影計算

「影計算」という用語には、関連性はあるものの異なる2つの意味がある。

数学において、1970年代以前は、影計算とは、一見無関係な多項式方程式と、それらを証明するために用いられるある種の影の技法との間の驚くべき類似性を指していました。これらの技法は、1861年にジョン・ブリサールによって導入され、ブリサールの記号的方法と呼ばれることもあります。^{[ 1 ]}これらの技法は、この技法を広く用いたエドゥアール・リュカ（またはジェームズ・ジョセフ・シルベスター）に帰せられることが多いです。 ^{[ 2 ]}影の技法の使用は、1970年代から確固たる数学的基盤の上に築かれ、その結果として生まれた数学理論もまた「影計算」と呼ばれています。

1930年代から1940年代にかけて、エリック・テンプル・ベルは影計算を厳密な基礎の上に築こうと試みたが、この種の議論を論理的に厳密なものにしようとする彼の試み​​は成功しなかった。

組合せ論研究 者のジョン・リオルダンは、1960年代に出版した著書『組合せ論的恒等式』の中で、この種の手法を幅広く用いた。

1970年代、ジャン＝カルロ・ロタは、スティーブン・ローマンらとともに、多項式空間上の線形関数を用いて陰影計算を開発した。現在、陰影計算とは、二項式型の多項式列やアペル列を含むシェファー列の研究を指すが、有限差分計算の体系的な対応付け手法も包含する可能性がある。

この方法は、添え字を指数と見なすことで、添え字付きの数列を含む恒等式を導出するための記法的な手順である。文字通りに解釈すれば不合理だが、実際には有効である。陰影計算によって導出された恒等式は、論理的な困難なく文字通りに解釈できる、より複雑な方法によっても適切に導出できるからである。

一例として、ベルヌーイ多項式が挙げられます。例えば、通常の二項展開（二項係数を含む）を考えてみましょう。

${\displaystyle (y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{nk}x^{k}}$

そして、ベルヌーイ多項式に関する驚くほどよく似た関係式：

${\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}(y)x^{k}.}$

通常の微分も比較してください

$\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}$

ベルヌーイ多項式に関する非常によく似た関係式に置き換えると次のようになる。

$\displaystyle {\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x).}$

これらの類似性により、表面上は正しくないように見えるが、実際には機能するように見える陰影証明を構築することができる。例えば、添え字n − kを指数と見なすことで、次のようになる。  

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b^{nk}x^{k}=(b+x)^{n},}$

そして微分することで、目的の結果が得られる。

${\displaystyle B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).}$

上記において、変数bは「umbra」（ラテン語で影）である。

ファールハーバーの公式も参照してください。

微分積分学において、関数のテイラー級数は、ある一点における関数の導関数で表される項の無限和である。つまり、ある一点で解析的な、単一変数の実数値または複素数値関数f は、${\displaystyle a}$次のように書くことができます。

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(xa)^{n}}$

同様の関係は有限差分理論でも観察されている。テイラー級数の陰影版は、k次前方差分を含む同様の式で与えられる。${\displaystyle \Delta ^{k}[f]}$多項式関数fの、

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}(xa)_{k}}$

どこ

${\displaystyle (xa)_{k}=(xa)(xa-1)(xa-2)\cdots (xa-k+1)}$

ここで使用されているポッホハマー記号は、下降する逐次積を表します。同様の関係は、後方差分と上昇する階乗にも当てはまります。

この級数はニュートン級数、またはニュートンの前方差分展開とも呼ばれます。テイラー展開との類似性は、有限差分法において利用されます。

別の組合せ論学者であるジャン＝カルロ・ロタは、 zの多項式上の線形汎関数L を次のように定義すれば、謎は解消されると指摘した。

${\displaystyle L(z^{n})=B_{n}(0)=B_{n}.}$

次に、ベルヌーイ多項式の定義とLの定義および線形性を用いて、次のように書くことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left(z^{nk}\right)x^{k}\\&=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{nk}x^{k}\right)\\&=L\left((z+x)^{n}\right)\end{aligned}}}$

これにより、${\displaystyle B_{n}(x)}$による${\displaystyle L((z+x)^{n})}$つまり、nを下付き文字から上付き文字へ移動させる（陰影計算の重要な操作）。例えば、次のことが証明できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}(y)x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left((z+y)^{nk}\right)x^{k}\\&=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(z+y)^{nk}x^{k}\right)\\&=L\left((z+x+y)^{n}\right)\\&=B_{n}(x+y).\end{aligned}}}$

ロータは後に、このトピックで頻繁に現れる 3 つの同値関係を区別できなかったために多くの混乱が生じたと述べた。これらはすべて「="」で表されていた。

1964年に発表された論文で、ロータは影法を用いて、有限集合の分割を列挙するベル数が満たす漸化式を確立した。

以下に引用する Roman と Rota の論文では、影計算は影代数の研究として特徴づけられており、影代数は変数xの多項式のベクトル空間上の線形汎関数の代数として定義され、積L ₁ L ₂は次のように定義される線形汎関数です。

${\displaystyle \left\langle L_{1}L_{2}|x^{n}\right\rangle =\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\left\langle L_{1}|x^{k}\right\rangle \left\langle L_{2}|x^{nk}\right\rangle .}$

多項式列が線形写像Lの下でのy ⁿの像として数列を置き換える場合、影法は Rota の特殊多項式の一般理論の重要な構成要素であることがわかります。そして、その理論は、より現代的な定義によれば影計算です。 ^{[ 3 ]}その理論の小さな例は、二項式型の多項式列に関する記事で見つけることができます。もう 1 つは、 Sheffer 列というタイトルの記事です。

ロータは後にシェンとの論文で、キュムラントのさまざまな組み合わせ特性を研究するために、陰影計算を広範囲に適用した。^{[ 4 ]}

• ベルヌーイ影
• 多項式列の影の構成
• 有限差分法
• ピドック多項式
• 不変式理論における記号的方法
• 鳴海多項式

• Bell, ET (1938)、「ブリサールの記号的方法の歴史、および発明者の生涯の概略」、アメリカ数学月報、45 (7)、アメリカ数学協会、414–421、doi : 10.1080/00029890.1938.11990829、ISSN 0002-9890、JSTOR 2304144  
• Roman, Steven M.; Rota, Gian-Carlo (1978)、「陰影計算」、Advances in Mathematics、27 (2): 95–188、doi : 10.1016/0001-8708(78)90087-7、ISSN 0001-8708、MR 0485417  
• G.-C. Rota、D. Kahaner、A. Odlyzko、「有限作用素解析」、 Journal of Mathematical Analysis and its Applications、第42巻、第3号、1973年6月。同名の書籍に再録、Academic Press、ニューヨーク、1975年。
• ローマン、スティーブン（1984）「陰影計算」、純粋応用数学、第 111巻、ロンドン：アカデミック・プレス社［ハーコート・ブレイス・ジョバノビッチ出版社］、ISBN 978-0-12-594380-2MR 0741185​ ドーバー社より2005年に復刻。
• Roman, S. (2001) [1994]、「影計算」、数学百科事典、EMS Press

• ワイススタイン、エリック・W. 「影の微積分」 . MathWorld .
• A. Di Bucchianico、D. Loeb (2000)。「影計算の厳選された概説」(PDF)。電子組み合わせ論ジャーナル。動的概説。DS3 。 2012年2月24日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。
• ローマン、S. (1982)、影計算の理論、I