乱流拡散

乱流拡散とは、ランダムで無秩序な時間依存の運動により、システム内で質量、熱、または運動量が輸送される現象です。^[1]これは、乱流流体システムが、急激な濃度勾配、密度勾配、および高速度の組み合わせから生じるせん断流に反応して臨界条件に達したときに発生します。これは分子拡散よりもはるかに急速に発生するため、燃焼、汚染物質、溶存酸素、および産業用溶液を扱うシステムにおける混合と輸送に関する問題にとって極めて重要です。これらの分野では、処理中の急速な混合や安全のための急速な汚染物質または汚染物質の削減が必要な場合に、乱流拡散は流体または環境内の種の濃度を急速に低下させる優れたプロセスとして機能します。

しかし、瞬間的な流体速度と予測される流体速度の両方を同時に特徴付けることができないため、すべての乱流システムにおける種の拡散に適用できる具体的かつ完全に機能するモデルを開発することは非常に困難でした。乱流では、予測不可能、急速な拡散、高レベルの渦度の変動、運動エネルギーの散逸など、いくつかの特性の結果です。^[2]

大気拡散^[3]または拡散は、汚染物質が環境内でどのように混合されるかを研究します。このモデリングプロセスには、混合が起こっている大気のレベル、環境の安定性、混合されている汚染物質と汚染源の種類など、多くの要因が含まれます。オイラーモデルとラグランジュモデル（以下で説明）はどちらも大気拡散をシミュレートするために使用されており、汚染物質がさまざまな環境でどのように反応し、混合するかを適切に理解するために重要です。これらのモデルは両方とも垂直風と水平風の両方を考慮していますが、乱流を考慮するためにフィック拡散理論も統合しています。これらの方法は理想的な条件を使用し、多くの仮定を立てる必要がありますが、現時点では、乱流拡散が汚染物質に与える影響をより適切に計算することは困難です。フィック拡散理論と大気拡散に関する研究のさらなる進歩は、さまざまな発生源からの汚染物質の現在の排出率が大気に与える影響をモデル化するために適用できます。^[4]

平面レーザー誘起蛍光法（PLIF）と粒子画像流速測定法（PIV）のプロセスを使用して、炎の乱流拡散の影響に関する研究が進行中です。主な研究分野には、発電用ガスバーナーの燃焼システムや、メタン（CH ₄）、水素（H ₂）、窒素（N ₂）を含むジェット拡散炎の化学反応などがあります。^[5]さらに、ダブルパルスレイリー温度イメージングは​​、温度変化や炎内の化学物質の混合と消火および発火場所を相関付けるために使用されています。^[6]

乱流拡散に対するオイラーのアプローチは、固定された参照フレーム内の特定の空間と時間における微小体積に焦点を当て、質量、運動量、温度などの物理的特性を測定します。^[7]このモデルは、オイラー統計が一貫して測定可能であり、化学反応への優れた応用を提供するため便利です。分子モデルと同様に、以下の連続方程式（元素または種の移流が、その拡散、反応による生成、および他のソースまたはポイントからの追加によってバランスが取れている）およびナビエ-ストークス方程式と同じ原理を満たす必要があります。

${\displaystyle {\partial c_{i} \over \partial t}+{\partial \over \partial x_{j}}(u_{j}c_{i})=D_{i}{\partial ^{2}c_{i} \over \partial x_{j}\partial x_{j}}+R_{i}(c_{1},...,c_{N},T)+S_{i}(x,t)}$

${\displaystyle {i=1,2,...,N}}$

ここで= 対象種の濃度、= 速度 t= 時間、= 方向、= 分子拡散定数、 =発生した反応の速度、 = 発生源による発生速度。 ^{[8] は}単位体積あたりの濃度であり、背景流体中の 混合比（ ）ではない ことに注意してください 。${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle u_{j}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle D_{i}}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle kg/kg}$

反応のない不活性種を考えて分子拡散を無視できると仮定すると、方程式の左側の移流項だけが残ります。このモデルの解は一見自明に思えますが、乱流挙動に典型的に関連する u _j = ū + u _j ' の速度と平均速度のランダム成分を無視しています。次に、オイラーモデルの濃度解にもランダム成分 c _j = c + c _{j ' が必要です。この結果、無限変数と方程式の閉包問題が生じ、前述の仮定では明確な c i を}解くことが不可能になります。^[9]

幸いなことに、渦拡散率の概念と乱流混合からのランダムな濃度と速度成分の統計的近似を導入することで、閉包近似が存在します。

${\displaystyle \langle u_{j}'c'\rangle =-K_{jj}{\partial (c) \over \partial x_{j}}}$

ここでKjj_は渦拡散係数である。^[8]

最初の連続方程式に代入し、反応、発生源、分子拡散を無視すると、渦拡散における乱流拡散近似のみを考慮した次の微分方程式が得られます。

${\displaystyle {\partial c_{i} \over \partial t}+{\overline {u}}_{j}{\partial (c) \over \partial x_{j}}={\partial \over \partial x_{j}}{\bigg (}K_{jj}{\partial (c) \over \partial x_{j}}{\bigg )}}$

分子拡散定数 D とは異なり、渦拡散率は空間的に変化する可能性のある行列式であるため、外導関数の外側では取れない場合があります。

乱流拡散のラグランジアンモデルは、移動する種の軌跡と変位を追跡するために移動参照フレームを使用し、各粒子の統計を個別に追跡します。^{[7]最初、粒子は時刻}t ' に位置x ' (x ₁、 x ₂、 x ₃ )にあります。粒子の運動は、時刻tに特定の体積要素に存在する確率によって記述され、Ψ (x ₁、 x ₂、 x ₃、t ) dx ₁ dx ₂ dx ₃ = Ψ ( x、t )d xで記述 され、次の確率密度関数 (pdf) に従います。

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} ,{\mathit {t}})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {Q}}(\mathbf {x} ,{\mathit {t}}|\mathbf {x} ',{\mathit {t}}'){\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} ',{\mathit {t}}')d\mathbf {x} '}$ ここで、関数Q は粒子遷移の確率密度です。

位置 x と時間 t における粒子の濃度は、次のように観測された粒子の数の確率を合計することによって計算できます。

${\displaystyle \langle c(\mathbf {x} ,{\mathit {t}})\rangle =\sum _{i=1}^{m}{\boldsymbol {\psi }}_{i}(\mathbf {x} ,{\mathit {t}})}$

これをpdf積分^{[8]に戻すことで評価する。}

${\displaystyle \langle c(\mathbf {x} ,{\mathit {t}})\rangle ==\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {Q}}(\mathbf {x} ,{\mathit {t}}|\mathbf {x} _{0},{\mathit {t}}_{0})\langle c(\mathbf {x} _{0},{\mathit {t}}_{0})\rangle d\mathbf {x} _{0}+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{t_{0}}^{t}{\mathit {Q}}(\mathbf {x} ,{\mathit {t}}|\mathbf {x} ',{\mathit {t}}'){\mathit {S}}(\mathbf {x} ',{\mathit {t}}')d{\mathit {t}}d\mathbf {x} '}$

したがって、このアプローチは、粒子の位置と速度を近隣の粒子や環境に対して評価するために使用され、粒子の動きの統計における乱流拡散に関連するランダムな濃度と速度を近似します。

乱流中の種の統計を分析するためのオイラーモデルとラグランジュモデルの両方について、上記の最終方程式を解くことで得られる解は、連続したソースから特定の場所における平均濃度を計算するための非常に類似した式になります。両方の解はガウスプルームを生成し、x、y、z方向の分散が渦拡散率に関連しているという仮定の下では実質的に同一です。

${\displaystyle \langle c(x,y,z)\rangle ={\frac {q}{2\pi \sigma _{y}\sigma _{z}}}\exp {\bigg [}-{\bigg (}{\frac {y^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\sigma _{z}^{2}}}{\bigg )}{\bigg ]}}$

どこ${\displaystyle \sigma _{y}^{2}={\frac {2K_{yy}x}{\overline {u}}}\sigma _{z}^{2}={\frac {2K_{zz}x}{\overline {u}}}}$

q=種の放出率、u=風速、σ _i ^{2 =} i方向 の分散。 ^[8]

方向流速（風）や環境条件などのさまざまな外部条件下で、乱流拡散の分散と拡散率が測定され、発生源から特定のポイントでの濃度の適切な推定値を計算するために使用されます。このモデルは大気科学で非常に有用であり、特に燃焼煙突、河川、道路上の自動車の列などの発生源から発生する大気汚染物質の濃度を扱う場合に有用です。^[2]

乱流と拡散に数式を適用するのは非常に難しいため、この分野の研究は最近まで不足していました。過去には、実験室での取り組みとして、小川の定常流のデータや、パイプを流れる高レイノルズ数の流体のデータを使用していましたが、これらの方法では正確なデータを取得することが困難でした。これは、これらの方法が理想的な流れを伴うため、乱流拡散モデルの開発に必要な乱流の状態をシミュレートできないためです。コンピューター支援モデリングとプログラミングの進歩により、科学者は大気中や流体中の乱流拡散をよりよく理解するために、乱流をシミュレートできるようになりました。

現在、研究に使用されている非侵入型アプリケーションは 2 つあります。1 つ目は平面レーザー誘起蛍光(PLIF) で、これは 1 秒あたり最大 100 万ポイントの瞬間濃度を検出するために使用されます。この技術は、瞬間速度データを検出する粒子画像速度測定(PIV) と組み合わせることができます。濃度と速度のデータを見つけるだけでなく、これらの技術を使用して、環境の空間相関と変化を推測できます。テクノロジーとコンピューターの能力が急速に拡大しているため、これらの方法も大幅に改善され、乱流拡散のモデリングに関する将来の研究の最前線に立つ可能性が高くなります。^[10]

これらの取り組みの他に、コンピューターが利用可能になる前に行われたフィールドワークにも進歩がありました。流体の混合における乱流、速度、流れをリアルタイムで監視することが可能になりました。この研究は、特に飲料水供給における乱流中の汚染物質の混合サイクルを研究する上で重要であることが証明されました。

研究技術と利用可能性が高まるにつれて、多くの新しい分野がこれらの方法の利用に関心を示しています。ロボットやコンピューターが乱流中の臭気や汚染物質を検出する方法を研究することは、研究において大きな関心を集める可能性が高い分野の 1 つです。これらの研究は、生物兵器やウイルスを効果的に検出するために航空機の客室にセンサーを設置するという最近の研究の進歩に役立つ可能性があります。

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• Bilger, RW (1989). 「乱流拡散炎」. Annu. Rev. Fluid Mech . 21 : 101–135. Bibcode :1989AnRFM..21..101B. doi :10.1146/annurev.fl.21.010189.000533.

• https://share.sandia.gov/crf/article.php?id=144 -乱流拡散炎の研究
• http://www.shodor.org/master/environmental/air/plume/index.html -ガウスプルームモデル計算機
• http://courses.washington.edu/cewa567/Plumes.PDF - ワシントン大学の乱流拡散とガウスプルームモデル