三角積分

数学において、三角積分は三角関数を含む非初等積分の一種です。

正弦積分の様々な定義は $${\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$$ $${\displaystyle \operatorname {si} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt~.}$$

積分関数はsinc 関数であり、また 0 番目の球面ベッセル関数でもあることに注意してください。sinc は偶数整関数 (複素平面全体にわたって正則) であるため、Siは整奇数であり、その定義における積分は端点を結ぶ 任意のパスに沿って実行できます。${\displaystyle {\frac {\sin(t)}{t}}}$

定義により、Si( x ) はsin x / xの不変積分であり、 x = 0で値がゼロになります。また、si( x ) は、 x = ∞で値がゼロになる不変積分です。それらの差はディリクレ積分によって与えられます。 $${\displaystyle \operatorname {Si} (x)-\operatorname {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ または }}\quad \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}+\operatorname {si} (x)~.}$$

信号処理では、正弦積分の振動により、sinc フィルターの使用時にオーバーシュートやリンギング アーティファクトが発生し、切り捨てられた sinc フィルターをローパス フィルターとして使用すると周波数領域リンギングが発生します。

ギブス現象が関連しています。正弦積分をsinc関数とヘビサイドステップ関数の畳み込みと見なすと、これはフーリエ級数の切り捨てに対応し、ギブス現象の原因となります。

さまざまな余弦積分の定義は 次のとおりです。γ ≈ 0.57721566 ...はオイラー・マスケローニ定数です。テキストによっては、Ci の代わりにci が使用されることがあります。 $${\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt~,}$$ $${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt=\gamma +\ln x-\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}$$

Ci( x )はcos x / xの不定積分である（ で消える）。この2つの定義は次のように関連している。 ${\displaystyle x\to \infty }$$${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Cin} (x)~.}$$

Cin は偶数で完全な関数です。そのため、一部のテキストではCin を主関数として扱い、Cinに基づいてCi を導出します。

双曲正弦積分は次のように定義される。 $${\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh(t)}{t}}\,dt.}$$

これは通常の正弦積分と次の式で関係している。 $${\displaystyle \operatorname {Si} (ix)=i\operatorname {Shi} (x).}$$

双曲余弦積分は

$${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}$$ ここで、 はオイラー・マスケローニ定数です。 ${\displaystyle \gamma }$

シリーズ展開あり $${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln(x)+{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x^{4}}{96}}+{\frac {x^{6}}{4320}}+{\frac {x^{8}}{322560}}+{\frac {x^{10}}{36288000}}+O(x^{12}).}$$

三角積分は、いわゆる「補助関数」 の観点から理解することができます 。これらの関数を使用すると、三角積分は次のように再表現されます（Abramowitz & Stegun、p. 232を参照）。 $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}\,dt&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&\operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)~,\\g(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}\,dt&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)~.\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)=-\operatorname {si} (x)&=&f(x)\cos(x)+g(x)\sin(x)~,\qquad {\text{ and }}\\\operatorname {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)~.\\\end{array}}}$$

si、ciのパラメトリック プロットによって形成される螺旋は、ニールセンの螺旋として知られています。 $${\displaystyle x(t)=a\times \operatorname {ci} (t)}$$ $${\displaystyle y(t)=a\times \operatorname {si} (t)}$$

螺旋はフレネル積分やオイラー螺旋と密接な関係がある。ニールセン螺旋は、視覚処理、道路や線路の建設などの分野で応用されている。^[1]

引数の範囲に応じて、三角積分の評価にさまざまな展開を使用できます。

$${\displaystyle \operatorname {Si} (x)\sim {\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)\sim {\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)~.}$$

これらの級数は漸近的で発散しますが、推定やℜ( x )≫1での正確な評価にも使用できます。

$${\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots }$$ $${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots }$$

これらの級数は任意の複素数xで収束しますが、 | x | ≫ 1の場合、級数は最初はゆっくり収束し、高精度のために多くの項が必要になります。

正弦のマクローリン級数展開から: $${\displaystyle \sin \,x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-{\frac {x^{11}}{11!}}+\cdots }$$ $${\displaystyle {\frac {\sin \,x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{9!}}-{\frac {x^{10}}{11!}}+\cdots }$$ $${\displaystyle \therefore \int {\frac {\sin \,x}{x}}dx=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+{\frac {x^{9}}{9!\cdot 9}}-{\frac {x^{11}}{11!\cdot 11}}+\cdots }$$

この関数は 指数積分 と呼ばれ、 SiおよびCiと密接に関係しています。 $${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\Re (z)\geq 0}$$$${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+\operatorname {Si} (x)\right)-\operatorname {Ci} (x)=i\operatorname {si} (x)-\operatorname {ci} (x)\qquad ~{\text{ for }}~x>0~.}$$

それぞれの関数は、引数の負の値でのカットを除いて解析的であるため、関係の有効領域は（この範囲外では、πの整数因数である追加の項が式に現れます）まで拡張される必要があります。

一般化積分指数関数の虚数引数の例は、 実部が $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\cos(ax){\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(-a^{2})^{n}}{(2n)!(2n)^{2}}}~,}$$$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-{\frac {\pi }{2}}i\left(\gamma +\ln a\right)+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n}}{n!n^{2}}}~.}$$

同様に $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx=1+ia\left[-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-\ln a+1\right]+{\frac {\pi a}{2}}{\Bigl (}\gamma +\ln a-1{\Bigr )}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}~.}$$

収束テイラー級数のパデ近似は、引数が小さい関数を評価する効率的な方法を提供する。Rowe et al. (2015) ^{[2]によって与えられた次の式は、} 0 ≤ x ≤ 4に対して10 ⁻¹⁶以上の精度である。 $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\operatorname {Si} (x)&\approx &x\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1-4.54393409816329991\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+1.15457225751016682\cdot 10^{-3}\cdot x^{4}-1.41018536821330254\cdot 10^{-5}\cdot x^{6}\\~~~+9.43280809438713025\cdot 10^{-8}\cdot x^{8}-3.53201978997168357\cdot 10^{-10}\cdot x^{10}+7.08240282274875911\cdot 10^{-13}\cdot x^{12}\\~~~-6.05338212010422477\cdot 10^{-16}\cdot x^{14}\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.01162145739225565\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+4.99175116169755106\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+1.55654986308745614\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+3.28067571055789734\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+4.5049097575386581\cdot 10^{-13}\cdot x^{10}+3.21107051193712168\cdot 10^{-16}\cdot x^{12}\end{array}}}\right)\\&~&\\\operatorname {Ci} (x)&\approx &\gamma +\ln(x)+\\&&x^{2}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}-0.25+7.51851524438898291\cdot 10^{-3}\cdot x^{2}-1.27528342240267686\cdot 10^{-4}\cdot x^{4}+1.05297363846239184\cdot 10^{-6}\cdot x^{6}\\~~~-4.68889508144848019\cdot 10^{-9}\cdot x^{8}+1.06480802891189243\cdot 10^{-11}\cdot x^{10}-9.93728488857585407\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.1592605689110735\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+6.72126800814254432\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+2.55533277086129636\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+6.97071295760958946\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+1.38536352772778619\cdot 10^{-12}\cdot x^{10}+1.89106054713059759\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\~~~+1.39759616731376855\cdot 10^{-18}\cdot x^{14}\\\end{array}}}\right)\end{array}}}$$

積分は、次のように定義される 補助関数 およびを介して間接的に評価することができる。${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$

以下に示すパデ有理関数は近似値であり、誤差は10 ⁻¹⁶未満である。^[2]${\displaystyle x\geq 4}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&\approx &{\dfrac {1}{x}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+7.44437068161936700618\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.96396372895146869801\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.37750310125431834034\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.43073403821274636888\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.33736238870432522765\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+6.40533830574022022911\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+4.20968180571076940208\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.00795182980368574617\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+4.94816688199951963482\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-4.94701168645415959931\cdot 10^{11}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+7.46437068161927678031\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.97865247031583951450\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.41535670165126845144\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.47478952192985464958\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.58595115847765779830\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+7.08501308149515401563\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+5.06084464593475076774\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.43468549171581016479\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+1.11535493509914254097\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\&&\\g(x)&\approx &{\dfrac {1}{x^{2}}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+8.1359520115168615\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.35239181626478200\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.12557570795778731\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.06297595146763354\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+6.83052205423625007\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.09049528450362786\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+7.57664583257834349\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.81004487464664575\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+6.43291613143049485\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-1.36517137670871689\cdot 10^{12}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+8.19595201151451564\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.40036752835578777\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.26026661647090822\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.23355543278099360\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+7.87465017341829930\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.39866710696414565\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+1.17164723371736605\cdot 10^{13}\cdot x^{-14}+4.01839087307656620\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+3.99653257887490811\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\\end{array}}}$$

• 対数積分
• Tanc関数
• Tanhc関数
• Sinhc関数
• Coshc関数

• http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
• 「積分正弦」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「積分余弦」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]