二項式

数学において、多項式列、すなわち、各多項式の指数がその次数に等しい非負の整数でインデックス付けされた多項式 の列は、次の恒等式列を満たす場合、 二項式型であると言われる。 ${\textstyle \left\{0,1,2,3,\ldots \right\}}$

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{n-k}(y).}$

このような数列は多数存在します。このような数列すべての集合は、以下に説明する陰影合成の操作の下でリー群を形成します。二項型のすべての数列は、ベル多項式で表現できます。二項型のすべての数列はシェファー数列です(ただし、ほとんどのシェファー数列は二項型ではありません)。多項式数列は、19 世紀の曖昧な陰影計算の概念を確固たるものにしました。

• この定義の結果として、二項定理は、シーケンスが二項型であると言うことによって述べることができます。${\displaystyle \{x^{n}:n=0,1,2,\ldots \}}$
• 「下階乗」の列は次のように定義されます（特殊関数の理論では、この同じ表記法は上階乗を表しますが、この現在の用法は組合せ論者の間では一般的です）。n = 0の場合、積は1であると理解されます。その場合、積は空であるためです。この多項式列は二項型です。^[1]$${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdot \cdots \cdot (x-n+1).}$$
• 同様に、「上階乗」は二項式の多項式列です。$${\displaystyle x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdot \cdots \cdot (x+n-1)}$$
• アーベル多項式は二項式の多項式列です。$${\displaystyle p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}}$$
• タッチャード多項式( はサイズの集合を互いに素な空でない部分集合 に分割する回数)は、二項式の多項式列です。 エリック・テンプル・ベルはこれを「指数多項式」と呼び、この用語は文献でも時々見かけられます。係数は「第 2 種のスターリング数」です。この列はポアソン分布と興味深い関係があります。が期待値のポアソン分布に従うランダム変数である場合、となります。特に、 のとき、期待値 のポアソン分布の番目のモーメントは、サイズ の集合の分割回数であり、番目のベル数と呼ばれます。この特定のポアソン分布の 番目のモーメントに関する事実は、 「ドビンスキーの公式」です。$${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}}$$${\displaystyle S(n,k)}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S(n,k)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle E(X^{n})=p_{n}(\lambda )}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

多項式列 { p _n (x) : n  = 0, 1, 2, … } が二項型であるためには、次の 3 つの条件がすべて満たされる必要があります。

• によって特徴付けられるxの多項式空間上の線型変換はシフト同変であり、$${\displaystyle p_{n}(x)\mapsto np_{n-1}(x)}$$
• p ₀ ( x ) = 1 はすべてのxに対して成り立ち、
• n > 0の場合、 p _n (0) = 0となります。

(この演算子がシフト同変であるという主張は、多項式シーケンスがシェファーシーケンスであると言っていることと同じです。つまり、二項型シーケンスの集合は、シェファーシーケンスの集合内に適切に含まれます。)

この線形変換は明らかにデルタ演算子、すなわち、多項式の次数を1だけ減らすxの多項式空間上のシフト同変線形変換である。デルタ演算子の最も明白な例は、差分演算子^[1]と微分である。すべてのデルタ演算子は、次の形式の 冪級数として表すことができることが示される。

${\displaystyle Q=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}D^{n}}$

ここで、Dは微分である（和の下限は1であることに注意）。各デルタ演算子Qは、一意の「基本多項式」の列、すなわち次を満たす多項式列を持つ 。

1. ${\displaystyle p_{0}(x)=1,}$
2. ${\displaystyle p_{n}(0)=0\quad {\rm {for\ }}n\geq 1,{\rm {\ and}}}$
3. ${\displaystyle Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

1973 年にRota、 Kahaner 、Odlyzkoによって、多項式列が二項型であるためには、それが何らかのデルタ演算子の基本多項式の列である場合に限ることが示されました。したがって、この段落は、二項型の多項式列を必要なだけ生成するためのレシピになります。

任意のスカラー列a ₁ , a ₂ , a ₃ , …に対して、

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}}$

ここで、B _{n , k} ( a ₁ , …, a _{n − k +1} ) はベル多項式です。この多項式列は二項式型です。各n ≥ 1 について、

${\displaystyle p_{n}'(0)=a_{n}.}$

このセクションの主な結果は次のとおりです。

定理:二項型のすべての多項式シーケンスはこの形式です。

Mullin と Rota の結果は、Rota、Kahaner、および Odlyzko (以下の参考文献を参照) によって繰り返され、二項型のすべての多項式シーケンス {  p _n ( x ) } _nはシーケンス {  p _n ′(0) } _nによって決定されると述べていますが、これらのソースではベル多項式については言及されていません。

このスカラーの列はデルタ演算子にも関連しています。

${\displaystyle P(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n}.}$

それから

${\displaystyle P^{-1}\left({d \over dx}\right),}$

ここで、 はこのシーケンスのデルタ演算子です。 ${\displaystyle P^{-1}(P(x))=P(P^{-1}(x))=1}$

シーケンスa _n、b _n、n = 0、 1、 2、 … に対して、次の ような畳み込みを定義します。

${\displaystyle (a{\mathbin {\diamondsuit }}b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}a_{j}b_{n-j}.}$

を数列の n番目の項とする${\displaystyle a_{n}^{k\diamondsuit }}$

${\displaystyle \underbrace {a\mathbin {\diamondsuit } \cdots \mathbin {\diamondsuit } a} _{k{\text{ factors}}}.}$

すると、任意の数列a _i , i = 0, 1, 2, ..., a _{0 = 0に対して、} p ₀ ( x ) = 1 で定義される数列となり、

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}{a_{n}^{k\diamondsuit }x^{k} \over k!}\,}$

n ≥ 1の場合、は二項型であり、二項型のすべてのシーケンスはこの形式です。

二項式の多項式列は、生成関数が形式的な（必ずしも収束するわけではない）べき級数で あるような列である。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{xf(t)}}$

ここで、f ( t )は定数項がゼロで、1次項がゼロでない形式的な冪級数である。 ^[2]ファア・ディ・ブルーノの公式の冪級数版を使うと、

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{p_{n}'(0) \over n!}t^{n}.}$

数列のデルタ演算子は合成逆数なので、 ${\displaystyle f^{-1}(D)}$

${\displaystyle f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

2つの形式的なべき級数の積の係数

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n}}$

そして

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{b_{n} \over n!}t^{n}}$

は

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a_{k}b_{n-k}}$

（コーシー積も参照）。 x をそのような冪級数の族をインデックスするパラメータと考えると、二項恒等式は、 x + yでインデックスされる冪級数がxとyでインデックスされる冪級数の積であることを意味します。したがって、xは、和を積にマッピングする関数、つまり指数関数の引数です。

${\displaystyle g(t)^{x}=e^{xf(t)}}$

ここでf ( t )は上記の形式になります。

二項式型の多項式列全体の集合は、群演算が多項式列の「暗黒合成」である群である。その演算は次のように定義される。{ p _n ( x ) : n = 0, 1, 2, 3, ... }と{ q _n ( x ) : n = 0, 1, 2, 3, ... }が多項式列であるとし、

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,x^{k}.}$

すると、暗黒合成p o qは、 n番目 の項が

${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,q_{k}(x)}$

(下付き文字n はp _nに現れます。これはそのシーケンスのn番目の項であるためです。しかし、 qには現れません。これは、シーケンスの項の 1 つではなく、シーケンス全体を指すためです)。

上記のようにDの冪級数によって定義されたデルタ演算子を使用すると、デルタ演算子と、上で定義された二項式の多項式列との間の自然な一対一は、冪級数上の群演算が形式的な冪級数の形式的な合成である 群同型になります。

二項式型の多項式列における一次項の係数の列 κ _nは、多項式列のキュムラントと呼ばれることがあります。二項式型の多項式列全体は、キュムラントという記事で説明されている方法で、そのキュムラントによって決定されることが示されます。したがって、

${\displaystyle p_{n}'(0)=\kappa _{n}=}$n番目のキュムラント

そして

${\displaystyle p_{n}(1)=\mu _{n}'=}$n番目の瞬間。

これらは、確率分布のキュムラントと確率分布のモーメント とは対照的に、「形式的な」キュムラントと「形式的な」モーメントです。

させて

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}}{n!}}t^{n}}$

（正式な）キュムラント生成関数とする。すると

${\displaystyle f^{-1}(D)}$

は多項式列に関連付けられたデルタ演算子であり、すなわち、

${\displaystyle f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

二項型の概念は、組合せ論、確率論、統計学、その他さまざまな分野に応用されています。

• 階乗と二項式のトピックのリスト
• 二項式QMF（ドーブシーウェーブレットフィルタ）

• G.-C. Rota、D. Kahaner、およびA. Odlyzko、「Finite Operator Calculus」、Journal of Mathematical Analysis and its Applications、vol. 42、no. 3、1973 年 6 月。同じタイトルの本に再版、Academic Press、ニューヨーク、1975 年。
• R. Mullin および G.-C. Rota、「組合せ理論の基礎について III: 二項式列挙の理論」、『グラフ理論とその応用』、Bernard Harris 編、Academic Press、ニューヨーク、1970 年。
• ローマン、スティーブン（2008）。上級線形代数。数学大学院テキスト（第3版）。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-72828-5。

タイトルが示すように、上記の 2 番目は、組み合わせ列挙への応用について明確に述べています。

• di Bucchianico, Alessandro. 陰影計算の確率的および分析的側面、アムステルダム、CWI、1997年。
• Weisstein、Eric W.「二項式型シーケンス」。MathWorld。