正弦波モデル

統計学、信号処理、時系列解析では、正弦波モデルを使用してシーケンスY _{i を}正弦関数に近似します。

${\displaystyle Y_{i}=C+\alpha \sin(\omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

ここで、C は平均レベルを定義する定数、α は正弦波の振幅、ω は角周波数、T _iは時間変数、φ は位相シフト、E _{i は}誤差シーケンスです。

この正弦波モデルは、非線形最小二乗法を使用して近似できます。適切な近似値を得るには、ルーチンで未知のパラメータの適切な開始値が必要になる場合があります。単一の正弦波を使用してモデルを近似することは、スペクトル密度推定と最小二乗スペクトル解析の特殊なケースです。

Cの適切な初期値は、データの平均を計算することによって得ることができます。データが傾向を示している場合、つまり、一定の位置の仮定が破られている場合、 Cを線形または2次最小二乗近似に置き換えることができます。つまり、モデルは次のようになります。

${\displaystyle Y_{i}=(B_{0}+B_{1}T_{i})+\alpha \sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

または

${\displaystyle Y_{i}=(B_{0}+B_{1}T_{i}+B_{2}T_{i}^{2})+\alpha \sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

周波数の開始値は、ピリオドグラムの主要周波数から取得できます。複雑な復調位相プロットを使用して、この周波数の初期推定値を精度よく算出できます。^{[引用が必要]}

トレンド除去されたデータの二乗平均平方根を2 の平方根でスケーリングすると、正弦波振幅の推定値が得られます。複素復調振幅プロットを使用して、振幅の適切な開始値を検索できます。さらに、このプロットは、振幅がデータの範囲全体で一定であるかどうか、または変化するかどうかを示します。プロットが基本的に平坦、つまり傾斜がゼロの場合、非線形モデルで振幅が一定であると想定するのが妥当です。ただし、傾斜がプロットの範囲全体で変化する場合は、モデルを次のように調整する必要があります。

${\displaystyle Y_{i}=C+(B_{0}+B_{1}T_{i})\sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

つまり、α を時間の関数に置き換えることができます。上記のモデルでは線形近似が指定されていますが、必要に応じてより複雑な関数に置き換えることができます。

あらゆる統計モデルと同様に、適合はモデル検証のグラフィカルおよび定量的手法にかけられる必要があります。たとえば、実行シーケンス プロットを使用して、場所、スケール、開始効果、外れ値に有意な変化がないか確認します。ラグ プロットを使用して、残差が独立していることを確認できます。外れ値はラグ プロットにも表示され、ヒストグラムと正規確率プロットを使用して、残差の歪度やその他の非正規性を確認します。

別の方法としては、便利な積分方程式を利用して非線形回帰を線形回帰に変換する方法があります。この方法では、初期推定や反復処理は必要なく、フィッティングが直接得られます。^[1]

• ピッチ検出アルゴリズム
• スペクトル密度推定 § 単音

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 この記事には、国立標準技術研究所の パブリックドメイン資料が組み込まれています。