流体体積法

数値流体力学において、流体体積法 (VOF) は自由表面モデリング技術の一種であり、自由表面(または流体-流体界面)を追跡して位置を特定するための数値技術です。これらはオイラー法の一種であり、界面の形状の変化に合わせてメッシュが静止しているか、特定の方法で移動しているという特徴があります。そのため、VOF 法は界面の形状と位置を捉える移流スキームですが、独立した流れ解析アルゴリズムではありません。流れの動きを表すナビエ-ストークス方程式を別途解く必要があります。

流体体積法は、ロスアラモス国立研究所で開発された初期のマーカーアンドセル（MAC）法^{[1] [2]}に基づいています。MAC は、固定オイラー格子内の流体の分布を追跡するためにラグランジュマーカー粒子を使用しました。マーカー粒子の使用は、離散マーカー粒子が格子セル間を移動するときの数値ノイズを減らすために格子セルごとに多くのマーカー粒子が必要になったため、計算コストがかかりました。VOF 法の元々のアイデアは、マーカー粒子を、格子セルあたりの流体の体積分率を表す単一のスカラー変数に置き換えるというものでした。これにより、流体の体積は移流方程式によって決まります。このアイデアは、蒸気体積変数を使用するのが慣例であった 2 相混合物（水と蒸気）の問題の研究から生まれました。^[3] VOF アプローチは、1975 年の出版物「物体を過ぎる多次元の過渡的自由表面流を計算する方法」で Nichols と Hirt によって初めて実証されました。^[4]この出版物では、ドナー-アクセプター方式で流体分率を移流させる方法、表面セル内の自由表面の向きと位置を推定する方法、自由表面で適切な境界条件 (連続性とゼロせん断応力) を規定する方法が説明されています。このアプローチは、流体の表面を追跡する他の手法よりもはるかに単純ですが、流体領域の合体と分裂をモデル化できるため、より汎用性があります。1976 年に、Noh と Woodward ^[5]は、体積分率に基づいて流体界面を近似する手法である Simple Line Interface Calculation (SLIC) を発表しました。これは、体積分率の方向分割移流スキーム用に設計されています。SLIC は、グリッド セルごとに任意の数の非混和性流体相も処理できます。そのため、SLIC は VOF アプローチによく適合していましたが、2 つの方法は当初は独立しており、90 年代まで別々のままでした。 「流体体積法」という用語とその頭字語「VOF法」は、1980年のロスアラモス科学研究所の報告書「SOLA-VOF: 複数の自由境界を持つ過渡流体流れの解法アルゴリズム」、ニコルス、ハート、ホッチキス^[6]と、1981年のヒルトとニコルスによるジャーナル出版物「自由境界のダイナミクスのための流体体積法 (VOF) 法」で造られました。 ^[7]これら2つの出版物は、自由表面 (表面セル内の傾斜線で局所的に表される) の位置を近似し、そこに自由表面境界条件を適用するために使用する特定の手順について、より詳細に説明しています。 VOF法は、コンピュータのストレージ要件を低く抑えることでMACを上回ったため、急速に普及しました。 ロスアラモスで開発されたSOLA-VOFプログラムの初期の用途には、軽水炉の安全性研究があります。^{[8] [9]}SOLA-VOFコードの派生版もNASAに採用された。^{[10] [11]} 1982年にヤングスはPLIC（Piecewise-Linear Interface Calculation）方式を開発し^[12] 、 SLIC法と初期のVOF法のインターフェース再構築の精度を向上させた。^[13]

この方法は、いわゆる分数関数 というアイデアに基づいています。これはスカラー関数であり、制御ボリューム、つまり計算グリッドセルのボリュームにおける流体の特性関数の積分として定義されます。各流体の体積分率は計算グリッド内のすべてのセルで追跡されますが、すべての流体は単一の運動量方程式セット、つまり各空間方向に 1 つずつ共有されます。セルボリューム平均の観点からは、セルに追跡フェーズがない場合、 の値は0 です。セルに追跡フェーズが満杯の場合は 、セルに追跡ボリュームと非追跡ボリューム間のインターフェイスが含まれる場合はです。ボリュームを含まないローカルポイントの観点からは、 は、ローカルポイントが非追跡フェーズから追跡フェーズに移動すると値が 0 から 1 にジャンプする限り、不連続関数です。流体インターフェイスの法線方向は、 の値が最も急速に変化する場所にあります。この方法では、自由表面は明確に定義されず、セルの高さにわたって分布します。したがって、正確な結果を得るためには、局所的なグリッドの改良を行う必要があります。改良の基準は単純で、セルを改良する必要があります。このための方法は、マーカーとマイクロセル法として知られており、1997年にRaadと彼の同僚によって開発されました。^[14]${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C=1}$${\displaystyle 0<C<1}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle 0<C<1}$

流体システムにおける 番目の流体の進化は、輸送方程式（実際にはレベルセット法の距離関数によって満たされる必要がある方程式と同じ）によって決まります。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle {\frac {\partial C_{m}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla C_{m}=0,}$

以下の制約の下で

${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}C_{m}=1}$、

つまり、流体の体積は一定です。各セルの密度などの特性は、セル内のすべての流体の体積分率の平均によって計算されます。 ${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle \rho =\sum _{m=1}^{n}\rho _{m}C_{m}.}$

これらの特性は、ドメイン全体にわたる単一の運動量方程式を解くために使用され、得られた速度場は流体間で共有されます。

VOF 法は、追加方程式を 1 つ導入するだけで、最小限のストレージしか必要としないため、計算に便利です。また、この方法は、自由表面が急激な位相変化を経験する高度に非線形な問題に対処できるという特徴もあります。VOF 法を使用すると、表面追跡法で使用される複雑なメッシュ変形アルゴリズムの使用も回避できます。この方法に関連する主な問題は、自由表面のスミアリングです。この問題は、輸送方程式の過剰な拡散に起因します。

自由表面の汚れを避けるために、輸送方程式は過度の拡散なしに解かなければなりません。したがって、VOF 法の成功は、場の移流に使用されるスキームに大きく依存します。選択されたスキームは、レベル セット法で使用される距離関数などとは異なり、不連続であるという事実に対処する必要があります。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \phi}$

一次の風上スキームは界面をぼかすのに対し、同じ次の風下スキームは誤った分布問題を引き起こし、流れがグリッド線に沿っていない場合に不安定な動作を引き起こします。これらの低次のスキームは不正確であり、高次のスキームは不安定で振動を誘発するため、自由表面をシャープに保ちながら単調なプロファイルを生成するスキームの開発が必要でした。^[15]長年にわたり、移流を処理するためのさまざまな方法が開発されてきました。Hirtによる最初のVOF論文では、ドナー-アクセプタースキームが採用されました。このスキームは、圧縮差分スキームの基礎となりました。 ${\displaystyle C}$

VOF を処理するためのさまざまな方法は、ドナー-アクセプター定式化、高次差分スキーム、およびラインテクニックの 3 つのカテゴリに大まかに分類できます。

ドナー アクセプター スキームは、有界性基準と可用性基準という 2 つの基本基準に基づいています。最初の基準は、 の値が0 と 1 の間に制限される必要があることを示しています。後者の基準は、時間ステップ中に面上で対流される流体の量が、ドナー セル、つまり流体がアクセプター セルに流れ込むセルで利用可能な量以下であることを保証します。Hirt は、元の研究で、制御されたダウンウィンドとアップウィンドの差分からなる混合スキームを使用してこれを処理しました。 ${\displaystyle C}$

高次差分法では、その名前が示すように、対流輸送方程式は高次差分法または混合差分法で離散化されます。このような方法には、任意メッシュの圧縮界面捕捉法 (CICSAM) ^[16]や高解像度界面捕捉法 (HRIC) ^[17]などがあり、どちらも Leonard の正規化変数図 (NVD) に基づいています。^[18]

ライン技術は、セル内の界面を明示的に追跡しないことで、輸送方程式の離散化に関連する問題を回避します。代わりに、セル内の流体分布と界面は、隣接するセルの体積分率分布を使用して取得されます。1976 年の Noh と Woodward による単純ライン界面計算 (SLIC) ^[5]では、単純なジオメトリを使用して界面を再構築します。各セルでは、界面は座標軸の 1 つに平行な線として近似され、水平方向の動きと垂直方向の動きに対してそれぞれ異なる流体構成が想定されます。今日広く使用されている手法は、Youngs による区分線形界面計算です。^{[20] PLIC は、界面を}R ²内の線またはR ³内の平面として表すことができるという考えに基づいています。後者の場合、界面は次のように記述できます。

${\displaystyle \mathbf {n} _{x}+\mathbf {n} _{y}+\mathbf {n} _{z}=\alpha ,}$

ここで、 はインターフェースに垂直なベクトルです。 法線の成分は、たとえば有限差分法や、最小二乗最適化との組み合わせを使用して求められます。次に、計算セル内で質量保存則を適用して、自由項を (解析的または近似的に) 求めます。 インターフェースの説明が確立されると、 の移流方程式が、グリッド セル間の のフラックスを求める、または流体速度の離散値を使用してインターフェースのエンドポイントを移流するなどの幾何学的手法を使用して解かれます。 ${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

2相流では、2つの相の特性が大きく異なるため、界面の表面張力の計算に誤差が生じると、流体体積法（VOF）やレベルセット法（LS）などのフロントキャプチャ法で界面偽電流が発生します。このような流れをより良く解くには、このような偽電流を減らすための特別な処理が必要です。いくつかの研究では、レベルセット法と流体体積法を組み合わせて界面追跡を改善することを検討しましたが、他のいくつかの研究では、平滑化ループを追加したり、特性平均化技術を改善したりして数値解析アルゴリズムを改善することを検討しました。^[21]

• 浸漬境界法
• 確率的オイラーラグランジアン法
• レベルセット法
• スロッシング