異常拡散

異常拡散は、平均二乗変位（MSD）、、および時間の間に非線形関係がある拡散過程である。この動作は、MSDが時間に線形である（すなわち、dは次元数、Dは拡散係数）アインシュタインとスモルホフスキーによって説明された典型的な拡散過程であるブラウン運動とはまったく対照的である。 ^{[1] [2]}${\displaystyle \langle r^{2}(\tau )\rangle }$${\displaystyle \langle r^{2}(\tau )\rangle =2dD\tau }$

通常の拡散を記述する方程式では、例えば多孔質媒体などの不均質または不均質媒体における拡散プロセスなど、いくつかの複雑な拡散プロセスを特徴付けることができないことがわかっています。異常拡散現象を特徴付けるために、分数拡散方程式が導入されました。

自然界における異常拡散の例としては、極低温原子、^[3]調和バネ質量系、^[4]星間物質におけるスカラー混合、^[5] 細胞核におけるテロメア、 ^[6]細胞膜におけるイオンチャネル、^[7]細胞質におけるコロイド粒子、^{[8] [9] [10]}セメント系材料における水分輸送、^[11]および虫状ミセル溶液^[12]などが観測されている。

通常の拡散とは異なり、異常拡散はべき乗法則で記述されます。ここで、はいわゆる一般化拡散係数、は経過時間です。異常拡散のクラスは次のように分類されます。 ${\displaystyle \langle r^{2}(\tau )\rangle =K_{\alpha }\tau ^{\alpha }}$${\displaystyle K_{\alpha}}$${\displaystyle \tau}$

• α < 1: サブ拡散。これは、混雑や壁が原因で発生することがあります。たとえば、混雑した部屋や迷路内のランダム ウォーカーは、小さなランダム ステップは通常どおりに移動できますが、大きなランダム ステップを踏むことができないため、サブ拡散が発生します。これは、たとえば、細胞内のタンパク質拡散や多孔質媒体を介した拡散で発生します。サブ拡散は、細胞質内の高分子の混雑の尺度として提案されています。
• α = 1:ブラウン運動。
• ${\displaystyle 1<\alpha <2}$: 超拡散。超拡散は能動的な細胞輸送プロセスの結果、または重い裾分布を伴うジャンプによって起こる可能性がある。^[13]
• α = 2: 弾道運動。典型的な例は、一定の速度で移動する粒子です。${\displaystyle r=v\tau}$
• ${\displaystyle \alpha >2}$: ハイパー弾道。光学システムで観測されている。^[14]

1926年、ルイス・フライ・リチャードソンは気象観測気球を使って、大気が超拡散を示すことを実証した。^[15]境界のあるシステムでは、混合長（支配的な混合運動の規模を決定する）は、次式に従ってフォン・カルマン定数で与えられ、ここで は混合長、はフォン・カルマン定数、 は最も近い境界までの距離である。^[16]大気中の運動の規模は河川や地下のように制限されていないため、プルームはサイズが大きくなるにつれてより大きな混合運動を経験し続け、それによって拡散率も増加し、結果として超拡散が生じる。^[17]${\displaystyle l_{m}={\kappa }z}$${\displaystyle l_{m}}$${\displaystyle {\kappa}}$${\displaystyle z}$

上に示した異常拡散の種類により、その種類を測定できますが、異常拡散はどのようにして発生するのでしょうか。適切な種類のべき乗則を持つ確率過程を数学的に定義する方法は多数あります。ここでいくつかのモデルを示します。

これらは、連続時間ランダムウォーク（CTRW）^[18]と分数ブラウン運動（fBm）の信号と、無秩序な媒体における拡散^[19]との間の長距離相関である。現在、最も研究されている異常拡散プロセスのタイプは、以下のものを含むものである。

• ブラウン運動の一般化、例えば分数ブラウン運動やスケールブラウン運動など
• フラクタルにおける拡散と多孔質媒体における浸透
• 連続時間ランダムウォーク

これらのプロセスは、異常拡散の背後にあるメカニズムが直接生理学的に重要な細胞生物物理学において、関心が高まっています。特に興味深いのは、Eli Barkai、Maria Garcia Parajo、Joseph Klafter、Diego Krapf、およびRalf Metzlerのグループによる研究で、生きた細胞内の分子の運動が、エルゴード仮説を破るタイプの異常拡散を示すことが多いことが示されたことです。^{[20] [21] [22]}この種の運動には、ミクロカノニカルアンサンブルやウィーナー・ヒンチンの定理を用いたアプローチが破綻する ため、基礎となる統計物理学のための新しい形式主義が必要です。

• レヴィ飛行 – 重い尾を持つステップ長のランダムウォーク
• ランダムウォーク – 多くのランダムなステップからパスを形成するプロセス
• 浸透 – 多孔質材料を通した流体の濾過
• 長期的な相関関係^{[説明が必要]}
• 長期依存性 – 言語学とデータ分析における現象
• ハースト指数 – 時系列の長期依存性の尺度
• トレンド除去変動分析( DFA ) – 統計用語
• フラクタル – 無限に詳細な数学的構造

• ワイス、マティアス; エルスナー、マルクス; カートバーグ、フレドリック; ニルソン、トミー (2004)。「異常なサブ拡散は、生きた細胞における細胞質の混雑の尺度である」。バイオフィジカルジャーナル。87 (5): 3518–3524。Bibcode  : 2004BpJ .... 87.3518W。doi :10.1529/biophysj.104.044263。PMC 1304817。PMID 15339818。 
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• Krapf, Diego (2015)、「細胞膜における異常拡散の根底にあるメカニズム」、脂質ドメイン、Current Topics in Membranes、vol. 75、Elsevier、pp. 167–207、doi :10.1016/bs.ctm.2015.03.002、ISBN 9780128032954、PMID  26015283 、 S2CID  34712482、2018-08-13取得

• ボルツマン変換、放物線法則（アニメーション）
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