生成関数

数学において、生成関数は、無限の数列を形式的な冪級数の係数として表現したものです。生成関数は、形式的な級数に対する演算を含む何らかの式によって、級数としてではなく閉じた形式で表現されることがよくあります。

生成関数には、通常の生成関数、指数生成関数、ランバート級数、ベル級数、ディリクレ級数など、さまざまな種類があります。すべてのシーケンスには、原則として各タイプの生成関数がありますが (ランバート級数とディリクレ級数では、インデックスが 0 ではなく 1 から始まる必要がある点が異なります)、処理のしやすさは大きく異なる場合があります。特定のコンテキストで最も役立つ特定の生成関数 (ある場合) は、シーケンスの性質と対処する問題の詳細によって異なります。

生成関数は、項の級数がその項係数の列の生成元であると言えることから 、生成級数と呼ばれることもあります^{[1] 。}

生成関数は、一般線形回帰問題を解くために、1730年にアブラハム・ド・モアブルによって初めて導入されました。 ^[2]

ジョージ・ポリアは『数学ともっともらしい推論』の中でこう書いています。

「生成関数」という名前はラプラスに由来します。しかし、名前を付けることなく、オイラーはラプラスよりずっと前に生成関数という装置を使用していました[...]。彼はこの数学的なツールを組合せ解析と数論のいくつかの問題に適用しました。

生成関数は、バッグに似た装置です。たくさんの小さな物をバラバラに持ち運ぶのは恥ずかしいかもしれませんが、代わりに、それらをすべてバッグに入れれば、持ち運ぶ物はバッグだけになります。

— ジョージ・ポリア『数学ともっともらしい推論』（1954年）

生成関数は、表示用に一連の数字を吊るす物干しロープです。

— ハーバート・ウィルフ、生成機能学（1994）

通常の級数とは異なり、形式的な 冪級数は収束する必要はありません。実際、生成関数は実際には関数とは見なされず、「変数」は不定値のままです。複数の不定値における形式的な冪級数に一般化して、無限の多次元の数値配列に関する情報をエンコードすることができます。したがって、生成関数は、ドメインからコドメインへのマッピングという形式的な意味での関数ではありません。

不定値xに関するこれらの式には、 算術演算、 xに関する微分 、および他の生成関数との合成 (つまり、代入) が含まれる場合があります。これらの演算は関数に対しても定義されているため、結果は xの関数のように見えます。実際、閉じた形式の式は、 xの (十分に小さい) 具体的な値で評価でき、その級数展開として形式級数を持つ関数として解釈できることがよくあります。これが「生成関数」という呼称の理由です。ただし、このような解釈は可能である必要はありません。なぜなら、形式級数は、 xにゼロ以外の数値を代入したときに 収束級数を与える必要がないためです。

xの関数として意味のあるすべての式が 、形式級数を指定する式としても意味があるわけではありません。たとえば、  xの負の累乗と分数の累乗は、対応する形式級数を持たない関数の例です。

生成関数という用語が修飾語なしで使用される場合、それは通常、通常の生成関数を意味すると解釈されます。シーケンスa _nの通常の生成関数は次のとおりです。a n_が離散ランダム変数の確率質量関数である 場合、その通常の生成関数は確率生成関数と呼ばれます。 $${\displaystyle G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.}$$

数列a _nの指数生成関数は $${\displaystyle \operatorname {EG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

一般に、ラベル付きオブジェクトを含む組み合わせ列挙問題では、指数生成関数は通常の生成関数よりも便利です。 ^[3]

指数生成関数のもう一つの利点は、線形再帰関係を微分方程式の領域に移植する際に役立つことです。たとえば、線形再帰関係f _{n +2} = f _{n +1} + f _nを満たすフィボナッチ数列 { f _n }を考えます。対応する指数生成関数は次の形式になります。 $${\displaystyle \operatorname {EF} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}x^{n}}$$

そして、その導関数は、上記の再帰関係と直接類似して、微分方程式EF″( x ) = EF ′ ( x ) + EF( x )を満たすことが容易に示されます。この見方では、階乗項n ! は、x ⁿに作用する微分演算子を正規化するための単なるカウンター項です。

数列a _nのポアソン生成関数は $${\displaystyle \operatorname {PG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{-x}\,\operatorname {EG} (a_{n};x).}$$

数列a _nのランバート級数は、ランバート級数ではインデックスn は0 ではなく 1 から始まることに注意してください 。そうしないと、最初の項が未定義になります。 $${\displaystyle \operatorname {LG} (a_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}.}$$

整数n ≥ 1のべき級数展開におけるランバート級数の係数は、 約数の和によって関連付けられる。本稿では、数論における特殊算術関数に関連する、より古典的な、あるいは少なくともよく知られた例をいくつか提供する。本稿で示されていないランバート級数の恒等式の例として、| x |、| xq | < 1に対して、次が成り立つことを示すことができる^[4]。$${\displaystyle b_{n}:=[x^{n}]\operatorname {LG} (a_{n};x)}$$ $${\displaystyle b_{n}=\sum _{d|n}a_{d}.}$$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}x^{n^{2}}}{1-qx^{n}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}x^{n(n+1)}}{1-x^{n}}},}$$

ここで、除数関数の生成関数の特別な場合の恒等式は、d ( n ) ≡ σ ₀ ( n )で、次のように与えられる。$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n^{2}}\left(1+x^{n}\right)}{1-x^{n}}}.}$$

数列a _nのベル級数は不定数xと素数pの両方を用いた表現であり、次のように与えられる: ^[5] $${\displaystyle \operatorname {BG} _{p}(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{p^{n}}x^{n}.}$$

形式的ディリクレ級数は厳密には形式的冪級数ではないが、しばしば生成関数として分類される。数列a _nのディリクレ級数生成関数は次のようになる: ^[6] $${\displaystyle \operatorname {DG} (a_{n};s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$$

ディリクレ級数生成関数は、_nが乗法関数である場合に特に有用であり、その場合には関数のベル級数に関して オイラー積表現^{[7]を持つ。}$${\displaystyle \operatorname {DG} (a_{n};s)=\prod _{p}\operatorname {BG} _{p}(a_{n};p^{-s})\,.}$$

もしn_がディリクレ指標ならば、そのディリクレ級数生成関数はディリクレL級数と呼ばれる。また、上記のランベルト級数展開の係数のペアとそのDGFの間には関係がある。すなわち、次の式が成り立つことを証明できる。 もし成り立つならば、そしてその場合に限る。 ここでζ ( s )はリーマンゼータ関数である。^[8]$${\displaystyle [x^{n}]\operatorname {LG} (a_{n};x)=b_{n}}$$$${\displaystyle \operatorname {DG} (a_{n};s)\zeta (s)=\operatorname {DG} (b_{n};s),}$$

ディリクレ級数生成関数 (DGF)によって生成されるシーケンスa _kは、次の通常の生成関数を持ちます。$${\displaystyle \operatorname {DG} (a_{k};s)=\zeta (s)^{m}}$$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{k=n}a_{k}x^{k}=x+{\binom {m}{1}}\sum _{2\leq a\leq n}x^{a}+{\binom {m}{2}}{\underset {ab\leq n}{\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }}}x^{ab}+{\binom {m}{3}}{\underset {abc\leq n}{\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }}}x^{abc}+{\binom {m}{4}}{\underset {abcd\leq n}{\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }}}x^{abcd}+\cdots }$$

生成関数の考え方は、他のオブジェクトのシーケンスに拡張できます。したがって、たとえば、二項式の多項式シーケンスは次のように生成されます。 ここで、p _n ( x )は多項式のシーケンス、f ( t )は特定の形式の関数です。シェファー シーケンスも同様の方法で生成されます。詳細については、 メインの記事「一般化された Appell 多項式」を参照してください。$${\displaystyle e^{xf(t)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}}$$

より複雑な生成関数によって生成される多項式シーケンスの例には次のものがあります。

• アペル多項式
• チェビシェフ多項式
• 差分多項式
• 一般化されたアペル多項式
• q差分多項式

より複雑な生成関数によって生成される他のシーケンスには次のものがあります。

• 二重指数関数生成関数。例: Aitken の配列: 数の三角形
• 生成関数と対角生成関数のアダマール積、およびそれに対応する積分変換

クヌースの論文「畳み込み多項式」^[9]は、 F (0)=1となるべき級数展開を持つ 解析関数Fの形式の特殊生成関数によって 畳み込み多項式列の一般化されたクラスを定義している。 $${\displaystyle F(z)^{x}=\exp {\bigl (}x\log F(z){\bigr )}=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)z^{n},}$$

deg f _n ≤ nであり、すべてのx、yおよびすべてのn ≥ 0に対して 次の畳み込み条件が成り立つ場合、多項式族f ₀、f ₁、f ₂、...は畳み込み族を形成すると言います。 $${\displaystyle f_{n}(x+y)=f_{n}(x)f_{0}(y)+f_{n-1}(x)f_{1}(y)+\cdots +f_{1}(x)f_{n-1}(y)+f_{0}(x)f_{n}(y).}$$

非同一ゼロ畳み込み族の場合、この定義は、シーケンスが上記で示した最初の形式の通常の生成関数を持つことを要求することと同等であることがわかります。

上記の表記法で定義された畳み込み多項式のシーケンスには、次の特性があります。

• 数列n ! · f _n ( x )は二項式型である
• この数列の特別な値には、f _n (1) = [ z ⁿ ] F ( z )とf _n (0) = δ _{n ,0}があり、
• 任意の（固定された） に対して、これらの多項式は次のような畳み込み公式を満たす。${\displaystyle x,y,t\in \mathbb {C} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)f_{n-k}(y)\\f_{n}(2x)&=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)f_{n-k}(x)\\xnf_{n}(x+y)&=(x+y)\sum _{k=0}^{n}kf_{k}(x)f_{n-k}(y)\\{\frac {(x+y)f_{n}(x+y+tn)}{x+y+tn}}&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {xf_{k}(x+tk)}{x+tk}}{\frac {yf_{n-k}(y+t(n-k))}{y+t(n-k)}}.\end{aligned}}}$$

固定された非ゼロパラメータ に対して、これらの畳み込み多項式列に対する生成関数は次のように修正される。 ここで𝓕 _t ( z )は、 𝓕 _t ( z ) = F ( x 𝓕 _t ( z ) ^t )という形式の関数方程式によって暗黙的に定義される。さらに、行列法（参考文献にあるように）を使用して、2つの畳み込み多項式列⟨ f _n ( x ) ⟩と⟨ g _n ( x ) ⟩が与えられ、それぞれ対応する生成関数F ( z ) ^xとG ( z ) ^{x が}ある場合、任意のtに対して次の恒等式が成り立つことを証明できる。 ${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$$${\displaystyle {\frac {zF_{n}(x+tn)}{(x+tn)}}=\left[z^{n}\right]{\mathcal {F}}_{t}(z)^{x},}$$$${\displaystyle \left[z^{n}\right]\left(G(z)F\left(zG(z)^{t}\right)\right)^{x}=\sum _{k=0}^{n}F_{k}(x)G_{n-k}(x+tk).}$$

畳み込み多項式シーケンスの例には、二項べき級数、𝓑 _t ( z ) = 1 + z 𝓑 _t ( z ) ^t、いわゆるツリー多項式、ベル数、B ( n )、ラゲール多項式、スターリング畳み込み多項式などがあります。

多項式は、通常の生成関数の特殊なケースであり、有限シーケンス、または同等に、特定のポイントの後に消えるシーケンスに対応します。これらは、多くの有限シーケンスがポアンカレ多項式などの生成関数として有用に解釈できるという点で重要です。

基本的な生成関数は定数列1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...の関数であり、その通常の生成関数は等比級数である。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}.}$$

左辺は右辺のマクローリン級数展開です。あるいは、左辺のべき級数に1 − xを掛けて、結果が定数べき級数 1 であることを確認することで等式を正当化できます (言い換えると、x ⁰の係数を除くすべての係数が 0 に等しい)。さらに、この特性を持つ他のべき級数は存在しません。したがって、左辺は、べき級数の環における 1 − xの逆乗を表します。

他の数列の通常の生成関数の式は、この式から簡単に導き出せます。例えば、x → axと代入すると、定数aに対して等比数列 1、a、a ²、a ³、...の生成関数が得られます。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(ax)^{n}={\frac {1}{1-ax}}.}$$

（この等式は、左辺が右辺のマクローリン級数展開であるという事実からも直接導かれる。）特に、 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}={\frac {1}{1+x}}.}$$

x をxのべき乗に置き換えることで、シーケンスに規則的なギャップを導入することもできます。たとえば、シーケンス1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... ( x、x ³、x ⁵、 ...をスキップします) の場合、生成関数は次のようになります。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{2n}={\frac {1}{1-x^{2}}}.}$$

初期生成関数を2乗するか、両辺のxに関する微分を求め、実行変数nをn + 1に変更すると、係数が1、2、3、4、5、...という数列を形成することがわかります。したがって、 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^{n}={\frac {1}{(1-x)^{2}}},}$$

そして、3乗は1、3、6、10、15、21、…の三角数 を係数とし、その項nは二項係数（ ^{2 + 2}
₂）、 となることによって $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n+2}{2}}x^{n}={\frac {1}{(1-x)^{3}}}.}$$

より一般的には、任意の非負整数kと非ゼロ実数値aに対して、 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a^{n}{\binom {n+k}{k}}x^{n}={\frac {1}{(1-ax)^{k+1}}}\,.}$$

以来 $${\displaystyle 2{\binom {n+2}{2}}-3{\binom {n+1}{1}}+{\binom {n}{0}}=2{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}-3(n+1)+1=n^{2},}$$

二項係数生成列の線形結合によって、 平方数列0、1、4、9、16、...の通常の生成関数を見つけることができます。$${\displaystyle G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {2}{(1-x)^{3}}}-{\frac {3}{(1-x)^{2}}}+{\frac {1}{1-x}}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.}$$

交互に拡張して、同じ平方数のシーケンスを次の形式の 等比級数の導関数の合計として生成することもできます。$${\displaystyle {\begin{aligned}G(n^{2};x)&=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}\\[4px]&=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }nx^{n}\\[4px]&=x^{2}D^{2}\left[{\frac {1}{1-x}}\right]+xD\left[{\frac {1}{1-x}}\right]\\[4px]&={\frac {2x^{2}}{(1-x)^{3}}}+{\frac {x}{(1-x)^{2}}}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.\end{aligned}}}$$

帰納法により、正の整数m ≥ 1についても同様に証明できる^{[10] [11]} $${\displaystyle n^{m}=\sum _{j=0}^{m}{\begin{Bmatrix}m\\j\end{Bmatrix}}{\frac {n!}{(n-j)!}},}$$

どこ{^nk
_​} は第二種スターリング数を表し、生成関数は $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{(n-j)!}}\,z^{n}={\frac {j!\cdot z^{j}}{(1-z)^{j+1}}},}$$

すると、上記の平方根の場合の結果を一般化した、 積分m乗上の類似の生成関数を形成することができる。特に、次のように書くことができる。$${\displaystyle {\frac {z^{k}}{(1-z)^{k+1}}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}{\frac {(-1)^{k-i}}{(1-z)^{i+1}}},}$$

スターリング数を含むよく知られた有限和恒等式を適用して、^[12] $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n^{m}z^{n}=\sum _{j=0}^{m}{\begin{Bmatrix}m+1\\j+1\end{Bmatrix}}{\frac {(-1)^{m-j}j!}{(1-z)^{j+1}}}.}$$

数列の通常の生成関数は、数列が定数係数の線形再帰数列である場合に限り、有理関数（2 つの有限次多項式の比）として表現できます。これは上記の例を一般化したものです。逆に、多項式の分数によって生成されるすべての数列は、定数係数の線形再帰を満たします。これらの係数は、分数分母多項式の係数と同一です（したがって、直接読み取ることができます）。この観察は、定数係数の線形差分方程式によって定義される数列の生成関数を解くことが容易であり、したがって、これらの生成関数の係数の明示的な閉じた形式の式を解くことが容易であることを示しています。ここでの典型的な例は、生成関数の手法を使用して フィボナッチ数列のビネの公式を導出することです。

また、有理数生成関数のクラスは、次の形式の準多項式列を列挙する生成関数と正確に対応していることにも気づく^[13]。 $${\displaystyle f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{\ell }(n)\rho _{\ell }^{n},}$$

ここで、逆根、は固定されたスカラーであり、p _i ( n )はすべての1 ≤ i ≤ ℓに対してnの多項式です。 ${\displaystyle \rho _{i}\in \mathbb {C} }$

一般に、有理関数のアダマール積は有理関数を生成する。同様に、 $${\displaystyle F(s,t):=\sum _{m,n\geq 0}f(m,n)w^{m}z^{n}}$$

が2変量有理数生成関数である場合、対応する対角生成関数は、 $${\displaystyle \operatorname {diag} (F):=\sum _{n=0}^{\infty }f(n,n)z^{n},}$$

は代数的である。例えば、^[14] $${\displaystyle F(s,t):=\sum _{i,j\geq 0}{\binom {i+j}{i}}s^{i}t^{j}={\frac {1}{1-s-t}},}$$

この生成関数の対角係数生成関数は、よく知られているOGF式で与えられる。 $${\displaystyle \operatorname {diag} (F)=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}z^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}}.}$$

この結果は、コーシーの積分公式や輪郭積分、複素留数の取得、 2 つの変数の形式的なべき級数の直接操作など、さまざまな方法で計算されます。

通常の生成関数の乗算は、シーケンスの離散畳み込み（コーシー積）を生成します。たとえば、通常の生成関数G ( a _n ; x ) を持つシーケンスの累積和のシーケンス（やや一般的なオイラー・マクローリンの公式と比較してください） には、生成関数があります 。 これは、 ⁠$${\displaystyle (a_{0},a_{0}+a_{1},a_{0}+a_{1}+a_{2},\ldots )}$$$${\displaystyle G(a_{n};x)\cdot {\frac {1}{1-x}}}$$1/1 − x⁠ は、シーケンス(1, 1, ...)の通常の生成関数です。生成関数の畳み込みと解釈による問題解決のさらなる例については、この記事の以下のアプリケーションセクションの畳み込みに関するセクションも参照してください。

整数m ≥ 1に対して、 ⟨ g _{n − m} ⟩と⟨ g _{n + m} ⟩のシフトされたシーケンスバリアントを列挙する修正生成関数に対して、それぞれ次の2つの類似した恒等式が存在します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&z^{m}G(z)=\sum _{n=m}^{\infty }g_{n-m}z^{n}\\[4px]&{\frac {G(z)-g_{0}-g_{1}z-\cdots -g_{m-1}z^{m-1}}{z^{m}}}=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n+m}z^{n}.\end{aligned}}}$$

生成関数の一次導関数とその積分には、それぞれ次のべき級数展開があります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}G'(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)g_{n+1}z^{n}\\[4px]z\cdot G'(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }ng_{n}z^{n}\\[4px]\int _{0}^{z}G(t)\,dt&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g_{n-1}}{n}}z^{n}.\end{aligned}}}$$

2 番目の恒等式の微分乗算演算をk回繰り返して、シーケンスをn ^k倍にすることができますが、そのためには微分と乗算を交互に行う必要があります。代わりにk 回の微分を順番に実行すると、 k番目の下降階乗を乗算することになります。 $${\displaystyle z^{k}G^{(k)}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{\underline {k}}g_{n}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)\dotsb (n-k+1)g_{n}z^{n}\quad {\text{for all }}k\in \mathbb {N} .}$$

第二種スターリング数を使用すると、次のように を掛ける別の式に変換できます(生成関数変換に関するメイン記事を参照)。 ${\displaystyle n^{k}}$$${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}}z^{j}F^{(j)}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{k}f_{n}z^{n}\quad {\text{for all }}k\in \mathbb {N} .}$$

繰り返し積分の操作に対応するこの数列のべき乗の公式の負の順序の反転は、ゼータ級数変換と、生成関数の微分ベースの変換として定義されるその一般化によって定義されます。または、代わりに項ごとに、および数列生成関数に対して積分変換を実行することによって定義されます。数列生成関数に対して分数積分を実行する関連操作については、ここで説明します。

このセクションでは、通常の生成関数F ( z )が与えられたときに、シーケンス{ f _{an + b} }を列挙する生成関数の公式を示します。ここで、a ≥ 2、0 ≤ b < a、aとbは整数です (変換に関するメインの記事を参照)。a = 2の場合、これは単に関数を偶数部分と奇数部分(つまり、偶数と奇数の累乗) に分解するだけです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }f_{2n}z^{2n}&={\frac {F(z)+F(-z)}{2}}\\[4px]\sum _{n=0}^{\infty }f_{2n+1}z^{2n+1}&={\frac {F(z)-F(-z)}{2}}.\end{aligned}}}$$

より一般的には、 a ≥ 3かつω _a = exp ⁠と仮定する。2πi​/1つの⁠ は1 のa番目の原始根を表します。離散フーリエ変換の応用として、次の式が得られます^[15] $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{an+b}z^{an+b}={\frac {1}{a}}\sum _{m=0}^{a-1}\omega _{a}^{-mb}F\left(\omega _{a}^{m}z\right).}$$

整数m ≥ 1の場合、逆の床付き等差数列（各係数をm回繰り返す）を提供する別の便利な式は、次の恒等式によって生成される^[16]。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor }z^{n}={\frac {1-z^{m}}{1-z}}F(z^{m})=\left(1+z+\cdots +z^{m-2}+z^{m-1}\right)F(z^{m}).}$$

形式的な冪級数（または関数）F ( z )は、次の形式の線型微分方程式を満たすとき、ホロノミックであると言われる^[17]。 $${\displaystyle c_{0}(z)F^{(r)}(z)+c_{1}(z)F^{(r-1)}(z)+\cdots +c_{r}(z)F(z)=0,}$$

ここで係数c _i ( z ) は有理関数の体にあります。同様に、その導関数全体の張るベクトル空間が有限次元である場合、 はホロノミックです。 ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$${\displaystyle F(z)}$${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$

前の式では必要に応じて分母を消去できるので、関数c _i ( z ) はzの多項式であると仮定できます。したがって、係数が次の形式の P再帰を満たす場合、生成関数がホロノミックであるという同等の条件を見ることができます。$${\displaystyle {\widehat {c}}_{s}(n)f_{n+s}+{\widehat {c}}_{s-1}(n)f_{n+s-1}+\cdots +{\widehat {c}}_{0}(n)f_{n}=0,}$$

十分に大きいn ≥ n ₀に対して成り立ち、ĉ _i ( n )はn内の固定された有限次多項式です。言い換えれば、シーケンスがP再帰的であることとホロノミック生成関数を持つことは同値です。ホロノミック関数は、生成関数上のアダマール積演算⊙に関して閉じています。

関数e ^z、log z、cos z、arcsin z、、二重対数関数Li ₂ ( z )、一般化された超幾何関数_p F _q (...; ...; z ) 、およびべき級数によって定義される関数 ${\displaystyle {\sqrt {1+z}}}$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n!)^{2}}}}$$

そして非収束的な $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n!\cdot z^{n}}$$

すべてホロノミックです。

ホロノミック生成関数を持つP再帰列の例としては、f _n ≔ ⁠ などが挙げられる。1/1 + 1です⁠ （^{2 n}
_n)かつf _n ≔ ⁠2^位/² + 1です⁠ 、ここで、およびlog nなどのシーケンスは、対応する生成関数の特異点の性質によりP再帰的ではありません。同様に、 tan z、 sec z、およびΓ( z )などの無限個の特異点を持つ関数はホロノミック関数 はありません。${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

MathematicaでP再帰シーケンスを処理して操作するためのツールには、RISC Combinatorics Group アルゴリズム組合せ論ソフトウェアサイトで非商用利用向けに提供されているソフトウェアパッケージが含まれます。ほとんどがクローズドソースであるにもかかわらず、このソフトウェアスイートの特に強力なツールは、任意の入力シーケンスのP再帰を推測するためのパッケージ(実験数学と探究に便利) と、多くの合計の P 再帰を見つけ、一般化調和数を含むP再帰の閉じた形式の解を解くことができるパッケージによって提供されます。^[18]この特定の RISC サイトにリストされている他のパッケージは、特に ホロノミック生成関数を扱うことを目的としています。GuessSigma

級数が絶対収束する場合、 は数列a ₀、a ₁、 ...の離散時間フーリエ変換です。 $${\displaystyle G\left(a_{n};e^{-i\omega }\right)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-i\omega n}}$$

微積分学では、冪級数の係数の成長率を使用して、冪級数の収束半径を推測できることがよくあります。逆もまた成り立ち、生成関数の収束半径を使用して、基礎となる数列の漸近的成長を推測できることがよくあります。

例えば、有限の収束半径rを持つ通常の生成関数G ( a _n ; x )は次のように表すことができます。 $${\displaystyle G(a_{n};x)={\frac {A(x)+B(x)\left(1-{\frac {x}{r}}\right)^{-\beta }}{x^{\alpha }}}}$$

ここで、 A ( x )とB ( x )はそれぞれ、収束半径がrより大きい（または完全な）関数であり、B ( r ) ≠ 0の場合には 、ガンマ関数、二項係数、または多重集合係数を 使用します。n が無限大に近づくにつれて、これらの式のいずれに対するa nの比の極限は1 になることが保証されます。単にa _nがこれらの式に比例する だけではありません。$${\displaystyle a_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}{\binom {n+\beta -1}{n}}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}={\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}\left(\!\!{\binom {\beta }{n}}\!\!\right)\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}\,,}$$

このアプローチは、多くの場合、 n_の漸近級数の複数の項を生成するために反復される。特に、 $${\displaystyle G\left(a_{n}-{\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}{\binom {n+\beta -1}{n}}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n};x\right)=G(a_{n};x)-{\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}\left(1-{\frac {x}{r}}\right)^{-\beta }\,.}$$

この生成関数の係数の漸近的増加は、上記のように生成関数を記述するための A、B、α、β、およびr を見つけることによって求めることができます。

同様の漸近解析は指数生成関数に対しても可能であり、指数生成関数の場合、それは⁠な_​/ん！⁠は、これらの漸近公式に従って成長します。一般に、1 つのシーケンスの生成関数から 2 番目のシーケンスの生成関数を引いた収束半径が、個々の生成関数の収束半径よりも大きい場合、2 つのシーケンスは同じ漸近成長を持ちます。

上記で導出されたように、平方数列の通常の生成関数は次のようになります。 $${\displaystyle G(n^{2};x)={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.}$$

r = 1、α = −1、β = 3、A ( x ) = 0、B ( x ) = x + 1とすると、正方形が予想どおりに大きくなることが確認できます。 $${\displaystyle a_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}={\frac {1+1}{1^{-1}\,\Gamma (3)}}\,n^{3-1}\left({\frac {1}{1}}\right)^{n}=n^{2}.}$$

カタラン数の通常の生成関数は $${\displaystyle G(C_{n};x)={\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}.}$$

r = ⁠の場合1/4⁠、 α = 1、 β = − ⁠1/2⁠、 A ( x ) = ⁠1/2⁠、そしてB ( x ) = − ⁠1/2⁠、カタロニア語の数字については次のように結論付けることができます。 $${\displaystyle C_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}={\frac {-{\frac {1}{2}}}{\left({\frac {1}{4}}\right)^{1}\Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)}}\,n^{-{\frac {1}{2}}-1}\left({\frac {1}{\,{\frac {1}{4}}\,}}\right)^{n}={\frac {4^{n}}{n^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\pi }}}}.}$$

複数の変数における生成関数は、複数のインデックスを持つ配列に一般化できます。これらの非多項式の二重和の例は、多変量生成関数またはスーパー生成関数と呼ばれます。2 つの変数の場合、これらはしばしば2 変量生成関数と呼ばれます。

2次元配列a _{m , n}（ここでnとmは自然数）の通常の生成関数は次のようになります。 たとえば、(1 + x ) ^{n は}固定されたnに対する二項係数の通常の生成関数であるため、二項係数を生成する2変量生成関数を求めることができます（$${\displaystyle G(a_{m,n};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }a_{m,n}x^{m}y^{n}.}$$^nk
_​) がすべてのkとnに対して成り立つ。これを行うには、 (1 + x ) ⁿ自体をn内のシーケンスとして考え、これらのシーケンス値を係数として持つy内の生成関数を見つけます。 nの生成関数は次のようになるため^、二 項係数の生成関数は次のようになります。 その他の例としては、二項係数、スターリング数、オイラー数に対する次の 2 変数生成関数があります。ここで、 ωとz は2 つの変数を表します。 ^[19]$${\displaystyle {\frac {1}{1-ay}},}$$$${\displaystyle \sum _{n,k}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-(1+x)y}}={\frac {1}{1-y-xy}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{z+wz}&=\sum _{m,n\geq 0}{\binom {n}{m}}w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\[4px]e^{w(e^{z}-1)}&=\sum _{m,n\geq 0}{\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}}w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\[4px]{\frac {1}{(1-z)^{w}}}&=\sum _{m,n\geq 0}{\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\[4px]{\frac {1-w}{e^{(w-1)z}-w}}&=\sum _{m,n\geq 0}\left\langle {\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\rangle w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\[4px]{\frac {e^{w}-e^{z}}{we^{z}-ze^{w}}}&=\sum _{m,n\geq 0}\left\langle {\begin{matrix}m+n+1\\m\end{matrix}}\right\rangle {\frac {w^{m}z^{n}}{(m+n+1)!}}.\end{aligned}}}$$

多変量生成関数は、実際には、指定された行と列の合計を持つ非負整数の分割表の数を計算するときに発生します。表にr行とc列があるとします。行の合計はt ₁、t ₂ ... t _rで、列の合計はs ₁、s ₂ ... s _cです。IJ Goodによると、^[20]このような表の数は、次の係数です 。$${\displaystyle x_{1}^{t_{1}}\cdots x_{r}^{t_{r}}y_{1}^{s_{1}}\cdots y_{c}^{s_{c}}}$$$${\displaystyle \prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{c}{\frac {1}{1-x_{i}y_{j}}}.}$$

h次の有理数収束が2 h次精度のべき級数を表す(形式的な)ヤコビ型連分数(それぞれJ分数とS分数)とスティルチェス型 連分数の展開は、多くの特殊な 1 変数および 2 変数シーケンスの典型的に発散する通常の生成関数を表現する別の方法です。ヤコビ型連分数 ( J分数) の特定の形式は、次の式のように展開され、特定のアプリケーション依存のコンポーネント シーケンス{ab _i }と{ c _i }について、 zに関する次の対応するべき級数展開を持ちます。ここで、z ≠ 0は、以下に示す 2 番目のべき級数展開の形式的な変数を表します。^[21] $${\displaystyle {\begin{aligned}J^{[\infty ]}(z)&={\cfrac {1}{1-c_{1}z-{\cfrac {{\text{ab}}_{2}z^{2}}{1-c_{2}z-{\cfrac {{\text{ab}}_{3}z^{2}}{\ddots }}}}}}\\[4px]&=1+c_{1}z+\left({\text{ab}}_{2}+c_{1}^{2}\right)z^{2}+\left(2{\text{ab}}_{2}c_{1}+c_{1}^{3}+{\text{ab}}_{2}c_{2}\right)z^{3}+\cdots \end{aligned}}}$$

前の式でj _n ≔ [ z ⁿ ] J ^[∞] ( z )と略記されたの係数は、次の式の行列解に対応する。 ${\displaystyle z^{n}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}k_{0,1}&k_{1,1}&0&0&\cdots \\k_{0,2}&k_{1,2}&k_{2,2}&0&\cdots \\k_{0,3}&k_{1,3}&k_{2,3}&k_{3,3}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{0,0}&0&0&0&\cdots \\k_{0,1}&k_{1,1}&0&0&\cdots \\k_{0,2}&k_{1,2}&k_{2,2}&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}c_{1}&1&0&0&\cdots \\{\text{ab}}_{2}&c_{2}&1&0&\cdots \\0&{\text{ab}}_{3}&c_{3}&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}},}$$

ここで、j ₀ ≡ k _0,0 = 1、j _n = k _{0, n} ( n ≥ 1 )、k _{r , s} = 0 ( r > sの場合)、すべての整数p、q ≥ 0に対して、次の加法関係式が成り立ちます。 $${\displaystyle j_{p+q}=k_{0,p}\cdot k_{0,q}+\sum _{i=1}^{\min(p,q)}{\text{ab}}_{2}\cdots {\text{ab}}_{i+1}\times k_{i,p}\cdot k_{i,q}.}$$

h ≥ 0の場合（実際にはh ≥ 2 の場合）、無限J分数J ^[∞] ( z )に収束する有理数h を次のように定義できます。 $${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(z):={\frac {P_{h}(z)}{Q_{h}(z)}}=j_{0}+j_{1}z+\cdots +j_{2h-1}z^{2h-1}+\sum _{n=2h}^{\infty }{\widetilde {j}}_{h,n}z^{n}}$$

次のように再帰的に定義されるシーケンスP _h ( z )とQ _h ( z )を成分ごとに調べる: $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{h}(z)&=(1-c_{h}z)P_{h-1}(z)-{\text{ab}}_{h}z^{2}P_{h-2}(z)+\delta _{h,1}\\Q_{h}(z)&=(1-c_{h}z)Q_{h-1}(z)-{\text{ab}}_{h}z^{2}Q_{h-2}(z)+(1-c_{1}z)\delta _{h,1}+\delta _{0,1}.\end{aligned}}}$$

さらに、すべてのh ≥ 2に対して収束関数Conv _h ( z )が有理的であることは、 j _nのシーケンスが満たす追加の差分方程式と合同性を意味し、 M h _≔ ab ₂ ⋯ ab _{h + 1}の場合、h ‖ M _hであれば、合同性が得られます。 $${\displaystyle j_{n}\equiv [z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}(z){\pmod {h}},}$$

h ≥ 2の場合、つまり、以下の表の例のように、これらのシーケンスがq、x、Rなどの補助パラメータに暗黙的に依存しない場合、パラメータシーケンス{ab _i }と{ c _i }の非記号的で確定的な選択。

次の表は、最初のサブセクションで定義したJ分数の一般的な展開によって生成された所定のシーケンスj _nのいくつかの特殊なケースで計算によって見つかった（そして後に引用文献^{[22]で正しいことが証明された）成分シーケンスの閉じた形式の式の例を示しています。ここでは、} 0 < | a |、| b |、| q | < 1と定義し、パラメーターとx はこれらの展開に関して不定であるとします。ここで、これらのJ分数の展開によって列挙された所定のシーケンスは、 q -ポッホハマー記号、ポッホハマー記号、および二項係数で定義されます。 ${\displaystyle R,\alpha \in \mathbb {Z} ^{+}}$

上記のヤコビ型J分数の定義に対応するこれらの級数の収束半径は、一般に、これらの数列の通常の生成関数を定義する対応するべき級数展開の収束半径とは異なります。

平方数列 a _n = n ²の生成関数は次のとおりです。

ここでζ ( s)はリーマンゼータ関数である。

生成関数は次の目的で使用されます。

• フィボナッチ数列などの再帰関係で与えられた数列の閉じた式を見つけます。
• シーケンスの再帰関係を見つけます。生成関数の形式から再帰式が推測される場合があります。
• シーケンス間の関係を見つけます。2 つのシーケンスの生成関数が類似した形式である場合、シーケンス自体が関連している可能性があります。
• シーケンスの漸近的な動作を調べます。
• シーケンスを含む同一性を証明します。
• 組合せ論における列挙問題を解き、その解をエンコードします。ルーク多項式は組合せ論の応用例です。
• 無限和を評価します。

生成関数は、合計を操作したり、合計間の同一性を確立したりするためのいくつかの方法を提供します。

最も単純なケースはs _n = Σのときである。^nk
_{= 0 です} a _k。すると、 S ( z ) = ⁠あ(ず)/1 − z⁠対応する通常の生成関数の場合。

例えば、 H _k = 1 + ⁠ を操作できる。$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}\,,}$$1/2⁠ + ⋯ + ⁠1/け⁠ は調和数です。 を調和数の通常の生成関数とします。すると 、 $${\displaystyle H(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{H_{n}z^{n}}}$$$${\displaystyle H(z)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}\,,}$$$${\displaystyle S(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{s_{n}z^{n}}={\frac {1}{(1-z)^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}\,.}$$

分子との畳み込みを 使うと 、次のようにも書ける。 $${\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)z^{n}\,,}$$$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n+1-k}{k}}=(n+1)H_{n}-n\,,}$$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{H_{k}}=(n+1)(H_{n+1}-1)\,.}$$

生成関数を使用してシーケンスを関連付け、合計を操作する別の例として、任意のシーケンス⟨ f _n ⟩に対して、 すべてのn ≥ 0に対して2 つの合計シーケンスを定義し 、2 番目の合計を最初の合計で表現しようとします。生成関数によるアプローチを提案します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{n}&:=\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}f_{m}3^{n-m}\\[4px]{\tilde {s}}_{n}&:=\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(m+1)(m+2)(m+3)f_{m}3^{n-m}\,,\end{aligned}}}$$

まず、二項変換を使用して、最初の合計の生成関数を次のように書きます。 $${\displaystyle S(z)={\frac {1}{1-3z}}F\left({\frac {z}{1-3z}}\right).}$$

数列⟨ ( n + 1)( n + 2)( n + 3) f _n ⟩の生成関数は次のように表される ので 、上で定義した2番目の和の生成関数は次の形式で表すことができる。 $${\displaystyle 6F(z)+18zF'(z)+9z^{2}F''(z)+z^{3}F'''(z)}$$$${\displaystyle {\tilde {S}}(z)={\frac {6}{(1-3z)}}F\left({\frac {z}{1-3z}}\right)+{\frac {18z}{(1-3z)^{2}}}F'\left({\frac {z}{1-3z}}\right)+{\frac {9z^{2}}{(1-3z)^{3}}}F''\left({\frac {z}{1-3z}}\right)+{\frac {z^{3}}{(1-3z)^{4}}}F'''\left({\frac {z}{1-3z}}\right).}$$

特に、この修正和生成関数は、 a ( z ) = 6(1 − 3 z ) ³、b ( z ) = 18(1 − 3 z ) ³、c ( z ) = 9(1 − 3 z ) ³、およびd ( z ) = (1 − 3 z ) ³（ただし、(1 − 3 z ) ³ = 1 − 9 z + 27 z ² − 27 z ³ ）の形式で表記できます。 $${\displaystyle a(z)\cdot S(z)+b(z)\cdot zS'(z)+c(z)\cdot z^{2}S''(z)+d(z)\cdot z^{3}S'''(z),}$$

最後に、2 番目の合計から 1 番目の合計までを次の形式で表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {s}}_{n}&=[z^{n}]\left(6(1-3z)^{3}\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}z^{n}+18(1-3z)^{3}\sum _{n=0}^{\infty }ns_{n}z^{n}+9(1-3z)^{3}\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)s_{n}z^{n}+(1-3z)^{3}\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)(n-2)s_{n}z^{n}\right)\\[4px]&=(n+1)(n+2)(n+3)s_{n}-9n(n+1)(n+2)s_{n-1}+27(n-1)n(n+1)s_{n-2}-(n-2)(n-1)ns_{n-3}.\end{aligned}}}$$

この例では、 Concrete Mathematicsのセクション 7.3 に示されている生成関数の例を再定式化します(生成関数のシリーズのきれいな図については、同じ参考文献のセクション 7.1 も参照)。特に、3 x n の長方形にマークされていない 2 x 1 のドミノ ピースを並べる方法の総数 ( U _nで表記) を求めるものとします。補助シーケンスV _nを、完全な長方形の 3 x nの長方形から角を除いた部分を覆う方法の数として定義します。これらの定義を使用して、垂直ドミノと水平ドミノの場合を処理するためにこの定義をさらに細分化することなく、 U _nの閉じた形式の式を示します。2 つのシーケンスの通常の生成関数は、次のシリーズに対応していることに注意してください。 $${\displaystyle {\begin{aligned}U(z)=1+3z^{2}+11z^{4}+41z^{6}+\cdots ,\\V(z)=z+4z^{3}+15z^{5}+56z^{7}+\cdots .\end{aligned}}}$$

3行n列の長方形の左端から始まる可能な構成を考慮すると、U 0 = 1、U 1 = 0 _、 V 0 ₌ 0 、 V 1 ₌ 1の場合、上記のように定義されたn ≥ 2の_{2つのシーケンスについて、次の}相互依存的、または相互再帰的な再帰関係を表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}&=2V_{n-1}+U_{n-2}\\V_{n}&=U_{n-1}+V_{n-2}.\end{aligned}}}$$

すべての整数m ≥ 0に対して、インデックスシフトされた生成関数は^[注1] を満たすので 、上で指定した初期条件と前の2つの再帰関係を使用して、これらのシーケンスの生成関数を関連付ける次の2つの方程式が得られることがわかります。 これは、方程式系を解くことによって（これがここでの私たちの方法の特別なトリックです）、 $${\displaystyle z^{m}G(z)=\sum _{n=m}^{\infty }g_{n-m}z^{n}\,,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}U(z)&=2zV(z)+z^{2}U(z)+1\\V(z)&=zU(z)+z^{2}V(z)={\frac {z}{1-z^{2}}}U(z),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle U(z)={\frac {1-z^{2}}{1-4z^{2}+z^{4}}}={\frac {1}{3-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {1}{1-\left(2+{\sqrt {3}}\right)z^{2}}}+{\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {1}{1-\left(2-{\sqrt {3}}\right)z^{2}}}.}$$

したがって、前の式の生成関数の 2 番目の部分分数展開から得られるシーケンスに代数的簡略化を実行すると、U _{2 n + 1} ≡ 0であり、 すべての整数n ≥ 0に対してであることがわかります。また、フィボナッチ数列の2 次再帰に適用された同じシフトされた生成関数手法は、上記の有理関数のサブセクションですでに説明されている、または少なくともヒントが示されている、1 つの変数の再帰関係を解くために生成関数を使用する典型的な例であることにも注意してください。 $${\displaystyle U_{2n}=\left\lceil {\frac {\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{n}}{3-{\sqrt {3}}}}\right\rceil \,,}$$

2 つの形式的なべき級数の項の離散畳み込みにより、生成関数の積が、元の流れの項の畳み込み和を列挙する生成関数に変換されます (コーシー積を参照)。

1. A ( z )とB ( z )が通常の生成関数であるとします。$${\displaystyle C(z)=A(z)B(z)\Leftrightarrow [z^{n}]C(z)=\sum _{k=0}^{n}{a_{k}b_{n-k}}}$$
2. A ( z )とB ( z )が指数生成関数であるとします。$${\displaystyle C(z)=A(z)B(z)\Leftrightarrow \left[{\frac {z^{n}}{n!}}\right]C(z)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a_{k}b_{n-k}}$$
3. 3つの通常の生成関数の積から得られる三重畳列を考える$${\displaystyle C(z)=F(z)G(z)H(z)\Leftrightarrow [z^{n}]C(z)=\sum _{j+k+l=n}f_{j}g_{k}h_{l}}$$
4. ある正の整数m ≥ 1に対して、シーケンスのm倍畳み込みを考える（応用については以下の例を参照）。$${\displaystyle C(z)=G(z)^{m}\Leftrightarrow [z^{n}]C(z)=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}g_{k_{1}}g_{k_{2}}\cdots g_{k_{m}}}$$

生成関数の乗算、またはそれらの基礎となるシーケンスの畳み込みは、特定のカウントおよび確率シナリオにおける独立したイベントの概念に対応することができます。たとえば、ランダム変数Zの確率生成関数、またはpgfをG _Z ( z )と表記するという表記規則を採用すると、 XとYが独立している 場合、任意の 2 つのランダム変数^{[23]に対して、次のことを示すことができます。同様に、} n ≥ 0セントをセット {1、5、10、25、50} の値の硬貨 額面(それぞれ、ペニー、ニッケル、ダイム、クォーター、ハーフ ドル) で支払う方法の数は、積によって生成され、さらに、 nセントを任意の正の整数額面の硬貨で支払うことを 許可した場合、分割関数生成関数によって生成されるこのような変更の組み合わせの数の生成に到達します。この関数は、無限のq -ポッホハマー記号積によって拡張されます。 $${\displaystyle G_{X+Y}(z)=G_{X}(z)G_{Y}(z)\,,}$$$${\displaystyle C(z)={\frac {1}{1-z}}{\frac {1}{1-z^{5}}}{\frac {1}{1-z^{10}}}{\frac {1}{1-z^{25}}}{\frac {1}{1-z^{50}}},}$$$${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-z^{n}\right)^{-1}\,.}$$

生成関数の畳み込みが有用な例として、カタラン数 の通常の生成関数を表す特定の閉形式関数 C n を解くことができます。特に、_このシーケンスは、積x ₀ · x ₁ ·⋯· x _nに括弧を挿入して乗算の順序を完全に指定する方法の数として組み合わせ論的に解釈されます。たとえば、C ₂ = 2は、2 つの式x ₀ · ( x ₁ · x ₂ )と( x ₀ · x ₁ ) · x ₂に対応します。したがって、シーケンスは、次に示す再帰関係を満たし 、対応する畳み込み生成関数C ( z )が次を満たし ます。$${\displaystyle C_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}C_{k}C_{n-1-k}+\delta _{n,0}=C_{0}C_{n-1}+C_{1}C_{n-2}+\cdots +C_{n-1}C_{0}+\delta _{n,0}\,,\quad n\geq 0\,,}$$$${\displaystyle C(z)=z\cdot C(z)^{2}+1\,.}$$

C (0) = 1 ≠ ∞なので、この生成関数の式は次のようになる。 $${\displaystyle C(z)={\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}z^{n}\,.}$$

上記の C ( z ) を暗黙的に定義する最初の式は、 この生成関数の別の「単純な」(形式の) 連分数展開につながることを意味していることに注意してください。 $${\displaystyle C(z)={\frac {1}{1-z\cdot C(z)}}\,,}$$

次数nのファンとは、頂点{0, 1, ..., n }上のグラフで、2 n − 1本の辺が次の規則に従って接続されているものと定義されます。頂点 0 は、他のn個の頂点のそれぞれに 1 本の辺で接続されており、頂点は、常に1 ≤ k < nに対して、次の頂点k + 1に 1 本の辺で接続されています。^[24]次数 1 のファンは 1 つ、次数 2 のファンは 3 つ、次数 3 のファンは 8 つ、というように存在します。全域木は、元の頂点がすべて含まれ、この部分グラフを接続するのに十分な数の辺を含むグラフの部分グラフですが、部分グラフにサイクルが存在するほど多くの辺は含まれません。各n ≥ 1に対して、次数nのファンの全域木f _nがいくつ存在するかを調べます。 ${\displaystyle k}$

観察として、隣接する頂点の集合を結合する方法の数を数えることで、この問題にアプローチすることができます。たとえば、n = 4のとき、f ₄ = 4 + 3 · 1 + 2 · 2 + 1 · 3 + 2 · 1 · 1 + 1 · 2 · 1 + 1 · 1 · 2 + 1 · 1 · 1 · 1 = 21 となり、これはシーケンスg _n = n = [ z ⁿ ] ⁠ のm倍畳み込みの合計です。ず/（１− z）²⁠ただし、 m ≔ 1, 2, 3, 4です。より一般的には、この数列の式を次のように書くことができます。 この数列の通常の生成関数は、次の畳み込みの合計で与えられることがわかります。この畳み込みの合計から、 最後の生成関数の部分分数展開を 取ることで、数列の正確な式を抽出できます。 $${\displaystyle f_{n}=\sum _{m>0}\sum _{\scriptstyle k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n \atop \scriptstyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}>0}g_{k_{1}}g_{k_{2}}\cdots g_{k_{m}}\,,}$$$${\displaystyle F(z)=G(z)+G(z)^{2}+G(z)^{3}+\cdots ={\frac {G(z)}{1-G(z)}}={\frac {z}{(1-z)^{2}-z}}={\frac {z}{1-3z+z^{2}}}\,,}$$

明示的な指定ではなく、関数方程式で指定される生成関数によく遭遇する。例えば、n個のノード（葉を含む） 上の二分木の数の生成関数T(z)は、

$${\displaystyle T(z)=z\left(1+T(z)^{2}\right)}$$

ラグランジュの逆定理は、このような方程式の解を明示的に評価するために使用されるツールです。

上記の定理を関数方程式に適用すると、次の式が得られます ( )。 ${\textstyle \phi (z)=1+z^{2}}$

$${\displaystyle [z^{n}]T(z)=[z^{n-1}]{\frac {1}{n}}(1+z^{2})^{n}}$$

二項定理展開により、 が偶数の場合、式は を返します。これは、二分木の葉の数が内部ノードの数より1つ多いことが証明されているため、合計は常に奇数になるはずであるため、予想どおりです。ただし、 が奇数の場合、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle [z^{n-1}]{\frac {1}{n}}(1+z^{2})^{n}={\frac {1}{n}}{\dbinom {n}{\frac {n+1}{2}}}}$

を内部ノードの数とすると、式ははるかに簡潔になります。これで、式は単に^番目のカタロニア数になります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

合計s _{n は}複雑な場合があり、必ずしも簡単に評価できるとは限りません。「フリー パラメーター」法は、これらの合計を評価する別の方法です (H. Wilf は「snake oil」と呼んでいます)。

これまで説明した両方の方法では、合計の限界としてnがあります。合計に n が明示的に表示されない場合は、 n を「自由」パラメータと見なし、s _{n を}F ( z ) = Σ s _n z ⁿの係数として扱い、 nとkの合計の順序を変更して、内部和を計算します。

例えば、計算したい場合、 nを「自由」なパラメータとして 扱い、$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{{\binom {n+k}{m+2k}}{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}\,,\quad m,n\in \mathbb {N} _{0}\,,}$$$${\displaystyle F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\sum _{k=0}^{\infty }{{\binom {n+k}{m+2k}}{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}\right)}z^{n}\,.}$$

合計を交換（「スネークオイル」）すると、 $${\displaystyle F(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}z^{-k}}\sum _{n=0}^{\infty }{{\binom {n+k}{m+2k}}z^{n+k}}\,.}$$

内部の合計は⁠2m ^{+ 2kの}/(1 − z ) ^{m + 2 k + 1}⁠ . したがって $${\displaystyle {\begin{aligned}F(z)&={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}\sum _{k=0}^{\infty }{{\frac {1}{k+1}}{\binom {2k}{k}}\left({\frac {-z}{(1-z)^{2}}}\right)^{k}}\\[4px]&={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}\sum _{k=0}^{\infty }{C_{k}\left({\frac {-z}{(1-z)^{2}}}\right)^{k}}&{\text{where }}C_{k}=k{\text{th Catalan number}}\\[4px]&={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}{\frac {1-{\sqrt {1+{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}}}}{\frac {-2z}{(1-z)^{2}}}}\\[4px]&={\frac {-z^{m-1}}{2(1-z)^{m-1}}}\left(1-{\frac {1+z}{1-z}}\right)\\[4px]&={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m}}}=z{\frac {z^{m-1}}{(1-z)^{m}}}\,.\end{aligned}}}$$

そして、 $${\displaystyle s_{n}={\begin{cases}\displaystyle {\binom {n-1}{m-1}}&{\text{for }}m\geq 1\,,\\{}[n=0]&{\text{for }}m=0\,.\end{cases}}}$$

同じ方法をもう一度合計に適用すると分かりやすいが、今回はnの代わりにmを自由パラメータとして取る。つまり、 $${\displaystyle G(z)=\sum _{m=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n+k}{m+2k}}{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\right)z^{m}\,.}$$

合計を交換（「スネークオイル」）すると、 $${\displaystyle G(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}z^{-2k}\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {n+k}{m+2k}}z^{m+2k}\,.}$$

すると内部の合計は(1 + z ) ^{n + k}となる。したがって $${\displaystyle {\begin{aligned}G(z)&=(1+z)^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k+1}}{\binom {2k}{k}}\left({\frac {-(1+z)}{z^{2}}}\right)^{k}\\[4px]&=(1+z)^{n}\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}\,\left({\frac {-(1+z)}{z^{2}}}\right)^{k}&{\text{where }}C_{k}=k{\text{th Catalan number}}\\[4px]&=(1+z)^{n}\,{\frac {1-{\sqrt {1+{\frac {4(1+z)}{z^{2}}}}}}{\frac {-2(1+z)}{z^{2}}}}\\[4px]&=(1+z)^{n}\,{\frac {z^{2}-z{\sqrt {z^{2}+4+4z}}}{-2(1+z)}}\\[4px]&=(1+z)^{n}\,{\frac {z^{2}-z(z+2)}{-2(1+z)}}\\[4px]&=(1+z)^{n}\,{\frac {-2z}{-2(1+z)}}=z(1+z)^{n-1}\,.\end{aligned}}}$$

したがって、前と同じように、 m ≥ 1 の 場合も得られます 。 $${\displaystyle s_{n}=\left[z^{m}\right]z(1+z)^{n-1}=\left[z^{m-1}\right](1+z)^{n-1}={\binom {n-1}{m-1}}\,,}$$

2 つの生成関数 (べき級数) がm を法として合同であるとは、A ( z ) ≡ B ( z ) (mod m )と書かれるとき、それらの係数がすべてのn ≥ 0に対してm を法として合同である、すなわち、整数nのすべての関連するケースに対してa _n ≡ b _n (mod m )である (ここでm が整数であると仮定する必要はないことに注意。たとえば、不定のxにおいて多項式値​​になる可能性は十分にある)。「より単純な」右側の生成関数B ( z ) がzの有理関数である場合、この数列の形は、整数値 m ≥ 2 の特定のケースを法として最終的に周期的になることを示唆している。 たとえば、オイラー数が 3 を法として次の合同性を満たすことを証明できる: [ ^25]$${\displaystyle \langle E_{n}\rangle =\langle 1,1,5,61,1385,\ldots \rangle \longmapsto \langle 1,1,2,1,2,1,2,\ldots \rangle {\pmod {3}}\,,}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }E_{n}z^{n}={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}{\pmod {3}}\,.}$$

任意の整数（つまり、素数p ^kだけではない）を法とする特殊な生成関数によって列挙される数列の合同性を得るための 1 つの便利な方法は、上記のJ分数による（収束しないものも含む）通常の生成関数の連分数表現のセクションで示されています。ランドーのLectures on Generating Functionsから、連分数による表現を通じて展開される生成級数に関連する特定の結果を次のように引用します。

生成関数は、その係数の合同性を証明する際にも使用されます。次に、第一種スターリング数と分割関数p ( n )の特殊なケースの合同性を導出する 2 つの具体的な例を示します。これは、整数列を含む問題に取り組む際の生成関数の汎用性を示しています。

有限積によって生成されるスターリング数に関する 主要記事$${\displaystyle S_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)\,,\quad n\geq 1\,,}$$

ウィルフの標準的な参考文献Generatingfunctionologyのセクション4.6にあるように、これらの数の合同性の概要を、それらの生成関数の特性から厳密に導出する。基本的な議論を繰り返すと、が2を法として減少する場合、これらの有限積生成関数はそれぞれを満たすことがわかります。

$${\displaystyle S_{n}(x)=[x(x+1)]\cdot [x(x+1)]\cdots =x^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }(x+1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }\,,}$$

これは、これらのスターリング数の偶奇性が二項係数の偶奇性と一致すること を意味する。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}\equiv {\binom {\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{k-\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }}{\pmod {2}}\,,}$$

そしてその結果、[^nk
_​] はk < ⌊のときは常に偶数である⁠ん/2⁠ ⌋ .

同様に、スターリング数生成関数を定義する右辺の積を3を法として簡約すると、少し複雑な式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}&\equiv [x^{m}]\left(x^{\left\lceil {\frac {n}{3}}\right\rceil }(x+1)^{\left\lceil {\frac {n-1}{3}}\right\rceil }(x+2)^{\left\lfloor {\frac {n}{3}}\right\rfloor }\right)&&{\pmod {3}}\\&\equiv \sum _{k=0}^{m}{\begin{pmatrix}\left\lceil {\frac {n-1}{3}}\right\rceil \\k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\left\lfloor {\frac {n}{3}}\right\rfloor \\m-k-\left\lceil {\frac {n}{3}}\right\rceil \end{pmatrix}}\times 2^{\left\lceil {\frac {n}{3}}\right\rceil +\left\lfloor {\frac {n}{3}}\right\rfloor -(m-k)}&&{\pmod {3}}\,.\end{aligned}}}$$

この例では、無限積の冪級数展開が多くの特殊関数の展開を生成する仕組みの一部を取り入れ、分割関数を列挙する。特に、分割 関数 p ( n )は、次式で与えられる逆無限q-ポッホハマー記号積（または場合によっては z-ポッホハマー積）によって生成されることを思い出す。$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)z^{n}&={\frac {1}{\left(1-z\right)\left(1-z^{2}\right)\left(1-z^{3}\right)\cdots }}\\[4pt]&=1+z+2z^{2}+3z^{3}+5z^{4}+7z^{5}+11z^{6}+\cdots .\end{aligned}}}$$

この分割関数は多くの既知の合同性を満たしており、その中には次のような結果も含まれるが、この関数の関連する整数合同の形式についてはまだ多くの未解決の疑問が残っている。^[26] $${\displaystyle {\begin{aligned}p(5m+4)&\equiv 0{\pmod {5}}\\p(7m+5)&\equiv 0{\pmod {7}}\\p(11m+6)&\equiv 0{\pmod {11}}\\p(25m+24)&\equiv 0{\pmod {5^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$

生成関数と合同式の操作を形式的な冪級数に対して使用して、上に挙げた合同式の最初のものの非常に初歩的な証明を行う方法を示します。

まず、二項係数生成関数では、 1、z ⁵、z ¹⁰、… のべき乗に対応するものを除いて、すべての係数が5で割り切れることに気づきます。さらに、それらの場合、係数の余りは5を法とした1になります。したがって、 または同等に、 次の ようになります。 $${\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{5}}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {4+i}{4}}z^{i}\,,}$$$${\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{5}}}\equiv {\frac {1}{1-z^{5}}}{\pmod {5}}\,,}$$$${\displaystyle {\frac {1-z^{5}}{(1-z)^{5}}}\equiv 1{\pmod {5}}\,.}$$$${\displaystyle {\frac {\left(1-z^{5}\right)\left(1-z^{10}\right)\left(1-z^{15}\right)\cdots }{\left((1-z)\left(1-z^{2}\right)\left(1-z^{3}\right)\cdots \right)^{5}}}\equiv 1{\pmod {5}}\,.}$$

これを無限積展開すると、 z · ((1 − z )(1 − z ² )⋯) ⁴におけるz ^{5 m + 5}の係数は、すべてのmに対して 5 で割り切れること がわかります。^[27]最後に、前の式の z 5 m + 5 の係数を等しくすることで 、^{すべてのm} ≥ 0に対してp (5 m + 4) ≡ 0 (mod 5)であることを証明できます。 $${\displaystyle z\cdot {\frac {\left(1-z^{5}\right)\left(1-z^{10}\right)\cdots }{\left(1-z\right)\left(1-z^{2}\right)\cdots }}=z\cdot \left((1-z)\left(1-z^{2}\right)\cdots \right)^{4}\times {\frac {\left(1-z^{5}\right)\left(1-z^{10}\right)\cdots }{\left(\left(1-z\right)\left(1-z^{2}\right)\cdots \right)^{5}}}\,,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }p(n-1)z^{n}&={\frac {z}{(1-z)\left(1-z^{2}\right)\cdots }}\\[6px]&=z\cdot {\frac {\left(1-z^{5}\right)\left(1-z^{10}\right)\cdots }{(1-z)\left(1-z^{2}\right)\cdots }}\times \left(1+z^{5}+z^{10}+\cdots \right)\left(1+z^{10}+z^{20}+\cdots \right)\cdots \end{aligned}}}$$

生成関数の変換には、他の用途を提供するものがいくつかあります (メイン記事を参照)。シーケンスの通常の生成関数(OGF) の変換は、1 つのシーケンスの生成関数を別のシーケンスを列挙する生成関数に変換する方法を提供します。これらの変換には通常、シーケンス OGF を含む積分式 (積分変換を参照) またはこれらの関数の高次導関数の加重和 (微分変換を参照) が含まれます。

生成関数変換は、和の生成関数を表現しようとするときに役立ちます。 $${\displaystyle s_{n}:=\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}C_{n,m}a_{m},}$$

S ( z ) = g ( z ) A ( f ( z ))の形式で、元の流れの生成関数を含みます。たとえば、合計がの場合 、修正された合計式の生成関数は^[28] で与えられます(二項変換とスターリング変換 も参照)。 $${\displaystyle s_{n}:=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n+k}{m+2k}}a_{k}\,}$$ $${\displaystyle S(z)={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}A\left({\frac {z}{(1-z)^{2}}}\right)}$$

シーケンスのOGF、 F ( z )とその指数生成関数、またはEGF、F̂ ( z )との間の変換を行う積分式もあり、その逆も同様です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}F(z)&=\int _{0}^{\infty }{\hat {F}}(tz)e^{-t}\,dt\,,\\[4px]{\hat {F}}(z)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F\left(ze^{-i\vartheta }\right)e^{e^{i\vartheta }}\,d\vartheta \,,\end{aligned}}}$$

ただし、これらの積分は適切なzの値に対して収束するものとする。

特殊な数学的級数の最初のリストはここにあります。いくつかの有用で特殊な数列生成関数は、Concrete Mathematicsのセクション5.4と7.4、およびWilfのGeneratingfunctionologyのセクション2.5に記載されています。その他の注目すべき特殊な生成関数には、次の表のエントリが含まれますが、これは決して完全ではありません。^[29]

• モーメント生成関数
• 確率生成関数
• 生成関数変換
• スタンレーの相互性定理
• 整数分割
• 組み合わせ原理
• 循環ふるい分け
• Z変換
• 陰影計算
• 噴水の中のコイン

• アイグナー、マーティン（2007）。列挙のコース。数学の大学院テキスト。第238巻。シュプリンガー。ISBN 978-3-540-39035-0。
• Doubilet, Peter; Rota, Gian-Carlo ; Stanley, Richard ( 1972). 「組合せ理論の基礎について。VI. 生成関数の考え方」。第 6 回バークレー数理統計および確率シンポジウム議事録。2 : 267–318。Zbl 0267.05002  。Rota, Gian-Carlo (1975)に再録。「3. 生成関数の考え方」。有限作用素計算。P. Doubilet、C. Greene、D. Kahaner、 A. Odlyzko、R. Stanleyの協力。Academic Press。pp. 83–134。ISBN 0-12-596650-4.ZBL0328.05007  。​
• フラジョレ、フィリップ、セジウィック、ロバート(2009)。解析的組合せ論。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-89806-5.ZBL1165.05001  。​
• グールデン、イアン P.;ジャクソン、デビッド M. (2004)。組み合わせ列挙。ドーバー出版。ISBN 978-0486435978。
• グラハム、ロナルド L. ;クヌース、ドナルド E. ;パタシュニック、オーレン(1994)。「第 7 章: 生成関数」。具体的な数学。コンピュータ サイエンスの基礎(第 2 版)。Addison-Wesley。pp. 320–380。ISBN 0-201-55802-5.ZBL0836.00001  .​
• ランドー、セルゲイ K. (2003)。生成関数に関する講義。アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-3481-7。
• ウィルフ、ハーバート S. (1994)。Generatingfunctionology (第 2 版)。Academic Press。ISBN 0-12-751956-4.ZBL0831.05001  。​

• 「通常の生成関数入門」、マイク・ザブロッキ、ヨーク大学、数学・統計学
• 「生成関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• cut-the-knotにおける生成関数、パワー インデックス、コインの変化
• 「Generating Functions」、Ed Pegg Jr.著、Wolfram Demonstrations Project、2007 年。