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数学において、離散正弦変換（DST）は、離散フーリエ変換（DFT）に似たフーリエ変換の一種ですが、純粋に実数行列を使用します。これは、実数データに対して奇対称性（実数かつ奇関数のフーリエ変換は虚数かつ奇関数であるため）で作用する、長さがおよそ2倍のDFTの虚数部に相当します。いくつかのバリエーションでは、入力データおよび／または出力データがサンプルの半分だけシフトされます。
DST は、実数および偶関数の DFT に相当する離散コサイン変換(DCT) に関連しています。境界条件がさまざまな DCT および DST タイプとどのように関連しているかについての一般的な議論については、DCT の記事を参照してください。一般に、DST は、x = 0でのノイマン条件をディリクレ条件に置き換えることによって DCT から導出されます。[ 1 ] DCT と DST の両方は、 1974 年にNasir Ahmed、T. Natarajan、およびKR Raoによって記述されました。 [ 2 ] [ 3 ]タイプ I DST (DST-I) は、1976 年にAnil K. Jainによって後に記述され、タイプ II DST (DST-II) は、1978 年に HB Kekra および JK Solanka によって記述されました。[ 4 ]
代数信号処理の観点から見ると、DSTとDCTはどちらも二面体群に関連付けられたスペクトル変換として現れ、境界条件の選択のみが異なります。DCTは対称（偶数、ノイマン）境界に対応し、DSTは反対称（奇数、ディリクレ）境界に対応します。これら2つは、周期境界条件を持つ巡回群のスペクトル変換であるDFTと同様に、二面体群のスペクトル変換の完全なファミリーを形成します。[ 5 ]
DSTはスペクトル法による偏微分方程式の解法に広く用いられており、DSTの様々なバリエーションは、アレイの両端におけるわずかに異なる奇数/偶数の境界条件に対応している。
フーリエ変換に関連する他の変換と同様に、離散正弦変換 (DST) は、関数または信号を、異なる周波数と振幅を持つ正弦波の和として表現します。離散フーリエ変換(DFT) と同様に、DST は有限個の離散データ点における関数に対して作用します。DST と DFT の明らかな違いは、前者が正弦関数のみを使用するのに対し、後者は余弦関数と正弦関数の両方 (複素指数関数の形式) を使用する点です。しかし、この目に見える違いは、より深い違いの結果にすぎません。DST は、DFT や他の関連変換とは異なる境界条件を必要とします。
有限領域上の関数に作用するフーリエ変換（DFT、DST、フーリエ級数など）は、暗黙のうちにその関数の領域外への拡張を定義していると考えることができます。つまり、関数を記述すると、正弦波の和として、任意の点でその和を評価できますたとえ元の指定されていませんでした。DFTは、フーリエ級数と同様に、元の関数の周期的な拡張を意味します。DSTは、正弦変換と同様に、元の関数の奇数的な拡張を意味します。
しかし、DSTは有限の離散シーケンスで動作するため、連続正弦変換には適用されない2つの問題が生じます。まず、関数が定義域の左端と右端の両方で偶関数か奇関数かを指定する必要があります（つまり、以下の定義ではそれぞれmin -n境界とmax- n境界）。次に、関数が偶関数か奇関数かを指定する必要があります。特に、等間隔の3つのデータ点のシーケンス（a、b、c ）を考え、左端を奇関数と指定するとします。考えられる可能性は2つあります。1つは、データがaの前の点に関して奇関数である場合で、この場合、奇関数の拡張は（-c 、-b、-a、0、a、b、c ）になります。もう1つは、データがaと前の点の中間の点に関して奇関数である場合で、この場合、奇関数の拡張は（-c 、 -b 、-a 、 a 、 b 、 c ）になります。
これらの選択により、DST のすべての標準的なバリエーションと離散コサイン変換(DCT) が実現します。各境界は偶数または奇数 (境界ごとに 2 つの選択肢) のいずれかになり、データ ポイントまたは 2 つのデータ ポイントの中間点 (境界ごとに 2 つの選択肢) に関して対称になります。合計で可能性。これらの可能性のうち、左端が奇数である半分は8種類のDSTに対応し、残りの半分は8種類のDCTに対応します。
これらの異なる境界条件は変換の適用範囲に大きな影響を与え、様々なDCTタイプに特有の有用な特性をもたらします。最も直接的な例として、スペクトル法を用いて偏微分方程式を解く際にフーリエ変換を用いる場合、境界条件は解くべき問題の一部として直接指定されます。
形式的には、離散正弦変換は線形かつ可逆な関数F : R N → R N (ここでR は実数の集合を表す) 、または同等にN × Nの正方行列である。DST には、定義をわずかに変更したいくつかのバリエーションがある。N個の実数x 0、 …、x N −1は、次の式のいずれかに従って、N 個の実数X 0、 …、X N −1に変換される。
DST-I行列は（スケールファクターを除いて）直交行列である。
DST-I は、ゼロ番目と中間点付近で奇数である実数列の DFT を 1/2 倍にスケーリングしたものと完全に等価です。たとえば、N = 3 個の実数 ( a、b、c ) の DST-I は、 8 個の実数 (0、a、b、c、 0、− c 、 − b、− a ) (奇対称性)の DFT を1/2倍にスケーリングしたものと完全に等価です。(対照的に、DST タイプ II ～ IV では、等価 DFT にサンプルの半分のシフトが含まれます。) これが、正弦関数の分母にN + 1 がある理由です。等価 DFT は 2( N +1) 個の点を持ち、正弦波周波数が 2π/2( N +1) であるため、DST-I の周波数は π/( N +1) になります。
したがって、DST-I は境界条件に対応します。x n はn = −1の周りで奇数であり、 n = Nの周りで奇数です。X kについても同様です。
一部の著者は、 X N − 1 の項に 1/ √2をさらに掛けます（DST-III における対応する変更については後述）。これにより、DST-II 行列は（スケール係数を除いて）直交しますが、半シフト入力の実奇 DFT との直接的な対応関係が崩れます。
DST-IIは境界条件を意味します。x nはn = −1/2の周りで奇数であり、n = N − 1/2の周りでも奇数です。X kはk = −1の周りで奇数であり、 k = N − 1の周りで偶数です。
一部の著者は、 x N − 1 の項にさらに√ 2を掛けます(DST-II における対応する変更については上記を参照)。これにより、DST-III 行列は(スケール係数を除いて)直交しますが、半シフト出力の実奇 DFT との直接的な対応関係が崩れます。
DST-IIIは境界条件を意味します。x nはn = −1の周りでは奇数、n = N − 1の周りでは偶数です。X kはk = −1/2の周りでは奇数、 k = N − 1/2の周りでは奇数です。
DST-IV行列は（スケールファクターを除いて）直交行列である。
DST-IVは境界条件を意味します。x nはn = −1/2の周りで奇数、n = N − 1/2の周りで偶数です。X kについても同様です。
DSTタイプI～IVは、偶数次の実数奇数DFTに相当します。原理的には、論理的に奇数次の実数奇数DFTに対応する、正弦引数の分母にN +1/2の因子を持つ離散正弦変換（Martucci、1994）がさらに4種類存在します。しかし、これらの変種は実際にはほとんど使用されていないようです。
DST-I の逆演算は、DST-I に 2/( N + 1) を掛けたものです。DST-IV の逆演算は、DST-IV に 2/ Nを掛けたものです。DST-II の逆演算は、DST-III に 2/ Nを掛けたものです（逆も同様です）。
DFTに関しては、これらの変換定義の前に付いている正規化係数は単なる慣例であり、処理方法によって異なります。たとえば、一部の著者は変換に を掛けています。そのため、逆数には追加の乗法因子は必要ありません。
これらの公式を直接適用するにはO( N² )回の演算が必要ですが、高速フーリエ変換（FFT）と同様の計算を因数分解することで、 O( N log N )の計算量で同じことを計算することが可能です。（FFTとO( N )回の前処理および後処理ステップを組み合わせることで、DSTを計算することもできます。）
DST-IIIまたはDST-IVは、それぞれDCT-IIIまたはDCT-IV（離散コサイン変換を参照）から、入力の順序を反転し、他のすべての出力の符号を反転することによって計算できます。また、DCT-IIからDST-IIを計算する場合も同様です。このようにして、DSTのタイプII～IVは、対応するDCTタイプとまったく同じ数の算術演算（加算と乗算）を必要とすることがわかります。
正弦関数と双曲線正弦関数からなる変換のファミリーが存在する。これらの変換は、異なる境界条件を持つ薄い正方形プレートの自然な振動に基づいて作られる。[ 6 ]
![{\displaystyle {\begin{aligned}X_{k}&=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N+1}}(n+1)(k+1)\right]&k&=0,\dots ,N-1\\X_{k-1}&=\sum _{n=1}^{N}x_{n-1}\sin \left[{\frac {\pi nk}{N+1}}\right]&k&=1,\dots ,N\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219e4eea1bb20a68f1e63c6b282b7f0fac410d30)
![{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec4a97c9d25b6266d25cd0d66623125a8732469)
![{\displaystyle X_{k}={\frac {(-1)^{k}}{2}}x_{N-1}+\sum _{n=0}^{N-2}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}(n+1)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf69b9150d88dbb7ad408958aefaa7b3338ca50)
![{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d240979de077d6ef8b3b352dd1b2da2158fd1c88)
