計算流体力学

有限体積法（FVM）は、特に大規模な問題、高レイノルズ数乱流、ソース項が支配的な流れ（燃焼など）において、メモリ使用量と解の速度に利点があるため、CFDコードでよく使用される手法です。^{[ 53 ]}

有限体積法では、支配偏微分方程式（通常はナビエ・ストークス方程式、質量およびエネルギー保存方程式、乱流方程式）を保存形式に書き換え、離散的な制御体積上で解く。この離散化により、特定の制御体積を通過する流量の保存が保証される。有限体積方程式は、次の形式の支配方程式を与える。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\iiint Q\,dV+\iint F\,d\mathbf {A} =0,}$

どこ${\displaystyle Q}$は保存変数のベクトルです。${\displaystyle F}$はフラックスのベクトルです（オイラー方程式またはナビエ・ストークス方程式を参照）。${\displaystyle V}$は制御ボリューム要素の体積であり、${\displaystyle \mathbf {A} }$は、制御体積要素の表面積です。

有限要素法 (FEM) は固体の構造解析に使用されますが、流体にも適用できます。ただし、FEM の定式化では、保存解を保証するために特別な注意が必要です。FEM の定式化は、流体力学の支配方程式で使用するために適応されています。^{[ 54 ] [ 55 ]} FEM は保存解となるように慎重に定式化する必要がありますが、有限体積法よりもはるかに安定しています。^{[ 56 ]}また、FEM は、FVM と比較して、滑らかな問題に対してより正確な解を提供します。^{[ 57 ]} FEM のもう 1 つの利点は、複雑な形状と境界条件を扱うことができることです。ただし、FEM は、FVM よりも多くのメモリを必要とし、解を求めるのに時間がかかります。^{[ 57 ]}

この方法では、重み付き残差方程式が作成されます。

${\displaystyle R_{i}=\iiint W_{i}Q\,dV^{e}}$

どこ${\displaystyle R_{i}}$要素頂点における方程式の残差は${\displaystyle i}$、${\displaystyle Q}$保存方程式は要素ベースで表現されています。${\displaystyle W_{i}}$は重量係数であり、${\displaystyle V^{e}}$は要素の体積です。

有限差分法（FDM）は歴史的に重要な手法であり^{[ 55 ]}、プログラミングも簡単です。現在では、埋め込み境界や重なり合うグリッド（各グリッドにわたって解を補間する）を使用することで、複雑な形状を高精度かつ効率的に処理する少数の特殊なコードでのみ使用されています。

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}+{\frac {\partial H}{\partial z}}=0}$

どこ${\displaystyle Q}$は保存変数のベクトルであり、${\displaystyle F}$、${\displaystyle G}$、 そして${\displaystyle H}$フラックスは${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、 そして${\displaystyle z}$それぞれ方向を示します。

スペクトル要素法は有限要素法の一種です。この方法では、数学的な問題（偏微分方程式）を弱形式に変換する必要があります。これは通常、微分方程式に任意のテスト関数を乗じ、全領域にわたって積分することによって行われます。純粋に数学的には、テスト関数は完全に任意であり、無限次元関数空間に属します。明らかに、無限次元関数空間は離散的なスペクトル要素メッシュ上に表現することはできません。これがスペクトル要素の離散化の出発点です。最も重要なのは、補間関数とテスト関数の選択です。標準的な2次元低次FEMでは、四角形要素の場合、最も一般的な選択肢は、次の形式の双線形テスト関数または補間関数です。${\displaystyle v(x,y)=ax+by+cxy+d}$. In a spectral element method however, the interpolating and test functions are chosen to be polynomials of a very high order (typically e.g. of the 10th order in CFD applications). This guarantees the rapid convergence of the method. Furthermore, very efficient integration procedures must be used, since the number of integrations to be performed in numerical codes is big. Thus, high order Gauss integration quadratures are employed, since they achieve the highest accuracy with the smallest number of computations to be carried out. At the time there are some academic CFD codes based on the spectral element method and some more are currently under development, since the new time-stepping schemes arise in the scientific world.

The lattice Boltzmann method (LBM) with its simplified kinetic picture on a lattice provides a computationally efficient description of hydrodynamics. Unlike the traditional CFD methods, which solve the conservation equations of macroscopic properties (i.e., mass, momentum, and energy) numerically, LBM models the fluid consisting of fictive particles, and such particles perform consecutive propagation and collision processes over a discrete lattice mesh. In this method, one works with the discrete in space and time version of the kinetic evolution equation in the Boltzmann Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) form.

The vortex method, also Lagrangian Vortex Particle Method, is a meshfree technique for the simulation of incompressible turbulent flows. In it, vorticity is discretized onto Lagrangian particles, these computational elements being called vortices, vortons, or vortex particles.^[58] Vortex methods were developed as a grid-free methodology that would not be limited by the fundamental smoothing effects associated with grid-based methods. To be practical, however, vortex methods require means for rapidly computing velocities from the vortex elements – in other words they require the solution to a particular form of the N-body problem (in which the motion of N objects is tied to their mutual influences). This breakthrough came in the 1980s with the development of the Barnes-Hut and fast multipole method (FMM) algorithms. These paved the way to practical computation of the velocities from the vortex elements.

Software based on the vortex method offer a new means for solving tough fluid dynamics problems with minimal user intervention. All that is required is specification of problem geometry and setting of boundary and initial conditions. Among the significant advantages of this modern technology;

• It is practically grid-free, thus eliminating numerous iterations associated with RANS and LES.
• すべての問題は同一の方法で処理されます。モデリングやキャリブレーションのための入力データは一切必要ありません。
• 音響の正確な解析に不可欠な時系列シミュレーションが可能である。
• 小規模と大規模の両方が同時に正確にシミュレーションされる。

境界要素法では、流体が存在する境界を表面メッシュに分割する。

高解像度スキームは、衝撃や不連続性が存在する場合に使用されます。解の急激な変化を捉えるには、偽の振動を引き起こさない2次以上の数値スキームを使用する必要があります。通常、これは解が全変動減少となるように、フラックスリミッターを適用する必要があることを意味します。

レイノルズ平均ナビエ・ストークス（RANS）方程式は、乱流モデリングの最も古い手法です。支配方程式のアンサンブルバージョンが解かれ、レイノルズ応力と呼ばれる新しい見かけの応力が導入されます。これにより、さまざまなモデルが異なるレベルの閉鎖を提供することができる2階の未知数テンソルが追加されます。RANS方程式は「時間平均」であるため、平均流が時間的に変化する流れには適用できないという誤解がよくあります。実際には、統計的に非定常（または非定常）の流れも同様に扱うことができます。これはURANSと呼ばれることもあります。レイノルズ平均化にはこれを妨げる本質的なものはありませんが、方程式を閉じるために使用される乱流モデルは、平均の変化が発生する時間が、エネルギーの大部分を含む乱流運動の時間スケールに比べて大きい場合にのみ有効です。

RANSモデルは大きく2つのアプローチに分けられます。

ブシネスク仮説

この方法は、乱流粘性を決定するレイノルズ応力の代数方程式を使用し、モデルの洗練度に応じて、乱流運動エネルギーと散逸を決定するための輸送方程式を解くことを含みます。モデルには、k-ε ( LaunderとSpalding ) ^{[ 59 ]} 、混合長モデル ( Prandtl ) ^{[ 60 ]} 、ゼロ方程式モデル (Cebeci とSmith ) ^{[ 60 ]}などがあります。このアプローチで利用可能なモデルは、その方法に関連付けられた輸送方程式の数によって呼ばれることがよくあります。たとえば、混合長モデルは輸送方程式を解かないため、「ゼロ方程式」モデルです。${\displaystyle k-\epsilon }$これは「2方程式」モデルです。なぜなら、2つの輸送方程式（1つは${\displaystyle k}$そして1つは${\displaystyle \epsilon }$）は解決済みです。

レイノルズ応力モデル（RSM）

この手法では、レイノルズ応力に関する輸送方程式を実際に解こうとします。つまり、すべてのレイノルズ応力に対して複数の輸送方程式を導入する必要があるため、CPU処理負荷が非常に高くなります。

ラージエディシミュレーション（LES）は、流れの最小スケールをフィルタリング処理によって除去し、その影響をサブグリッドスケールモデルを用いてモデル化する手法です。これにより、乱流の最大かつ最も重要なスケールを解像できると同時に、最小スケールで発生する計算コストを大幅に削減できます。この手法はRANS法よりも多くの計算リソースを必要としますが、DNSよりははるかに安価です。

分離渦シミュレーション(DES) は、RANS モデルの改良版であり、LES 計算に十分な細かさの領域ではサブグリッドスケール定式化に切り替わります。固体境界付近で乱流長さスケールが最大グリッド寸法より小さい領域には、RANS モードの解法が割り当てられます。乱流長さスケールがグリッド寸法を超えると、これらの領域は LES モードを使用して解かれます。したがって、DES のグリッド解像度は純粋な LES ほど要求されず、計算コストを大幅に削減できます。DES は当初 Spalart-Allmaras モデル (Philippe R. Spalart et al., 1997) 用に定式化されましたが、RANS モデルに明示的または暗黙的に含まれる長さスケールを適切に変更することで、他の RANS モデル (Strelets, 2001) にも実装できます。したがって、Spalart-Allmaras モデルに基づく DES は壁モデル付き LES として機能しますが、他のモデル (2 方程式モデルなど) に基づく DES はハイブリッド RANS-LES モデルとして機能します。 RANS-LES切り替えがあるため、グリッド生成は単純なRANSやLESの場合よりも複雑になります。DESは非ゾーンアプローチであり、解のRANS領域とLES領域全体にわたって単一の滑らかな速度場を提供します。

直接数値シミュレーション（DNS）は乱流の長さスケールの全範囲を解像します。これによりモデルの影響は小さくなりますが、非常にコストがかかります。計算コストは${\displaystyle Re^{3}}$[ ^{61 ] DNSは、}複雑な形状や流れの構成を持つ流れには扱いにくい。

コヒーレント渦シミュレーション法は、乱流場を、組織化された渦運動からなるコヒーレント部分と、ランダムな背景流であるインコヒーレント部分に分解します。^{[ 62 ]}この分解はウェーブレットフィルタリング を使用して行われます。この手法は、分解を使用し、フィルタリングされた部分のみを解像するという点でLESと多くの共通点がありますが、線形ローパスフィルタを使用しない点で異なります。代わりに、フィルタリング操作はウェーブレットに基づいており、フィルタは流れ場の進化に合わせて適応できます。FargeとSchneiderは、 2つの流れ構成でCVS法をテストし、流れのコヒーレント部分が${\displaystyle -{\frac {40}{39}}}$全流によって示されるエネルギー スペクトルは、コヒーレント構造 (渦管) に対応し、一方、流れの非コヒーレント部分は均質な背景ノイズを構成し、組織化された構造は示さなかった。Goldstein と Vasilyev ^{[ 63 ]}は FDV モデルをラージ エディ シミュレーションに適用したが、ウェーブレット フィルタがサブフィルタ スケールからすべてのコヒーレント運動を除去するとは仮定しなかった。LES と CVS フィルタリングの両方を使用することで、SFS 散逸は SFS 流れ場のコヒーレント部分によって支配されていることを示した。

乱流の確率密度関数(PDF) 法は、最初にLundgrenによって導入され、^{[ 64 ]}速度の 1 点 PDF を追跡することに基づいています。${\displaystyle f_{V}({\boldsymbol {v}};{\boldsymbol {x}},t)d{\boldsymbol {v}}}$これは、その点における速度の確率を示す。${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$間にいる${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$そして${\displaystyle {\boldsymbol {v}}+d{\boldsymbol {v}}}$このアプローチは、気体の巨視的特性が多数の粒子によって記述される気体の運動論に類似しています。 PDF法は、さまざまな乱流モデルの枠組みで適用できるという点で独特です。主な違いは、PDF輸送方程式の形式にあります。たとえば、ラージエディシミュレーションのコンテキストでは、PDFはフィルタリングされたPDFになります。^{[ 65 ]} PDF法は化学反応を記述するためにも使用でき、^{[ 66 ] [ 67 ]}化学ソース項が閉じておりモデルを必要としないため、化学反応流のシミュレーションに特に役立ちます。 PDFは、一般的にラグランジュ粒子法を使用して追跡されます。ラージエディシミュレーションと組み合わせると、サブフィルタ粒子の進化に関するランジュバン方程式になります。

渦度閉じ込め（VC）法は、乱流後流のシミュレーションに用いられるオイラー法です。孤立波のようなアプローチを用いて、数値的な広がりを起こさずに安定した解を生成します。VC法は、わずか2グリッドセル以内の微細な特徴を捉えることができます。これらの特徴内では、有限差分方程式ではなく、非線形差分方程式が解かれます。VC法は、保存則が満たされる衝撃波捕捉法に似ており、重要な積分量が正確に計算されます。

線形渦モデルは、乱流で発生する対流混合をシミュレートするために使用される手法です。^{[ 68 ]}具体的には、ベクトル流場内のスカラー変数の相互作用を数学的に記述する方法を提供します。広範囲の長さスケールとレイノルズ数に適用できるため、主に乱流の一次元表現で使用されます。このモデルは、広範囲の流れ条件にわたって有効な高解像度の予測を提供するため、一般的に、より複雑な流れ表現の構成要素として使用されます。