三角関数多項式

数値解析および数理解析の数学分野において、三角多項式は、 nが 1 つ以上の自然数の値をとる関数sin( nx ) と cos( nx )の有限線形結合です。実数値関数の場合、係数は実数とすることができます。複素係数の場合、このような関数と有限フーリエ級数との間に違いはありません。

三角多項式は、例えば周期関数の補間に用いられる 三角補間など、広く利用されている。また、離散フーリエ変換にも用いられる。

実数値の場合の三角多項式という用語は、類推を用いると、関数 sin( nx ) と cos( nx ) が多項式の単項式基底に似ていると考えることができます。複素数の場合、三角多項式は、正と負のべき乗によって張られます。${\displaystyle e^{ix}}$すなわち、ローラン多項式${\displaystyle z}$変数変換の下で${\displaystyle x\mapsto z:=e^{ix}}$。

形式の任意の関数T

$${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos nx+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin nx\qquad (x\in \mathbb {R} )}$$

複素数値係数を持つ${\displaystyle a_{n}}$そして${\displaystyle b_{n}}$そして、最高次数係数の少なくとも1つ${\displaystyle a_{N}}$そして${\displaystyle b_{N}}$ゼロでないものは、次数Nの複素三角多項式と呼ばれます。^{[ 1 ]}コサインとサインは、虚数変数の指数関数の偶数部分と奇数部分です。 $${\displaystyle \cos nx={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}e^{inx}+e^{-inx}{\bigr )},\quad \sin nx=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}e^{inx}-e^{-inx}{\bigr )},}$$ したがって、三角多項式は次のように書き換えることもできます。 $${\displaystyle T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\qquad (x\in \mathbb {R} ),}$$ 複素係数を持つ${\displaystyle c_{0}=a_{0}}$そして​ $${\displaystyle \quad c_{k}={\tfrac {1}{2}}(a_{k}-b_{k}i),\quad c_{-k}={\tfrac {1}{2}}(a_{k}+b_{k}i),}$$すべての人 にとって${\displaystyle k}$1から​${\displaystyle N}$⁠ .

係数が${\displaystyle a_{n}}$そして${\displaystyle b_{n}}$すべてにとって現実です${\displaystyle n}$⁠、それから⁠${\displaystyle T}$は実三角多項式と呼ばれます。 ^{[ 2 ]}指数形式を使用する場合、複素係数は以下を満たします。${\displaystyle c_{-n}={\overline {c}}_{n}}$すべての人々のために${\displaystyle n\in [-N,N]}$[ ^{3 ]​}

三角多項式は実数直線上の周期関数とみなすことができ、その周期は の約数である。${\displaystyle 2\pi }$⁠ 、または単位円上の関数として。

三角多項式は、単位円上の連続関数の空間において、一様ノルムで稠密である。^{[ 4 ]}これはストーン・ワイエルシュトラスの定理の特殊な場合である。より具体的には、すべての連続関数に対して、${\displaystyle f}$そしてすべての${\displaystyle \epsilon >0}$三角多項式が存在する${\displaystyle T}$⁠そのため${\displaystyle |f(z)-T(z)|<\epsilon }$すべての人にとって${\displaystyle z}$フェージャーの定理によれば、フーリエ級数の部分和の算術平均は${\displaystyle f}$⁠は一様に収束する⁠${\displaystyle f}$提供された${\displaystyle f}$は円上で連続です。これらの部分和は近似に使用できます。${\displaystyle f}$⁠ .

次数の三角多項式${\displaystyle N}$最大は​${\displaystyle 2N}$実数区間における根${\displaystyle [a,a+2\pi )}$ゼロ関数でない限り。^{[ 5 ]}

フェイェール・リース定理は、すべての正の実三角多項式 が$${\displaystyle t(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx},}$$ 満足${\displaystyle t(x)>0}$すべての人々のために${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$は、別の（通常は複素数の）三角多項式の絶対値の二乗として表すことができる。${\displaystyle q(x)}$そのため：^{[ 6 ]}$${\displaystyle t(x)=|q(x)|^{2}=q(x){\overline {q(x)}}.}$$ あるいは同等に、すべてのローラン多項式$${\displaystyle w(z)=\sum _{n=-N}^{N}w_{n}z^{n},}$$ と${\displaystyle w_{n}\in \mathbb {C} }$満たす${\displaystyle w(\zeta )\geq 0}$すべての人々のために${\displaystyle \zeta \in \mathbb {T} }$次のように書くことができます。 $${\displaystyle w(\zeta )=|p(\zeta )|^{2}=p(\zeta ){\overline {p(\zeta )}},}$$ ある多項式に対して $${\displaystyle p(z)=p_{0}+p_{1}z+\cdots +p_{N}z^{N},}$$ そして${\displaystyle p(z)}$オープンユニットディスクにゼロがないように選択できます${\displaystyle \mathbb {D} }$^{[ 7 ] [ 8 ]}フェイェール・リース定理はスペクトル理論と多項式の因数分解において自然に現れる。${\displaystyle w(\zeta )=p(\zeta ){\overline {p(\zeta )}}}$これは、のスペクトル分解（またはウィーナー・ホップ分解）とも呼ばれる。${\displaystyle w(\zeta )}$[ ^{9 ]​}

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