\Delta _{t})x((n+p)\Delta _{t})x^{\ast }((n-p)\Delta _{t})e^{-j4\pi mp\Delta _{t}\Delta _{f}}\Delta _{t}\end{aligned}}}$

例として${\displaystyle x(t)=\delta (t-t_{1})+\delta (t-t_{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \,,\end{aligned}}}$

実関数はどこにあるか${\displaystyle w(\tau )}$

そして、2 つの条件の違いを比較します。

理想的：${\displaystyle W_{x}(t,f)=0,{\text{ for }}t\neq t_{2},t_{1}}$

マスク機能の場合、マスク機能がないことを意味します。${\displaystyle w(\tau )=1}$

${\displaystyle y(t,\tau )=x(t+{\frac {\tau }{2}})}$ ${\displaystyle y^{*}(t,-\tau )=x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}d\tau }$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }[\delta (t+{\frac {\tau }{2}}-t_{1})+\delta (t+{\frac {\tau }{2}}-t_{2})][\delta (t-{\frac {\tau }{2}}-t_{1})+\delta (t-{\frac {\tau }{2}}-t_{2})]e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

${\displaystyle =4\int _{-\infty }^{\infty }[\delta (2t+\tau -2t_{1})+\delta (2t+\tau -2t_{2})][\delta (2t-\tau -2t_{1})+\delta (2t-\tau -2t_{2})]e^{j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

次に、マスク関数の条件を検討します。

は –B と B の間でのみ値を持つため、 を導通させることで関数の交差項を除去できることがわかります。ただし、x(t) がデルタ関数でも狭い周波数の関数でもない場合は、広い周波数またはリップルを持つ関数になります。信号のエッジは –B と B の間にまだ存在する可能性があり、それでも交差項の問題が発生します。${\displaystyle w(\tau )}$${\displaystyle w(\tau )}$

例えば：

• 時間周波数表現
• 短時間フーリエ変換
• スペクトログラム
• ガボール変換
• 自己相関
• ガボール・ウィグナー変換
• 修正ウィグナー分布関数
• 光学的等価定理
• 多項式ウィグナー・ヴィル分布
• コーエンの階級分布関数
• ウィグナー準確率分布
• 時間周波数解析における分布間の変換
• 双線形時間頻度分布

• Wigner, E. (1932). 「熱力学的平衡に対する量子補正について」(PDF) . Physical Review . 40 (5): 749–759. Bibcode :1932PhRv...40..749W. doi :10.1103/PhysRev.40.749. hdl :10338.dmlcz/141466.
• J. Ville、1948 年。「信号解析の理論と応用」、ケーブルと伝送、2、61–74。
• TACM Classen および WFG Mecklenbrauker、1980 年。「ウィグナー分布 - 時間周波数信号解析ツール、パート I」、Philips J. Res.、vol. 35、pp. 217–250。
• L. Cohen (1989): Proceedings of the IEEE 77 pp. 941–981、時間周波数分布---レビュー
• L. コーエン『時間周波数分析』、Prentice-Hall、ニューヨーク、1995年。ISBN 978-0135945322 
• S. Qian および D. Chen、「Joint Time-Frequency Analysis: Methods and Applications」、第 5 章、Prentice Hall、NJ、1996 年。
• B. Boashash、「時間周波数信号解析におけるウィグナー分布の使用に関する注記」、IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing、Vol. 36 、 No. 9、pp. 1518–1521、1988 年 9 月。doi :10.1109/29.90380。B. Boashash 編、『時間周波数信号解析および処理 - 包括的なリファレンス』、Elsevier Science、オックスフォード、2003 年、ISBN 0-08-044335-4。 
• F. Hlawatsch、GF Boudreaux-Bartels：「線形および二次の時間周波数信号表現」、IEEE Signal Processing Magazine、pp. 21–67、1992 年 4 月。
• RL Allen および DW Mills、「信号分析: 時間、周波数、スケール、構造」、Wiley-Interscience、NJ、2004 年。
• Jian-Jiun Ding、「時間周波数解析とウェーブレット変換の授業ノート」、国立台湾大学 (NTU) 電気工学部、台北、台湾、2015 年。
• Kakofengitis, D.、Steuernagel, O. (2017)。「弱非調和弱励起二状態系におけるウィグナーの量子位相空間電流」European Physical Journal Plus 2017 年 7 月 14 日

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