拡散

拡散の各モデルは、濃度、密度、およびそれらの導関数を用いて拡散流束を表します。流束はベクトルです。${\displaystyle \mathbf {J} }$移動量と移動方向を表す。小さな領域の場合${\displaystyle \Delta S}$通常通り${\displaystyle {\boldsymbol {\nu }}}$物理量の移転${\displaystyle N}$その地域を通って${\displaystyle \Delta S}$1回あたり${\displaystyle \Delta t}$は

${\displaystyle \Delta N=(\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\nu }})\,\Delta S\,\Delta t+o(\Delta S\,\Delta t)\,,}$

どこ${\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\nu }})}$は内積であり、${\displaystyle o(\cdots )}$は小文字の o 表記です。ベクトル面積の表記法を使用する場合${\displaystyle \Delta \mathbf {S} ={\boldsymbol {\nu }}\,\Delta S}$それから

${\displaystyle \Delta N=(\mathbf {J} ,\Delta \mathbf {S} )\,\Delta t+o(\Delta \mathbf {S} \,\Delta t)\,.}$

拡散流束の次元は[流束] = [量]/([時間]·[面積])である。拡散 する 物理量は${\displaystyle N}$は、粒子の数、質量、エネルギー、電荷、またはその他のスカラー量である可能性があります。密度については、${\displaystyle n}$拡散方程式は次の形式をとる。

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {J} +W\,,}$

どこ${\displaystyle W}$は、この量の局所的な発生源の強度（例えば、化学反応速度）です。拡散方程式の場合、無流束境界条件は次のように定式化できます。${\displaystyle (\mathbf {J} (x),{\boldsymbol {\nu }}(x))=0}$境界上で、${\displaystyle {\boldsymbol {\nu }}}$は、点における境界の法線です。${\displaystyle x}$。

フィックの第一法則：拡散流束、${\displaystyle \mathbf {J} }$は空間濃度の負の勾配に比例し、${\displaystyle n(x,t)}$:

${\displaystyle \mathbf {J} =-D(x)\,\nabla n(x,t),}$

ここで、Dは拡散係数であり、例えば経験的なVignes相関モデル^{[ 17 ]}や物理的に動機づけられたエントロピースケーリング^{[ 18 ]}を用いて、特定の混合物について推定することができる。対応する拡散方程式（フィックの第2法則）は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot (D(x)\,\nabla n(x,t))\,.}$

拡散係数が独立している場合${\displaystyle x}$フィックの第2法則は次のように簡略化できます。

${\displaystyle {\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}=D\,\Delta n(x,t)\ ,}$

どこ${\displaystyle \Delta }$ラプラス演算子は、

${\displaystyle \Delta n(x,t)=\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}n(x,t)}{\partial x_{i}^{2}}}\ .}$

フィックの法則は、媒体中の混合物の拡散を記述する。この混合物の濃度は小さくなければならず、この濃度の勾配も小さくなければならない。フィックの法則における拡散の駆動力は、濃度の逆勾配である。${\displaystyle -\nabla n}$。

1931年、ラース・オンサーガー^{[ 19 ]}は、多成分輸送プロセスを線形非平衡熱力学の一般的な枠組みに含めた。多成分輸送の場合、

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=\sum _{j}L_{ij}X_{j}\,,}$

どこ${\displaystyle \mathbf {J} _{i}}$は${\displaystyle i}$番目の物理量（成分）、${\displaystyle X_{j}}$は${\displaystyle j}$熱力学的力と${\displaystyle L_{ij}}$は、オンサーガーの運動学的輸送係数行列です。

輸送過程における熱力学的力は、オンサーガーによってエントロピー密度の導関数の空間勾配として導入された。${\displaystyle s}$（彼は「力」という言葉を引用符付きで、あるいは「推進力」という言葉で用いた）：

${\displaystyle X_{i}=\nabla {\frac {\partial s(n)}{\partial n_{i}}}\,,}$

どこ${\displaystyle n_{i}}$これらは「熱力学的座標」です。熱と物質の移動については、${\displaystyle n_{0}=u}$（内部エネルギー密度）${\displaystyle n_{i}}$濃度は${\displaystyle i}$番目の成分。対応する駆動力は空間ベクトルです。

${\displaystyle X_{0}=\nabla {\frac {1}{T}}\ ,\;\;\;X_{i}=-\nabla {\frac {\mu _{i}}{T}}\;(i>0),}$なぜなら${\displaystyle \mathrm {d} s={\frac {1}{T}}\,\mathrm {d} u-\sum _{i\geq 1}{\frac {\mu _{i}}{T}}\,{\rm {d}}n_{i}}$

ここでTは絶対温度であり、$\displaystyle \mu _{i}}$化学ポテンシャルは${\displaystyle i}$番目の成分。個別の拡散方程式は、バルク運動を伴わない混合または物質輸送を記述することを強調する必要があります。したがって、全圧の変化を伴う項は無視されます。これは、少量の混合物および小さな勾配の拡散に有効です。

線形オンサーガー方程式の場合、平衡状態付近では熱力学的力を線形近似で考慮する必要があります。

${\displaystyle X_{i}=\sum _{k\geq 0}\left.{\frac {\partial ^{2}s(n)}{\partial n_{i}\,\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}\nabla n_{k}\ ,}$

ここで、${\displaystyle s}$平衡状態で計算される${\displaystyle n^{*}}$運動係数の行列${\displaystyle L_{ij}}$対称性（オンサーガーの相反関係）と正定値性（エントロピー成長の場合）を持つべきである。

輸送方程式は以下の通りである。

${\displaystyle {\frac {\partial n_{i}}{\partial t}}=-\operatorname {div} \mathbf {J} _{i}=-\sum _{j\geq 0}L_{ij}\operatorname {div} X_{j}=\sum _{k\geq 0}\left[-\sum _{j\geq 0}L_{ij}\left.{\frac {\partial ^{2}s(n)}{\partial n_{j}\,\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}\right]\,\Delta n_{k}\ .}$

ここで、添え字i、j、k = 0、1、2、...はすべて内部エネルギー (0) とさまざまな成分に関連しています。角括弧内の式は行列です。${\displaystyle D_{ik}}$拡散係数（i、k  >  0）、熱拡散係数（i  >  0、k  =  0 またはk  >  0、i  =  0）、および熱伝導係数（i = k = 0）について。

等温条件下 では、T  = 一定です。関連する熱力学的ポテンシャルは自由エネルギー（または自由エントロピー）です。等温拡散の熱力学的駆動力は、化学ポテンシャルの逆勾配です。${\displaystyle -(1/T)\,\nabla \mu _{j}}$拡散係数の行列は

${\displaystyle D_{ik}={\frac {1}{T}}\sum _{j\geq 1}L_{ij}\left.{\frac {\partial \mu _{j}(n,T)}{\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}}$

( i,k  >  0)

熱力学的力と運動係数の定義には本質的に恣意性がある。なぜなら、それらは個別に測定できず、それらの組み合わせによってのみ測定できるからである。${\textstyle \sum _{j}L_{ij}X_{j}}$測定可能です。例えば、Onsagerの原著^{[ 19 ]}では、熱力学的力には追加の乗数Tが含まれていますが、 『理論物理学講義』^{[ 20 ]}ではこの乗数は省略されていますが、熱力学的力の符号は逆になっています。これらの変更はすべて係数の対応する変更によって補完され、測定可能な量には影響しません。

アインシュタインの関係式（運動論）は、拡散係数と移動度（粒子の終端ドリフト速度と印加力の比）を結びつける。^{[ 21 ]}荷電粒子の場合：

${\displaystyle D={\frac {\mu \,k_{\text{B}}T}{q}},}$

ここで、 Dは拡散定数、μは「移動度」、kB_はボルツマン定数、Tは絶対温度、qは素電荷、すなわち1電子の電荷である。

以下では、化学ポテンシャルμと移動度を同じ式にまとめるために、移動度には以下の表記を使用します。${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$。

移動度に基づくアプローチは、T. Teorellによってさらに応用された。^{[ 22 ]} 1935年、彼は膜を介したイオンの拡散を研究した。彼は自身のアプローチの本質を次の式で定式化した。

フラックスは、移動度×濃度×グラムイオンあたりの力に等しい。

これは、いわゆるテオレル式です。 「グラムイオン」（「グラム粒子」）という用語は、アボガドロ数個のイオン（粒子）を含む物質の量を表すのに用いられます。現代の一般的な用語はモルです。

等温条件下での力は、以下の2つの部分から構成される。

1. 濃度勾配によって生じる拡散力：${\displaystyle -RT{\frac {1}{n}}\,\nabla n=-RT\,\nabla (\ln(n/n^{\text{eq}}))}$。
2. 電位勾配によって生じる静電気力：${\displaystyle q\,\nabla \varphi }$。

ここで、Rは気体定数、Tは絶対温度、nは濃度、平衡濃度は上付き文字「eq」で示され、qは電荷、φは電位です。

テオレル式とオンサーガーの法則の単純だが決定的な違いは、テオレル式における流束の表現における集中係数である。アインシュタイン＝テオレルのアプローチでは、有限の力に対して集中係数がゼロに近づくと流束もゼロに近づくが、オンサーガー方程式はこの単純かつ物理的に明白な法則に反する。

等温条件下における非完全系に対するテオレル公式の一般的な定式化は^{[ 16 ]である。}

${\displaystyle \mathbf {J} ={\mathfrak {m}}\exp \left({\frac {\mu -\mu _{0}}{RT}}\right)(-\nabla \mu +({\text{external force per mole}})),}$

ここで、 μは化学ポテンシャル、μ₀_は化学ポテンシャルの標準値である。${\displaystyle a=\exp \left({\frac {\mu -\mu _{0}}{RT}}\right)}$は、いわゆる活性です。これは、非理想混合物中の種の「有効濃度」を測定します。この表記では、フラックスのテオレル式は非常に単純な形式になります^{[ 16 ]。}

${\displaystyle \mathbf {J} ={\mathfrak {m}}a(-\nabla \mu +({\text{external force per mole}})).}$

活性の標準導出には正規化係数が含まれており、低濃度の場合${\displaystyle a=n/n^{\ominus }+o(n/n^{\ominus })}$、 どこ${\displaystyle n^{\ominus }}$は標準濃度である。したがって、このフラックスの式は、正規化された無次元量のフラックスを表す。${\displaystyle n/n^{\ominus }}$:

${\displaystyle {\frac {\partial (n/n^{\ominus })}{\partial t}}=\nabla \cdot [{\mathfrak {m}}a(\nabla \mu -({\text{external force per mole}}))].}$

アインシュタインモデルは拡散する偏波の慣性を無視している。代替の ランジュバン方程式はニュートンの運動の第2法則から始まる。^{[ 23 ]}

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {1}{\mu }}{\frac {dx}{dt}}+F(t)}$

どこ

• xは位置を表します。
• μは流体または気体中の粒子の移動度であり、アインシュタインの関係式（運動論）を用いて計算することができる。
• mは粒子の質量である。
• Fは粒子に加わるランダムな力である。
• その時が来た。

この方程式を解くと、長時間極限における時間依存拡散定数が得られ、粒子が周囲の流体よりも著しく密度が高い場合、^{[ 23 ]}

${\displaystyle D(t)=\mu \,k_{\rm {B}}T(1-e^{-t/(m\mu )})}$

どこ

• k _Bはボルツマン定数です。
• Tは絶対温度です。
• μは流体または気体中の粒子の移動度であり、アインシュタインの関係式（運動論）を用いて計算することができる。
• mは粒子の質量である。
• その時が来た。

長時間スケールではアインシュタインの結果が再現されるが、短時間スケールでは弾道運動も説明される。さらに、アインシュタインのアプローチとは異なり、速度を定義することができ、摩擦とランダムな力の競合が温度を決定することにつながるゆらぎ散逸定理が得られる。 ^{[ 23 ]： 3.2}

触媒表面における反応物の拡散は、不均一触媒反応において重要な役割を果たす可能性がある。理想的な単分子層における拡散モデルは、反応物が最も近い空いている場所に飛び移るという原理に基づいている。このモデルは、低ガス圧下でのPt上でのCO酸化反応に適用された。

このシステムには複数の試薬が含まれています。${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{m}}$表面では、表面濃度は${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{m}.}$表面は吸着場所の格子状構造である。各試薬分子は表面上の場所を占める。いくつかの場所は空いている。空いている場所の濃度は${\displaystyle z=c_{0}}$すべての合計${\displaystyle c_{i}}$（空きスペースを含む）は一定であり、吸着場所の密度はb である。

ジャンプモデルは拡散流束に対して${\displaystyle A_{i}}$( i  =  1,  ..., n ): 

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=-D_{i}[z\,\nabla c_{i}-c_{i}\nabla z]\,.}$

対応する拡散方程式は次のとおりです。^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial c_{i}}{\partial t}}=-\operatorname {div} \mathbf {J} _{i}=D_{i}[z\,\Delta c_{i}-c_{i}\,\Delta z]\,.}$

保護法により、${\displaystyle z=b-\sum _{i=1}^{n}c_{i}\,,}$そして、 m 個の拡散方程式のシステムが得られます。1 つの成分については、フィックの法則と線形方程式が得られます。${\displaystyle (b-c)\,\nabla c-c\,\nabla (b-c)=b\,\nabla c}$2つ以上の成分の場合、方程式は非線形になります。

すべての粒子が最も近い隣接粒子と位置を交換できる場合、単純な一般化により次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=-\sum _{j}D_{ij}[c_{j}\,\nabla c_{i}-c_{i}\,\nabla c_{j}]}$

${\displaystyle {\frac {\partial c_{i}}{\partial t}}=\sum _{j}D_{ij}[c_{j}\,\Delta c_{i}-c_{i}\,\Delta c_{j}]}$

どこ${\displaystyle D_{ij}=D_{ji}\geq 0}$これは、ジャンプの強度を特徴付ける係数の対称行列です。空いている場所（空孔）は、濃度を持つ特別な「粒子」として考える必要があります。${\displaystyle c_{0}}$。

これらのジャンプモデルの様々なバージョンは、固体中の単純な拡散機構にも適している。

多孔質媒体における拡散の基本方程式は（Φが一定の場合）次のとおりです。^{[ 24 ]}

${\displaystyle \mathbf {J} =-\phi D\,\nabla n^{m}}$

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=D\,\Delta n^{m}\,,}$

ここで、Dは拡散係数、Φは多孔度、nは濃度、m  >  0（通常はm  > 1、 m = 1 の場合はフィックの法則に対応）である。  

フラックス項と蓄積項の両方において、多孔質媒体の多孔度（Φ）を適切に考慮するように注意しなければならない。^{[ 25 ]}例えば、多孔度がゼロになると、特定の濃度勾配に対して多孔質媒体内のモルフラックスはゼロになる。フラックスの発散を適用すると、多孔度項が相殺され、上記の2番目の式が形成される。

多孔質媒体中のガスの拡散の場合、この式はダルシーの法則の定式化である。多孔質媒体中のガスの体積流量は次のようになる。

${\displaystyle q=-{\frac {k}{\mu }}\,\nabla p}$

ここで、 kは媒体の透過率、 μは粘度、pは圧力である。

移流モルフラックスは次のように表される。

J  = nq 

そして${\displaystyle p\sim n^{\gamma }}$ダルシーの法則は、 m  = γ + 1の多孔質媒体における拡散の式を与える。   

多孔質媒体では、平均線速度（ν）は体積流量と次のような関係にある。

${\displaystyle \upsilon =q/\phi }$

移流モル流束と拡散流束を組み合わせると、移流分散方程式が得られる。

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=D\,\Delta n^{m}\ -\nu \cdot \nabla n^{m},}$

地下水の浸透については、ブシネスク近似ではm = 2の場合と同じ式が得られます。   

高レベルの放射線を含むプラズマの場合、ゼルドビッチ・ライザー方程式では、熱伝達に関してm  > 4となる。 

拡散係数${\displaystyle D}$はフィックの第一法則の係数です${\displaystyle J=-D\,\partial n/\partial x}$ここで、Jは単位面積/単位時間あたりの拡散流束（物質量）、 n（理想混合物の場合）は濃度、xは位置[長さ]です。

分子の直径dと質量mが同じ2つの気体（自己拡散）を考えます。この場合、拡散の基本平均自由行程理論は拡散係数に対して次の式を与えます。

${\displaystyle D={\frac {1}{3}}\ell v_{T}={\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}^{3}}{\pi ^{3}m}}}{\frac {T^{3/2}}{Pd^{2}}}\,,}$

ここで、k _Bはボルツマン定数、Tは温度、Pは圧力、${\displaystyle \ell }$は平均自由行程、vT_は平均熱速度です。

${\displaystyle \ell ={\frac {k_{\rm {B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}P}}\,,\;\;\;v_{T}={\sqrt {\frac {8k_{\rm {B}}T}{\pi m}}}\,.}$

平均自由行程近似では、拡散係数は T に対して T 3/2 のように増加し、P に対して 1/ P のように減少することがわかります。P に全濃度 n を用いた理想気体の状態方程式P = RnT^を使用すると、濃度nが与えられた場合、拡散係数はTに対してT ^1/2のように増加し、温度が与えられた場合、全濃度1/ nに対して減少することがわかります。   

分子量がそれぞれm _A、m _Bおよび分子直径がd _A、d _Bである 2 種類の異なる気体 A と B について、B 中の A および A 中の B の拡散係数の平均自由行程推定値は次のとおりです。

${\displaystyle D_{\rm {AB}}={\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}^{3}}{\pi ^{3}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2m_{\rm {A}}}}+{\frac {1}{2m_{\rm {B}}}}}}{\frac {4T^{3/2}}{P(d_{\rm {A}}+d_{\rm {B}})^{2}}}\,,}$

ボルツマンの混合気体の運動論では、各気体は独自の分布関数を持ち、${\displaystyle f_{i}(x,c,t)}$ここで、tは時刻、xは位置、cは混合物のi番目の成分の分子の速度である。各成分は平均速度を持つ。${\textstyle C_{i}(x,t)={\frac {1}{n_{i}}}\int _{c}cf(x,c,t)\,dc}$速度が${\displaystyle C_{i}(x,t)}$一致しない場合は拡散が存在する。

チャップマン・エンスコッグ近似では、すべての分布関数は保存量の密度によって表現されます。^{[ 14 ]}

• 個々の粒子濃度、${\textstyle n_{i}(x,t)=\int _{c}f_{i}(x,c,t)\,dc}$（体積あたりの粒子数）
• 運動量密度${\textstyle \sum _{i}m_{i}n_{i}C_{i}(x,t)}$( m _iはi番目の粒子の質量です)
• 運動エネルギー密度$${\displaystyle \sum _{i}\left(n_{i}{\frac {m_{i}C_{i}^{2}(x,t)}{2}}+\int _{c}{\frac {m_{i}(c_{i}-C_{i}(x,t))^{2}}{2}}f_{i}(x,c,t)\,dc\right).}$$

運動温度Tと圧力Pは3D空間で次のように定義される。

${\displaystyle {\frac {3}{2}}k_{\rm {B}}T={\frac {1}{n}}\int _{c}{\frac {m_{i}(c_{i}-C_{i}(x,t))^{2}}{2}}f_{i}(x,c,t)\,dc;\quad P=k_{\rm {B}}nT,}$

どこ${\textstyle n=\sum _{i}n_{i}}$は全体の密度です。

2 つの気体の場合、速度の差は、${\displaystyle C_{1}-C_{2}}$式で表すと次のようになります。^{[ 14 ]}

${\displaystyle C_{1}-C_{2}=-{\frac {n^{2}}{n_{1}n_{2}}}D_{12}\left\{\nabla \left({\frac {n_{1}}{n}}\right)+{\frac {n_{1}n_{2}(m_{2}-m_{1})}{Pn(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}\nabla P-{\frac {m_{1}n_{1}m_{2}n_{2}}{P(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}(F_{1}-F_{2})+k_{T}{\frac {1}{T}}\nabla T\right\},}$

どこ${\displaystyle F_{i}}$はi番目の成分の分子に加わる力であり、${\displaystyle k_{T}}$は熱拡散比です。

係数D _{12は正の値です。これは拡散係数です。C} 1 − C ₂の式に含まれる 4 つの項は、_気体の拡散における 4 つの主な効果を表しています。

1. ${\displaystyle \nabla \,\left({\frac {n_{1}}{n}}\right)}$これは、 n ₁ / nの比率が高い領域からこの比率の値が低い領域への第 1 成分の流れを表しています(同様に、 n ₂ / n = 1 – n ₁ / nであるため、 n ₂ / nが高い領域からn ₂ / nが低い領域への第 2 成分の流れも表しています)。    
2. ${\displaystyle {\frac {n_{1}n_{2}(m_{2}-m_{1})}{n(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}\nabla P}$より重い分子は高圧領域へ、より軽い分子は低圧領域へ移動する現象を表しており、これは圧力拡散と呼ばれる。
3. ${\displaystyle {\frac {m_{1}n_{1}m_{2}n_{2}}{P(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}(F_{1}-F_{2})}$これは、異なる種類の分子に作用する力の差によって生じる拡散現象を説明するものです。例えば、地球の重力場では、重い分子は下方へ移動し、電場では、帯電した分子は移動するはずです。この現象は、他の項の合計によって平衡が保たれるまで続きます。この現象は、圧力勾配によって生じる圧力拡散と混同してはなりません。
4. ${\displaystyle k_{T}{\frac {1}{T}}\nabla T}$熱拡散、すなわち温度勾配によって引き起こされる拡散流束について説明する。

これらの現象はすべて拡散と呼ばれます。なぜなら、これらは混合物中の異なる成分の速度の差を表すからです。したがって、これらの現象はバルク輸送として記述することはできず、移流や対流とも異なります。

第一近似では、^{[ 14 ]}

• $${\displaystyle D_{12}={\frac {3}{2n(d_{1}+d_{2})^{2}}}\left[{\frac {kT(m_{1}+m_{2})}{2\pi m_{1}m_{2}}}\right]^{1/2}}$$剛体球の場合。
• $${\displaystyle D_{12}={\frac {3}{8nA_{1}({\nu })\Gamma (3-{\frac {2}{\nu -1}})}}\left[{\frac {kT(m_{1}+m_{2})}{2\pi m_{1}m_{2}}}\right]^{1/2}\left({\frac {2kT}{\kappa _{12}}}\right)^{\frac {2}{\nu -1}}}$$反発力のために${\displaystyle \kappa _{12}r^{-\nu }.}$

番号${\displaystyle A_{1}({\nu })}$は求積法によって定義される（式（3.7）、（3.9）、古典的なチャップマンとカウリングの著書^{[ 14 ]}の第10章）。

剛体球の場合、Tへの依存性は単純な平均自由行程理論と同じであることがわかりますが、べき乗反発法則では指数が異なります。特定の温度における全濃度nへの依存性は常に同じ性質、1/ nを持ちます。

気体動力学への応用においては、拡散流束とバルク流は一つの輸送方程式系に統合されるべきである。バルク流は物質移動を記述する。その速度Vは質量平均速度である。バルク流は運動量密度と質量濃度によって定義される。

${\displaystyle V={\frac {\sum _{i}\rho _{i}C_{i}}{\rho }}\,.}$

どこ${\displaystyle \rho _{i}=m_{i}n_{i}}$はi番目の種の質量濃度であり、${\textstyle \rho =\sum _{i}\rho _{i}}$は質量密度です。

定義により、 i番目の成分の拡散速度は${\displaystyle v_{i}=C_{i}-V}$、${\textstyle \sum _{i}\rho _{i}v_{i}=0}$i番目の成分の物質移動は、連続の式によって記述される。

${\displaystyle {\frac {\partial \rho _{i}}{\partial t}}+\nabla (\rho _{i}V)+\nabla (\rho _{i}v_{i})=W_{i}\,,}$

どこ${\displaystyle W_{i}}$は化学反応における正味の質量生成速度であり、${\textstyle \sum _{i}W_{i}=0}$。

これらの式では、${\displaystyle \nabla (\rho _{i}V)}$i番目の成分の移流と項を記述する${\displaystyle \nabla (\rho _{i}v_{i})}$この成分の拡散を表します。

1948年、ウェンデル・H・ファリーは、運動論で見られる拡散速度の形式を、気体拡散に対する新しい現象論的アプローチの枠組みとして用いることを提案した。このアプローチは、FAウィリアムズとSHラムによってさらに発展させられた。 ^{[ 26 ]}多成分気体（ N成分）の拡散速度については、彼らは

${\displaystyle v_{i}=-\left(\sum _{j=1}^{N}D_{ij}\mathbf {d} _{j}+D_{i}^{(T)}\,\nabla (\ln T)\right)\,;}$

${\displaystyle \mathbf {d} _{j}=\nabla X_{j}+(X_{j}-Y_{j})\,\nabla (\ln P)+\mathbf {g} _{j}\,;}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{j}={\frac {\rho }{P}}\left(Y_{j}\sum _{k=1}^{N}Y_{k}(f_{k}-f_{j})\right)\,.}$

ここ、${\displaystyle D_{ij}}$は拡散係数行列であり、${\displaystyle D_{i}^{(T)}}$は熱拡散係数であり、${\displaystyle f_{i}}$は、 i番目の種に作用する単位質量あたりの体積力です。${\displaystyle X_{i}=P_{i}/P}$はi番目の種の分圧分率です（そして${\displaystyle P_{i}}$（分圧）${\displaystyle Y_{i}=\rho _{i}/\rho }$はi番目の種の質量分率であり、${\textstyle \sum _{i}X_{i}=\sum _{i}Y_{i}=1.}$

固体中の電子密度が平衡状態にない場合、電子の拡散が起こります。例えば、半導体の塊の両端にバイアス電圧を印加したり、片方の端に光を照射したりすると（右図参照）、電子は高密度領域（中央）から低密度領域（両端）へと拡散し、電子密度の勾配が形成されます。この過程で電流が発生し、これを拡散電流と呼びます。

拡散電流はフィックの第一法則によっても記述できる。

${\displaystyle J=-D\,\partial n/\partial x\,,}$

ここで、Jは単位面積/単位時間あたりの拡散電流密度（物質量）、 n（理想混合物の場合）は電子密度、xは位置[長さ]です。

さまざまな初期条件と境界条件で拡散方程式を解く解析モデルと数値モデルは、地球表面のさまざまな変化を研究するために広く用いられてきました。拡散は、斜面後退、崖の侵食、断層崖の劣化、波食段丘/海岸線の後退、沖積河道の侵食、沿岸棚の後退、デルタの前進などの侵食研究で広く用いられてきました。^{[ 27 ]}これらのケースの多くでは地球表面が文字通り拡散しているわけではありませんが、拡散のプロセスは、数十年から数千年にわたって起こる全体的な変化を効果的に模倣しています。拡散モデルは、堆積環境に関する情報が古環境復元から分かっている逆境界値問題を解くためにも使用できます。この場合、拡散方程式を使用して堆積物の流入と地形変化の時系列を解明します。^{[ 28 ]}

透析は、半透膜を介した溶質の拡散と体液の限外濾過の原理に基づいて行われます。拡散は水中の物質の性質であり、水中の物質は高濃度領域から低濃度領域へ移動する傾向があります。^{[ 29 ]}血液は半透膜の片側を流れ、透析液、つまり特殊な透析液は反対側を流れます。半透膜は、さまざまなサイズの穴、つまり孔を含む薄い層の物質です。小さな溶質と体液は膜を通過しますが、膜はより大きな物質（例えば、赤血球や大きなタンパク質）の通過を遮断します。これは、血液が腎臓に入り、糸球体で大きな物質が小さな物質から分離されるときに腎臓で行われる濾過プロセスを再現しています。^{[ 29 ]}

ブラウンが研究した花粉粒のような多分子メソスコピック粒子のブラウン運動は光学顕微鏡で観察できるが、分子拡散は厳密に制御された実験条件下でのみ調べることができる。グラハムの実験以来、対流を避けることが必要であることはよく知られており、これは容易ではない課題である。

通常条件下では、分子拡散が支配的なのはナノメートルからミリメートル程度の長さの範囲に限られます。より大きな長さスケールでは、液体や気体における物質輸送は通常、対流という別の輸送現象によって起こります。このような場合、拡散を分離するには特別な努力が必要です。

対照的に、固体媒体を通じた熱伝導は日常的に起こる現象である（例えば、熱い液体に部分的に浸された金属スプーンなど）。このことが、質量拡散よりも先に熱拡散が数学的に説明された理由を説明している。

• 異方性拡散（ペローナ・マリク方程式とも呼ばれる）は、高勾配を強調する。
• 固体中の原子拡散
• ボーム拡散、磁場を横切るプラズマの拡散
• 乱流の粗視化記述における渦拡散
• 小さな穴を通してガスが噴出する
• 電子拡散によって生じる電流は拡散電流と呼ばれる。
• 促進拡散（一部の生物に見られる現象）
• 同位体分離に用いられる気体拡散法
• 熱方程式、熱エネルギーの拡散
• 伊藤拡散、ブラウン運動の数学的表現、連続確率過程。
• 壁面との衝突が頻繁な長い細孔内でのガスのクヌッセン拡散
• レヴィの飛行
• 分子拡散、分子が密度の高い領域から密度の低い領域へ拡散すること
• 運動量の拡散例：流体力学的速度場の拡散
• 光子拡散
• 血漿拡散
• ランダムウォーク[ ^{30 ]}拡散^モデル
• 相分離における濃度勾配に逆らう逆拡散
• 回転拡散、分子のランダムな再配向
• スピン拡散、固体中のスピン磁気モーメントの拡散
• 表面拡散、表面上の吸着粒子の拡散
• 走性は、刺激に対する動物の方向性のある移動活動である。
  • 運動とは、刺激に対する動物の方向性のない運動活動のことである。
• 異文化伝播、地理的領域を越えた文化的特徴の伝播
• 乱流拡散とは、乱流流体内における質量、熱、または運動量の輸送のことである。