エルミート数

数学において、エルミート数は、エルミート多項式のゼロ引数における値です。通常、物理学者のエルミート多項式に対して定義されます。

H _n = H _n (0)（H _n ( x )はn次のエルミート多項式）はエルミート数と呼ばれることがある。^[1]

最初のエルミート数は次のとおりです。

${\displaystyle H_{0}=1\,}$

${\displaystyle H_{1}=0\,}$

${\displaystyle H_{2}=-2\,}$

${\displaystyle H_{3}=0\,}$

${\displaystyle H_{4}=+12\,}$

${\displaystyle H_{5}=0\,}$

${\displaystyle H_{6}=-120\,}$

${\displaystyle H_{7}=0\,}$

${\displaystyle H_{8}=+1680\,}$

${\displaystyle H_{9}=0\,}$

${\displaystyle H_{10}=-30240\,}$

x = 0のエルミート多項式の再帰関係から得られる:

${\displaystyle H_{n}=-2(n-1)H_{n-2}.\,\!}$

H ₀ = 1 かつH ₁ = 0なので、H _nの閉じた式を構築できます。

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\\(-1)^{n/2}2^{n/2}(n-1)!!,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\end{cases}}}$

ここで ( n - 1)!! = 1 × 3 × ... × ( n - 1) です。

エルミート多項式の 生成関数から次の式が得られる。

${\displaystyle \exp(-t^{2}+2tx)=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,\!}$

文献^[1]では正式な冪級数が示されている。

${\displaystyle H_{n}(x)=(H+2x)^{n}\,\!}$

ここで、正式にはHの n乗H ⁿはn次のエルミート数H _nです。(アンブラル計算を参照してください。)