ハイパーファクタリアル

数学、より具体的には数論 において、正の整数 の超階乗は、からまでの形式の数の積です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle x^{x}}$${\displaystyle 1^{1}}$${\displaystyle n^{n}}$

正の整数の超階乗は、数 の積である。つまり、^{[1] [2]}空の積 の通常の慣例に従うと、0 の超階乗は 1 である。から始まる超階乗の列は次のようになる。^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle 1^{1},2^{2},\dots ,n^{n}}$ $${\displaystyle H(n)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot \cdots n^{n}=\prod _{i=1}^{n}i^{i}=n^{n}H(n-1).}$$${\displaystyle H(0)=1}$

超階乗は19世紀初頭にヘルマン・キンケリン^{[3] [4]}とジェームズ・ウィットブレッド・リー・グレイシャー^[5]によって研究されました。^{[4]キンケリンが示したように、}階乗がガンマ関数によって連続的に補間できるのと同様に、超階乗はK関数によって連続的に補間できます。^[3]

グレイシャーは、スターリングの階乗に対する 公式に類似した、超階乗に対する漸近公式を与えた。 ここで、はグレイシャー・キンケリン定数である。^{[2] [5]}$${\displaystyle H(n)=An^{(6n^{2}+6n+1)/12}e^{-n^{2}/4}\left(1+{\frac {1}{720n^{2}}}-{\frac {1433}{7257600n^{4}}}+\cdots \right)\!,}$$${\displaystyle A\approx 1.28243}$

素数を法とする階乗の振る舞いに関するウィルソンの定理の類似物によれば、 が奇数の素数 であるとき 、 は二重階乗の表記である。^[4] ${\displaystyle p}$$${\displaystyle H(p-1)\equiv (-1)^{(p-1)/2}(p-1)!!{\pmod {p}},}$$${\displaystyle !!}$

超階乗は、確率論的定式化においてエルミート多項式の判別式の列を与える。^[1]

• ワイスシュタイン、エリック W.、「ハイパーファクタリアル」、MathWorld