アペルシーケンス

数学 において、アペル列はポール・エミール・アペルにちなんで名付けられ、次の恒等式を満たす任意 の多項式列である。 ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots }}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),}$

であり、 はゼロ以外の定数です。 ${\displaystyle p_{0}(x)}$

自明な例を除けば、最も有名な Appell 列には、エルミート多項式、ベルヌーイ多項式、オイラー多項式があります。すべての Appell 列はSheffer 列ですが、ほとんどの Sheffer 列は Appell 列ではありません。Appell 列は、モーメントのシステムとして確率的に解釈されます。 ${\displaystyle \{x^{n}\}}$

多項式列に関する次の条件は、簡単に同等であることが分かります。

• のために、${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}$

ゼロ以外の定数です。${\displaystyle p_{0}(x)}$

• のスカラー列に対して、${\textstyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$${\displaystyle c_{0}\neq 0}$

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{n-k};}$

• 同じスカラーのシーケンスの場合、

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}$

どこ

${\displaystyle D={\frac {d}{dx}};}$

• のために、${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{n-k}.}$

仮定する

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},}$

ここで最後の等式は、 の多項式空間上の線型作用素を定義するために用いられる。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}}$

は逆演算子であり、係数は形式的な冪級数の通常の逆数の係数であるので、 ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle Tp_{n}(x)=x^{n}.\,}$

アンブラル計算の慣習では、この形式的な冪級数は アペル数列を表すものとして扱われることが多い。次のように定義できる。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle \log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)}$

の通常の冪級数展開と形式冪級数の通常の合成の定義を用いると、 ${\displaystyle \log(x)}$

${\displaystyle p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,}$

(この微分演算子におけるべき級数の形式的な微分は、ピンチャール微分の一例です。) ${\displaystyle D}$

エルミート多項式の場合、これはそのシーケンスの従来の再帰式に簡約されます。

すべてのアペル列の集合は、次のように定義される多項式列の暗黒合成操作の下で閉じている。と が次のように与えられる多項式列であるとする。 ${\displaystyle \{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}$${\displaystyle \{q_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}$

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ and }}q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}$

すると、アンブラル合成は、次の項が ${\displaystyle p\circ q}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}$

(下付き文字は に現れます。これはその数列の 番目の項であるためです。しかし には現れません。これは数列の項の 1 つではなく数列全体を指すためです)。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q}$

この操作の下では、すべてのシェファー列の集合は非アーベル群であるが、すべてのアペル列の集合はアーベル 部分群である。それがアーベルであることは、すべてのアペル列が次の形式であるという事実を考慮することでわかる。

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}$

そして、アペル数列の暗黒合成は、演算子におけるこれらの形式的な冪級数の乗算に対応する。 ${\displaystyle D}$

一部の著者が従う別の慣習（千原参照）では、この概念を別の方法で定義しているが、これはアペルの元の定義とは矛盾しており、

${\displaystyle {d \over dx}p_{n}(x)=p_{n-1}(x)}$

その代わり。

Appell 多項式の膨大なクラスは、一般化された超幾何関数によって得ることができます。

比 の配列を表すものとする${\displaystyle \Delta (k,-n)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle -{\frac {n}{k}},-{\frac {n-1}{k}},\ldots ,-{\frac {n-k+1}{k}},\quad n\in {\mathbb {N} }_{0},k\in \mathbb {N} .}$

多項式を考える ${\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)=x^{n}{}_{k+p}F_{q}\left({a_{1}},{a_{2}},\ldots ,{a_{p}},\Delta (k,-n);{b_{1}},{b_{2}},\ldots ,{b_{q}};{\frac {m}{x^{k}}}\right),\quad n,m\in \mathbb {N} _{0},k\in \mathbb {N} }$

ここで、一般化超幾何関数です。 ${\displaystyle {}_{k+p}F_{q}}$

定理。 多項式族は任意の自然パラメータに対するアペル列である。${\displaystyle \{A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)\}}$${\displaystyle a,b,p,q,m,k}$

たとえば、の場合、多項式はグールド・ホッパー多項式になり、 の場合はエルミート多項式になります。 ${\displaystyle p=0,q=0,}$ ${\displaystyle k=m,}$ ${\displaystyle m=(-1)^{k}h{k^{k}}}$${\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(m,x)}$${\displaystyle g_{n}^{m}(x,h)}$${\displaystyle p=0,q=0,m=-2,k=2}$${\displaystyle H_{n}(x)}$

• シェファーシーケンス
• 陰影計算
• 一般化されたアペル多項式
• ウィック製品

• ポール、アペル (1880)。 「多能性のクラス」。高等師範科学誌。 2eシリーズ。9 : 119–144。土井：10.24033/asens.186。
• ローマン、スティーブン; ロータ、ジャンカルロ( 1978)。「アンブラル計算」。数学の進歩。27 (2): 95–188。doi : 10.1016/0001-8708(78)90087-7。。
• Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D.; Odlyzko, Andrew (1973). 「有限演算子計算」.数学分析および応用ジャーナル. 42 (3): 685–760. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . 同じタイトルの本（Academic Press、ニューヨーク、1975年）に再版されました。
• スティーブン・ローマン。アンブラル計算。ドーバー出版。
• セオドア・セイオ・チハラ（1978年）。「直交多項式入門」ゴードン・アンド・ブリーチ、ニューヨーク。ISBN 978-0-677-04150-6。
• Bedratyuk, L.; Luno, N. (2020). 「一般化超幾何Appell多項式のいくつかの特性」. Carpathian Math. Publ . 12 (1): 129–137. arXiv : 2005.01676 . doi :10.15330/cmp.12.1.129-137.

• 「アペル多項式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• MathWorldでの Appell シーケンス