ブシネスク近似（浮力）

流体力学において、ブシネスク近似（ジョセフ・ヴァレンティン・ブシネスクにちなんで名付けられた[businɛsk]と発音される）は、 浮力駆動流れ（自然対流としても知られる）の分野で使用されている。密度差は、重力加速度 g を乗じた項で現れる場合を除いて無視される。ブシネスク近似の本質は、慣性の差は無視できるが、重力は2つの流体の比重にかなりの違いを生じさせるほど十分に強いということである。音は流体内の密度変動の結果であるため、ブシネスク流体に音波が存在することはあり得ない。

ブシネスク流は、自然界（大気前線、海洋循環、カタバ風など）、産業（高密度ガス拡散、ドラフト換気）、および建築環境（自然換気、セントラルヒーティング）でよく見られます。近似を使用すると、このような流れを記述する方程式を簡素化しながら、流れの挙動を高い精度で記述することができます。

ブシネスク近似は、流体の温度（または組成）が場所によって変化し、流体の流れと熱伝達（または質量移動^[1]）を引き起こす問題に適用されます。流体は、質量保存、運動量保存、エネルギー保存を満たします。ブシネスク近似では、密度ρ以外の流体特性の変化は無視され、密度は重力加速度gを乗じた場合にのみ現れます。 ^{[2] : 127–128} u が流体塊の局所速度である場合、質量保存の連続方程式は^{[2] : 52 です。}

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0.}$

密度変化を無視すると、これは^{[2] : 128 に減少する。}

非圧縮性のニュートン流体の運動量保存則（ナビエ・ストークス方程式）の一般的な表現は、

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +{\frac {1}{\rho }}\mathbf {F} ,}$

ここでν (nu)は動粘性、Fは重力などのあらゆる物体の力の合計です。^{[2] ：59}この式では、密度の変化は固定部分と温度に線形に依存する部分があると仮定されています。

${\displaystyle \rho =\rho _{0}-\alpha \rho _{0}(T-T_{0}),}$

ここでαは熱膨張係数である。^{[2] : 128–129}ブシネスク近似によれば、密度の変化は浮力項においてのみ重要である。

が重力の力である場合、結果として得られる保存方程式は^{[2] ：129 である。}${\displaystyle F=\rho \mathbf {g} }$

温度勾配における熱流の式では、単位体積あたりの熱容量は一定と仮定し、散逸項は無視する。その結果得られる式は次のようになる。 ${\displaystyle \rho C_{p}}$

ここでJは単位体積あたりの内部熱発生率であり、は熱伝導率である。^{[2] ：129}${\displaystyle k}$

番号の付いた 3 つの方程式は、ブシネスク近似における基本的な対流方程式です。

この近似の利点は、例えば密度ρ ₁とρ _{2の温水と冷水}の流れを考える場合、単一の密度ρだけを考えればよいため、差Δρ = ρ ₁ − ρ ₂は無視できるほど小さいことである。次元解析により、このような状況下では、重力加速度gを運動方程式に組み込む唯一の合理的な方法は、重力加速度g′を減じることであることが示される^{[説明が必要]。}ここで

${\displaystyle g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho }}.}$

（分母はどちらの密度でも結果に影響しないことに注意してください。変更は ⁠ ⁠${\displaystyle g\left({\tfrac {\Delta \rho }{\rho }}\right)^{2}}$のオーダーであるためです。）最も一般的に使用される無次元数はリチャードソン数とレイリー数です。

したがって、流れの数学は密度比がρ ₁/ρ ₂無次元数 は流れに影響を与えません。ブシネスク近似では、この数は正確に 1 であると仮定できます。

ブシネスク流の特徴の1つは、流体の正体を逆にすれば、上下逆さまに見ても同じように見えることです。ブシネスク近似は、無次元密度差が⁠Δρ​/ρ⁠はおよそ1、つまりΔ ρ ≈ ρです。

たとえば、暖かい部屋の開いた窓を考えてみましょう。室内の暖かい空気は、室内に流れ込んで床に向かって下がっていく外の冷たい空気よりも密度が低いです。では、反対に、暖かい外気にさらされた冷たい部屋を想像してください。ここでは、流入する空気は天井に向かって上昇します。流れがブシネスク流である場合（そして部屋がそれ以外は対称的である場合）、冷たい部屋を上下逆さまに見ることは、暖かい部屋を正面から見るのとまったく同じです。これは、密度が問題に入る唯一の方法が、暖かい部屋の流れから冷たい部屋の流れに変わるときに符号が変わるだけの、 減少した重力g′ を介するためです。

非ブシネスク流の例としては、水中を上昇する気泡が挙げられます。水中を上昇する気泡の挙動は、空気中を落下する水の挙動とは大きく異なります。前者の場合、上昇する気泡は半球状の殻を形成する傾向がありますが、空気中を落下する水は雨滴に分裂します (長さのスケールが小さいと表面張力が問題となり、問題が複雑になります)。

• ジョセフ・ブシネスク(1897)。壮大なセクションを直線的に描くトゥールビヨンナントと液体の渦巻き。 Vol. 1. ゴティエ・ヴィラール。2015 年10 月 10 日に取得。
• クラインシュトロイアー、クレメント (1997)。『工学流体力学 学際的システムアプローチ』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-52-101917-0。
• トリットン、DJ ( 1988)。物理流体力学（第2版）。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-854493-7。