摩擦を伴う定面積ダクトを通る流体の流れ
流体力学 において 、 ファノ流れ （イタリアのエンジニア、 ジーノ・ジローラモ・ファノ にちなんで）は、 摩擦 の影響が考慮された定面積ダクトを通る 断熱 流れです。 [1] 圧縮性の 影響がよく考慮されますが、ファノ流れモデルは非 圧縮性流れ にも適用されます。このモデルでは、ダクト面積は一定で、流れは定常かつ1次元であると想定され、ダクト内に質量は追加されません。ファノ流れモデルは、 粘性 効果による 不可逆プロセス であると考えられています。粘性摩擦により、流れの特性がダクトに沿って変化します。摩擦効果は、ダクトの任意の断面にわたって均一な特性を持つ流体に作用する壁面の
せん断応力 としてモデル化されます。
十分に長いダクト内で上流マッハ数 が1.0 を超える 流れの場合、減速が発生し、流れが 詰まる 可能性があります。一方、上流マッハ数が 1.0 未満の流れの場合、加速が発生し、十分に長いダクト内で流れが詰まる可能性があります。熱量的に完全なガスの流れの場合、最大 エントロピーは M = 1.0
で発生することが示されています。
理論 図 1 Fanno 線は無次元の H-ΔS 軸上にプロットされます。 ファノ流れモデルは、ダクトの長さ dM/dx に対するマッハ数の変化を関連付ける 微分方程式 から始まります 。微分方程式の他の項は 、 熱容量比 γ 、 ファニング摩擦係数 f 、 および 水力直径 D h です。
d
ま
2
ま
2
=
γ
ま
2
1 −
ま
2
（
1 +
γ − 1
2
ま
2
）
4 ふ
だ
h
d x
{\displaystyle \ {\frac {dM^{2}}{M^{2}}}={\frac {\gamma M^{2}}{1-M^{2}}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right){\frac {4f}{D_{h}}}dx}
ファンニング摩擦係数がダクト壁に沿って一定であると仮定すると、微分方程式は簡単に解くことができます。 [2] [3]ただし、ファンニング摩擦係数の値は 超音速 、特に 極超音速の 流速 では決定が難しい場合があることに留意する必要があります 。結果として得られる関係を以下に示します。ここで、 L* は上流マッハ数が超音速であると仮定して流れを絞るのに必要なダクト長さです。左辺はしばしばファノパラメータと呼ばれます。
4 ふ
ら
∗
だ
h
=
（
1 −
ま
2
γ
ま
2
）
+
（
γ + 1
2 γ
）
行
[
ま
2
（
2
γ + 1
）
（
1 +
γ − 1
2
ま
2
）
]
{\displaystyle \ {\frac {4fL^{*}}{D_{h}}}=\left({\frac {1-M^{2}}{\gamma M^{2}}}\right)+\left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)\ln \left[{\frac {M^{2}}{\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}\right]}
ファノフローモデルにとって同様に重要なのは、 一定圧力での 熱容量 c p に対するエントロピーの変化の無次元比です。
Δ S =
Δ s
c
p
= 行
[
ま
γ − 1
γ
（
[
2
γ + 1
]
[
1 +
γ − 1
2
ま
2
]
）
− （ γ + 1 ）
2 γ
]
{\displaystyle \\Delta S={\frac {\Delta s}{c_{p}}}=\ln \left[M^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\left(\left[{\frac {2}{\gamma +1}}\right]\left[1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right]\right)^{\frac {-(\gamma +1)}{2\gamma }}\right]}
上記の式は、静的温度とよどみ点温度の比で書き直すことができ、これは熱量的に完全な気体の場合、無次元エンタルピー比 H に等しくなります。
H =
h
h
0
=
c
p
T
c
p
T
0
=
T
T
0
{\displaystyle \ H={\frac {h}{h_{0}}}={\frac {c_{p}T}{c_{p}T_{0}}}={\frac {T}{T_{0}}}
Δ S =
Δ s
c
p
= 行
[
（
1 H
− 1
）
γ − 1
2 γ
（
2
γ − 1
）
γ − 1
2 γ
（
γ + 1
2
）
γ + 1
2 γ
（ H ）
γ + 1
2 γ
]
{\displaystyle \\Delta S={\frac {\Delta s}{c_{p}}}=\ln \left[\left({\frac {1}{H}}-1\right)^{\frac {\gamma -1}{2\gamma }}\left({\frac {2}{\gamma -1}}\right)^{\frac {\gamma -1}{2\gamma }}\left({\frac {\gamma +1}{2}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\left(H\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right]}
上記の式は、 H - ΔS 図上の特定の Fanno 流れ条件の状態軌跡を表す Fanno 線をプロットするために使用できます 。図では、Fanno 線は H = 0.833 で最大エントロピーに達し、流れはチョークされます。 熱力学の第二法則 によると、Fanno 流れのエントロピーは常に増加する必要があります。つまり、摩擦のあるダクトに入る亜音速流れは、流れがチョークされるまでマッハ数が増加されます。逆に、超音速流れのマッハ数は流れがチョークされるまで減少します。Fanno 線上の各点は異なるマッハ数に対応し、チョーク流れへの動きが図に示されています。
ファノ線は、質量流量と全エンタルピーが一定に保たれ、運動量が変化する場合にガスがとり得る状態を定義します。ファノ線上の各点は異なる運動量値を持ち、運動量の変化は摩擦の影響によるものです。 [4]
追加のファノフロー関係 図 2 Fanno フロー モデルを使用してマッハ数の関数としてプロットされた一般的な熱力学的特性比。 前述のように、ダクト内の面積と質量流量は Fanno フローに対して一定に保たれます。さらに、 よどみ点温度 も一定のままです。これらの関係は、以下に示されており、* 記号はチョークが発生する可能性のあるスロート位置を表しています。よどみ点プロパティには 0 の下付き文字が含まれます。
あ
=
あ
∗
=
絶え間ない
T
0
=
T
0
∗
=
絶え間ない
メートル ˙
=
メートル ˙
∗
=
絶え間ない
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=A^{*}={\mbox{定数}}\\T_{0}&=T_{0}^{*}={\mbox{定数}}\\{\dot {m}}&={\dot {m}}^{*}={\mbox{定数}}\end{aligned}}}
微分方程式を展開して解くことで、チョーク位置の値に対する Fanno 流動特性比を記述することもできます。圧力、密度、温度、速度、よどみ点圧力の比率はそれぞれ以下に示されています。これらは Fanno パラメータとともにグラフで表されます。
p
p
∗
=
1 ま
1
（
2
γ + 1
）
（
1 +
γ − 1
2
ま
2
）
ρ
ρ
∗
=
1 ま
（
2
γ + 1
）
（
1 +
γ − 1
2
ま
2
）
T
T
∗
=
1
（
2
γ + 1
）
（
1 +
γ − 1
2
ま
2
）
五
五
∗
= ま
1
（
2
γ + 1
）
（
1 +
γ − 1
2
ま
2
）
p
0
p
0
∗
=
1 ま
[
（
2
γ + 1
）
（
1 +
γ − 1
2
ま
2
）
]
γ + 1
2
（
γ − 1
）
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p}{p^{*}}}&={\frac {1}{M}}{\frac {1}{\sqrt {\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}}\\{\frac {\rho }{\rho ^{*}}}&={\frac {1}{M}}{\sqrt {\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}\\{\frac {T}{T^{*}}}&={\frac {1}{\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}\\{\frac {V}{V^{*}}}&=M{\frac {1}{\sqrt {\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}}\\{\frac {p_{0}}{p_{0}^{*}}}&={\frac {1}{M}}\left[\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{\frac {\gamma +1}{2\left(\gamma -1\right)}}\end{aligned}}}
アプリケーション 図 3 一定面積ダクトに通じる超音速ノズルが描かれています。初期条件はポイント 1 にあります。ポイント 2 はノズルの喉部にあり、 M = 1 です。ポイント 3 は等エントロピー流れからファノ流れへの遷移を示しています。ポイント 4 と 5 は衝撃波の前と後の状態を示し、ポイント E はダクトの出口です。 図 4 H - Sダイアグラムは、図 3 の条件に対して描かれています。等エントロピー流れではエントロピーは一定であるため、 ポイント 1 の条件はポイント 3 まで垂直に移動します。次に、流れは、衝撃によって流れが超音速から亜音速に変化するまで、ファンノ線に沿って進みます。その後、流れは再びファンノ線に沿って進み、ダクトから出る前にほぼチョーク状態に達します。 図 5 ファノ線とレイリー線の交差チャート。 ファンノ流れモデルは、ノズルの設計と解析でよく使用されます。ノズルでは、収束または発散領域は等エントロピー流れでモデル化され、その後の定面積セクションはファンノ流れでモデル化されます。図 3 および 4 に示すように、ポイント 1 の上流条件が与えられている場合、計算を行ってノズル出口マッハ数と 定面積ダクト内の 通常の衝撃の位置を決定できます。ポイント 2 はノズルのスロートを示しており、流れが詰まっている場合は M = 1 です。ポイント 3 は、流れが等エントロピーからファンノに遷移するノズルの端を示しています。初期圧力が十分に高ければ、ブローダウン型 超音速風洞 の望ましい性能と同様に、定面積ダクトを通して超音速流れを維持できます。ただし、これらの図は、衝撃波がダクトを完全に移動する前の状態を示しています。衝撃波が存在する場合、流れはファノ線の超音速部分から亜音速部分に移行し、その後 M = 1 に向かって進みます。図 4 の動きは、熱力学の第二法則を満たすために常に左から右へ行われます。
ファノ フロー モデルは、 レイリー フロー モデルとともに広く使用されています。これらの 2 つのモデルは、エンタルピー - エントロピー図とマッハ数 - エントロピー図上の点で交差し、多くのアプリケーションで意味を持ちます。ただし、各モデルのエントロピー値は、音速状態では等しくありません。各モデルで M = 1 のときのエントロピーの変化は 0 ですが、前のステートメントは、同じ任意の点から音速点までのエントロピーの変化がファノ フロー モデルとレイリー フロー モデルで異なることを意味します。s i と M i の初期値が定義されている場合 、 各 モデル に対して 無次元エントロピーとマッハ数の新しい方程式を定義できます。これらの方程式は、それぞれファノ フローとレイリー フローについて以下に示されています
。
Δ
S
F
=
s
−
s
i
c
p
=
ln
[
(
M
M
i
)
γ
−
1
γ
(
1
+
γ
−
1
2
M
i
2
1
+
γ
−
1
2
M
2
)
γ
+
1
2
γ
]
Δ
S
R
=
s
−
s
i
c
p
=
ln
[
(
M
M
i
)
2
(
1
+
γ
M
i
2
1
+
γ
M
2
)
γ
+
1
γ
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta S_{F}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=\ln \left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right]\\\Delta S_{R}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=\ln \left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{2}\left({\frac {1+\gamma M_{i}^{2}}{1+\gamma M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{\gamma }}\right]\end{aligned}}}
図 5 は、 s i = 0 および M i = 3の初期条件で、Fanno 線と Rayleigh 線が交差している様子を示しています 。交差点は、新しい無次元エントロピー方程式を互いに等しくすることで計算され、以下の関係が得られます。
(
1
+
γ
−
1
2
M
i
2
)
[
M
i
2
(
1
+
γ
M
i
2
)
2
]
=
(
1
+
γ
−
1
2
M
2
)
[
M
2
(
1
+
γ
M
2
)
2
]
{\displaystyle \ \left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}\right)\left[{\frac {M_{i}^{2}}{\left(1+\gamma M_{i}^{2}\right)^{2}}}\right]=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\left[{\frac {M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\right]}
交差点は、与えられた初期マッハ数とその 法線衝撃 後の値で発生します。図 5 の場合、これらの値は M = 3 と 0.4752 であり、ほとんどの圧縮性流れの教科書に記載されている法線衝撃表に記載されています。ダクト面積が一定の与えられた流れは、これらの点で Fanno モデルと Rayleigh モデルを切り替えることができます。
参照
参考文献
^ Shapiro, AH、 「圧縮性流体のダイナミクスと熱力学」第1巻 、ロナルドプレス、1953年。 ^ Zucker, RD, Biblarz, O., 気体力学の基礎 、John Wiley & Sons、2002年。 ^ Hodge, BK、および Koenig, K.、 「圧縮性流体力学とパーソナルコンピュータアプリケーション」 、Prentice Hall、1995 年。 ^ 流体運動の現象、RS Brodkey、p187、RS Brodkey（出版）、1995年
外部リンク パーデュー大学断熱および等温ファノフロー計算機 ケンタッキー大学 ファノフロー Web計算機 モーリス・W・ダウニー、ジーノ・ファノ 
![{\displaystyle \ {\frac {4fL^{*}}{D_{h}}}=\left({\frac {1-M^{2}}{\gamma M^{2}}}\right)+\left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)\ln \left[{\frac {M^{2}}{\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d3400a03fe159951756769bd5df8f2607a20b8)
![{\displaystyle \\Delta S={\frac {\Delta s}{c_{p}}}=\ln \left[M^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\left(\left[{\frac {2}{\gamma +1}}\right]\left[1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right]\right)^{\frac {-(\gamma +1)}{2\gamma }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c679a2d173adae85d4f6436444b15048ec999f8b)
![{\displaystyle \\Delta S={\frac {\Delta s}{c_{p}}}=\ln \left[\left({\frac {1}{H}}-1\right)^{\frac {\gamma -1}{2\gamma }}\left({\frac {2}{\gamma -1}}\right)^{\frac {\gamma -1}{2\gamma }}\left({\frac {\gamma +1}{2}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\left(H\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dab1f349013744ebcf2e6ceefa006a98f85ee8b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p}{p^{*}}}&={\frac {1}{M}}{\frac {1}{\sqrt {\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}}\\{\frac {\rho }{\rho ^{*}}}&={\frac {1}{M}}{\sqrt {\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}\\{\frac {T}{T^{*}}}&={\frac {1}{\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}\\{\frac {V}{V^{*}}}&=M{\frac {1}{\sqrt {\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}}\\{\frac {p_{0}}{p_{0}^{*}}}&={\frac {1}{M}}\left[\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{\frac {\gamma +1}{2\left(\gamma -1\right)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf30572891bf439a34e222c067d4f14b8e76ab0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta S_{F}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=\ln \left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right]\\\Delta S_{R}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=\ln \left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{2}\left({\frac {1+\gamma M_{i}^{2}}{1+\gamma M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{\gamma }}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b696ced22bb1df158e11d46ce5b9f5a19b64b5)
![{\displaystyle \\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}\right)\left[{\frac {M_{i}^{2}}{\left(1+\gamma M_{i}^{2}\right)^{2}}}\right]=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\left[{\frac {M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1031340758891c29e5707e01def7e1c5983b548d)