境界層

物理学および流体力学において、境界層とは、境界面に沿って流れる流体によって形成される境界面のすぐ近くの流体の薄い層です。流体と壁の相互作用により、滑りのない境界条件 (壁での速度ゼロ) が誘発されます。その後、流速は表面上で単調に増加し、最終的にバルク流速に戻ります。速度がまだバルク流速に戻っていない流体で構成される薄い層は、速度境界層と呼ばれます。

人間の近くの空気は加熱され、重力によって引き起こされる対流気流が発生し、速度境界層と熱境界層の両方が形成されます。そよ風は境界層を乱し、髪や衣服が境界層を保護するため、人間は涼しく感じたり暖かく感じたりします。航空機の 翼では、速度境界層は翼に近い流れの部分であり、粘性 力によって周囲の非粘性流れが歪められます。地球の大気では、大気境界層は地面近くの空気層 (約 1 km) です。これは地表の影響を受けます。太陽が地面を加熱することによって引き起こされる昼夜の熱流、湿気、または地表へのまたは地表からの運動量の移動などです。

層流境界層は、その構造と生成される状況によって大まかに分類できます。振動する物体に発生する薄いせん断層はストークス境界層の一例であり、ブラシウス境界層は、一方向の流れに保持された接続された平板付近のよく知られた相似解と、ブラシウスプロファイルの一般化であるファルクナー・スカン境界層を指します。流体が回転し、粘性力が対流慣性ではなくコリオリ効果によってバランスされると、エクマン層が形成されます。熱伝達の理論では、熱境界層が発生します。表面には複数の種類の境界層が同時に存在する場合があります。

気流の粘性により、表面上の局所的な速度が低下し、皮膚摩擦が発生します。粘性によって減速または停止する翼表面上の空気の層が境界層です。境界層の流れには、層流と乱流の 2 種類があります。^[1]

層流境界層の流れ

層流境界は非常に滑らかな流れですが、乱流境界層には渦巻きまたは「渦」が含まれます。層流は乱流よりも表面摩擦抵抗が少なくなりますが、安定性は低くなります。翼面上の境界層の流れは、滑らかな層流として始まります。流れが前縁から後方に続くにつれて、層流境界層の厚さが増加します。

乱流境界層の流れ

前縁から少し離れたところで、滑らかな層流が崩れ、乱流に変わります。抗力の観点からは、層流から乱流への遷移をできるだけ翼の後方で起こすか、境界層の層流部分に翼面の大部分を当てることが賢明です。ただし、エネルギーの低い層流は、乱流層よりも急激に崩れる傾向があります。

空気力学的境界層は、1904 年 8 月 12 日にドイツのハイデルベルクで開催された第 3 回国際数学者会議でルートヴィヒ プラントルが初めて仮説を立てた。この仮説では、流れ場を 2 つの領域に分割することによって流体の流れの方程式を簡略化する。1 つは境界層の内側で、粘性によって支配され、境界物体が受ける抵抗の大部分を生み出す。もう 1 つは境界層の外側で、粘性を無視しても解に大きな影響を与えない。これにより、ナビエ - ストークス方程式全体を大幅に簡略化することで、両方の領域の流れの閉じた形式の解を得ることができる。同じ仮説は、水など、中程度から低い粘性を持つ他の流体 (空気以外) にも適用できる。表面とバルク流体の間に温度差がある場合、物体との間の熱伝達の大部分は速度境界層の近くで起こることがわかっている。これにより、境界層外側の流れ場でも方程式を簡略化できる。境界層全体にわたって表面（翼など）に垂直な方向の圧力分布は、境界層全体で比較的一定に保たれ、表面自体と同じです。

速度境界層の厚さは通常、粘性流の速度が自由流の速度（非粘性流の表面速度）の 99% になる点までの距離として固体から定義されます。[ 2 ^] 変位厚さは、境界層が壁で滑りのある非粘性流と比較して質量流量の不足を表すことを示す別の定義です。これは、粘性の場合と同じ総質量流量を得るために非粘性の場合に壁を変位させる必要がある距離です。滑りがない状態では、固体物体の表面での流速がゼロで、流体の温度が表面の温度に等しくなければなりません。流速は、以下の境界層方程式によって決まり、境界層内で急速に増加します。

同様に、熱境界層の厚さは、物体からの温度が自由流温度の 99% になる距離です。2 つの厚さの比率は、プラントル数によって決まります。プラントル数が 1 の場合、2 つの境界層の厚さは同じです。プラントル数が 1 より大きい場合、熱境界層は速度境界層よりも薄くなります。プラントル数が 1 未満の場合 (標準状態の空気の場合)、熱境界層は速度境界層よりも厚くなります。

グライダーや民間航空機などの高性能設計では、抗力を最小限に抑えるために境界層の挙動を制御することに細心の注意が払われています。2 つの効果を考慮する必要があります。まず、境界層は変位厚さを通じて機体の有効厚さを増加させ、圧力抗力を増加させます。次に、翼の表面のせん断力により、表面摩擦抗力が発生します。

フルサイズの航空機に典型的な高レイノルズ数では、層流境界層があることが望ましい。これにより、層流の特徴的な速度プロファイルにより、皮膚摩擦が低くなる。しかし、流れが機体に沿って発達するにつれて境界層は必然的に厚くなり、安定性が低下し、最終的に乱流になる。このプロセスは境界層遷移と呼ばれる。この問題に対処する方法の 1 つは、多孔質表面から境界層を吸い取ることである(境界層吸引を参照)。これにより抗力は軽減されるが、機械的な複雑さと、空気を動かして処分するために必要な電力のために、通常は非実用的である。自然層流(NLF) 技術は、翼型または胴体の形状を変更して最も厚い点がより後方でより薄くなるようにすることで、境界層遷移を後方に押しやる。これにより先頭部分の速度が低下し、より長い長さで同じレイノルズ数が得られる。

模型飛行機で見られるような低いレイノルズ数では、層流を維持するのは比較的簡単です。これにより、望ましい低いスキン摩擦が得られます。しかし、層流境界層に低いスキン摩擦を与える同じ速度プロファイルは、逆圧力勾配による悪影響も引き起こします。圧力が翼弦の後部で回復し始めると、層流境界層は表面から剥離する傾向があります。このような流れの剥離は、翼断面の有効サイズが大幅に増加するため、圧力抗力の大幅な増加を引き起こします。これらの場合、タービュレータを使用して、層流剥離の位置の前の点で境界層を意図的に乱流にトリップすると有利な場合があります。乱流境界層のより完全な速度プロファイルにより、剥離することなく逆圧力勾配を維持できます。したがって、スキン摩擦は増加しますが、全体的な抗力は減少します。これが、ゴルフボールのディンプルや航空機のボルテックスジェネレータの背後にある原理です。圧力回復を調整して層流剥離を軽減または排除する特殊な翼セクションも設計されています。これは、流れの剥離による圧力抵抗と、誘発された乱流による表面摩擦との間の最適な妥協を表しています。

風洞内でハーフモデルを使用する場合、境界層の影響を軽減または排除するために ペニッシュが使用されることがあります。

境界層方程式の導出は、流体力学における最も重要な進歩の 1 つでした。桁解析を使用すると、粘性流体の流れを支配するよく知られたナビエ-ストークス方程式を境界層内で大幅に簡略化できます。特に、偏微分方程式 (PDE)の特性は、完全なナビエ-ストークス方程式の楕円形ではなく、放物線状になります。これにより、方程式の解法が大幅に簡素化されます。境界層近似を行うことで、流れは非粘性部分 (いくつかの方法で簡単に解くことができます) と、より簡単に解けるPDEによって支配される境界層に分割されます。直交座標での2 次元の定常非圧縮流れの連続性とナビエ-ストークス方程式は、次のように表されます。

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial \upsilon \over \partial y}=0}$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)}$

${\displaystyle u{\partial \upsilon \over \partial x}+\upsilon {\partial \upsilon \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}+{\nu }\left({\partial ^{2}\upsilon \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\upsilon \over \partial y^{2}}\right)}$

ここで、およびは速度成分、は密度、は圧力、およびは流体の一点における 動粘性です。${\displaystyle u}$${\displaystyle \upsilon }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \nu }$

この近似は、レイノルズ数が十分に高い場合、表面上の流れは、粘性に影響されない非粘性流の外側領域（流れの大部分）と、粘性が重要となる表面近くの領域（境界層）に分けられることを示しています。境界層内の縦方向および横方向（壁法線方向）の速度をそれぞれ と とします。スケール解析を使用すると、上記の運動方程式が境界層内で次のように簡約されることがわかります。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle \upsilon }$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

${\displaystyle {1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}=0}$

流体が非圧縮性である場合（液体は標準状態では非圧縮性です）：

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial \upsilon \over \partial y}=0}$

大きさのオーダー分析では、境界層内の流れ方向の長さスケールが横方向の長さスケールよりも大幅に大きいと仮定します。したがって、流れ方向の特性の変化は、通常、壁法線方向の特性の変化よりもはるかに小さくなります。これを連続方程式に適用すると、壁法線方向の速度は、流れ方向の速度と比較して小さいことがわかります。 ${\displaystyle \upsilon }$${\displaystyle u}$

静圧は に依存しないので、境界層の端の圧力は、与えられた流れ方向の位置における境界層全体の圧力です。外部圧力は、ベルヌーイの方程式を適用することで得られます。境界層外部の流体速度を とします。ここで、と は両方とも平行です。 を に代入すると、次の結果 が得られます。${\displaystyle p}$${\displaystyle y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle u}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=U{\frac {dU}{dx}}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

静圧も流れの方向に変化しない 流れの場合${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {dp}{dx}}=0}$

したがって一定のままです。 ${\displaystyle U}$

したがって、運動方程式は次のように単純化される。

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}={\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

これらの近似は、科学的および工学的な関心事であるさまざまな実際的な流れの問題で使用されます。上記の分析は、任意の瞬間的な層流または乱流境界層を対象としていますが、速度変動が存在しないため平均流量が瞬間的な流量でもあるため、主に層流の研究で使用されます。この簡略化された方程式は放物型偏微分方程式であり、しばしばブラシウス境界層と呼ばれる相似解を使用して解くことができます。

プラントルは、境界層方程式を満たす任意の解から、境界層方程式を満たすさらなる解が次のように構築できることを観察した^[3]。${\displaystyle u(x,y,t),\ v(x,y,t)}$${\displaystyle u^{*}(x,y,t),\ v^{*}(x,y,t)}$

${\displaystyle u^{*}(x,y,t)=u(x,y+f(x),t),\quad v^{*}(x,y,t)=v(x,y+f(x),t)-f'(x)u(x,y+f(x),t)}$

ここで は任意である。数学的観点からは解は一意ではないため、^[4]解にはStewartson ^[5]とPaul A. Libby [6]によって示された無限の固有関数のいずれかを追加することができる。^{[7 ]}${\displaystyle f(x)}$

フォン・カルマンは1921年に境界層方程式を境界層に沿って積分することで積分方程式を導出した。^[8]この方程式は

${\displaystyle {\frac {\tau _{w}}{\rho U^{2}}}={\frac {1}{U^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(U\delta _{1})+{\frac {\partial \delta _{2}}{\partial x}}+{\frac {2\delta _{2}+\delta _{1}}{U}}{\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {v_{w}}{U}}}$

どこ

${\displaystyle \tau _{w}=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0},\quad v_{w}=v(x,0,t),\quad \delta _{1}=\int _{0}^{\infty }\left(1-{\frac {u}{U}}\right)\,dy,\quad \delta _{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u}{U}}\right)\,dy}$

${\displaystyle \tau _{w}}$は壁面せん断応力、は壁面における吸引/注入速度、は変位厚さ、は運動量厚さです。この式からカルマン・ポールハウゼン近似が導かれます。${\displaystyle v_{w}}$${\displaystyle \delta _{1}}$${\displaystyle \delta _{2}}$

エネルギー積分はヴィークハルトによって導かれた。^{[9] [10]}

${\displaystyle {\frac {2\varepsilon }{\rho U^{3}}}={\frac {1}{U}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\delta _{1}+\delta _{2})+{\frac {2\delta _{2}}{U^{2}}}{\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {1}{U^{3}}}{\frac {\partial }{\partial x}}(U^{3}\delta _{3})+{\frac {v_{w}}{U}}}$

どこ

${\displaystyle \varepsilon =\int _{0}^{\infty }\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}dy,\quad \delta _{3}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u^{2}}{U^{2}}}\right)\,dy}$

${\displaystyle \varepsilon }$は境界層を横切る粘性によるエネルギー散逸率であり、はエネルギー厚さである。^[11]${\displaystyle \delta _{3}}$

定常2次元境界層に対して、フォン・ミーゼス^[12]は、および（流れ関数）を独立変数として、およびの代わりに取り、従属変数としての代わりに使用する変換を導入した。境界層方程式は、 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \chi =U^{2}-u^{2}}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial \chi }{\partial x}}=\nu {\sqrt {U^{2}-\chi }}\,{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial \psi ^{2}}}}$

元の変数は以下から復元されます

${\displaystyle y=\int {\sqrt {U^{2}-\chi }}\,d\psi ,\quad u={\sqrt {U^{2}-\chi }},\quad v=u\int {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{u}}\right)\,d\psi .}$

この変換は後にフォン・カルマンとHS・ツィエンによって圧縮性境界層に拡張された。^[13]

定常2次元圧縮性境界層に対して、ルイジ・クロッコ^[14]は、との代わりに独立変数としてとをとり、の代わりに従属変数（せん断応力）を用いる変換を導入した。境界層方程式は、 ${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \tau =\mu \partial u/\partial y}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mu \rho u{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u^{2}}}-\mu {\frac {dp}{dx}}{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {1}{\tau }}\right)=0,\\[5pt]&{\text{if }}{\frac {dp}{dx}}=0,{\text{ then }}{\frac {\mu \rho }{\tau ^{2}}}{\frac {\partial \tau }{\partial x}}={\frac {1}{u}}{\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u^{2}}}.\end{aligned}}}$

元の座標は

${\displaystyle y=\mu \int {\frac {du}{\tau }}.}$

乱流境界層の扱いは、流れの特性が時間に依存して変化するため、はるかに困難です。乱流に対処するために最も広く使用されている手法の 1 つは、レイノルズ分解を適用することです。ここでは、変動成分の平均が常に 0 であると仮定して、瞬間的な流れの特性が平均と変動成分に分解されます。この手法を境界層方程式に適用すると、文献ではあまり示されていない完全な乱流境界層方程式が得られます。

${\displaystyle {\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=0}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'^{2}}})}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {v}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial y}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {v'^{2}}})}$

同様の桁解析を使用すると、上記の方程式は主要次数の項に簡略化できます。横方向の変化に対して長さスケールを選択し、流れ方向の変化に対して長さスケールを選択すると、x 運動量方程式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle L}$${\displaystyle \delta <<L}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}}).}$

この方程式は、壁面の滑りなし条件を満たしていません。プラントルが境界層方程式で行ったように、粘性項が運動量方程式の主要な次数になるように、新しいより小さな長さスケールを使用する必要があります。y スケールとして選択すると、この「内部境界層」の主要な次数運動量方程式は次のようになります。 ${\displaystyle \eta <<\delta }$

${\displaystyle 0=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}}).}$

レイノルズ数が無限大の限界では、圧力勾配項は乱流境界層の内部領域に影響を与えないことがわかります。新しい「内部長さスケール」は粘性長さスケールであり、 のオーダーです。は乱流変動の速度スケールで、この場合は摩擦速度 です。 ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle {\frac {\nu }{u_{*}}}}$${\displaystyle u_{*}}$

層流境界層方程式とは異なり、異なる流れスケールのセット (つまり、内部スケーリングと外部スケーリング) によって制御される 2 つの領域が存在するため、乱流境界層の普遍的な相似解を見つけることは困難で議論の余地があります。流れの両方の領域にまたがる相似解を見つけるには、流れの両方の領域からの解を漸近的に一致させる必要があります。このような分析により、いわゆる対数法則またはべき乗法則が得られます。

上記の解析と同様のアプローチは、圧縮性流れのエネルギー方程式を用いて、熱境界層にも適用されている。^{[15] [16]}

乱流境界層方程式における追加の項はレイノルズせん断応力として知られており、事前には未知である。したがって、乱流境界層方程式を解くには、レイノルズせん断応力を既知の流れ変数または導関数で表現することを目的とした乱流モデルの使用が必要である。このようなモデルの精度と一般性の欠如は、現代の流体力学における乱流特性の予測を成功させる上での大きな障害となっている。 ${\displaystyle {\overline {u'v'}}}$

壁付近の領域には一定の応力層が存在します。壁付近の垂直速度変動の減衰により、レイノルズ応力項は無視できるほど小さくなり、線形速度プロファイルが存在することがわかります。これは、壁付近の領域にのみ当てはまります。

1928年、フランスのエンジニア、アンドレ・レヴェックは、流体中の対流熱伝達は表面のごく近くの速度値によってのみ影響を受けることを観察した。^{[17] [18]}プラントル数が大きい流れの場合、表面温度から自由流温度への温度/質量遷移は、表面近くの非常に薄い領域で起こる。したがって、最も重要な流体速度は、速度の変化が表面からの法線距離に対して線形であると考えられるこの非常に薄い領域内の速度である。このように、

${\displaystyle u(y)=U\left[1-{\frac {(y-h)^{2}}{h^{2}}}\right]=U{\frac {y}{h}}\left[2-{\frac {y}{h}}\right]\;,}$

すると、 ${\displaystyle y\rightarrow 0}$

${\displaystyle u(y)\approx 2U{\frac {y}{h}}=\theta y,}$

ここで、θ は壁と交差するポアズイユ放物線の接線である。ルヴェックの解法はポアズイユ流への熱伝達に特有のものであったが、彼の洞察力は他の科学者が熱境界層問題の正確な解を導き出すのに役立った。^[19]シューは境界層ではu は再びyの線形関数であるが、この場合、壁接線はxの関数であることを観察した。^[20]彼はこれをルヴェックのプロファイルの修正版で表現した。

${\displaystyle u(y)=\theta (x)y.}$

この結果、数値が低い場合でも非常に良好な近似値が得られるため、1 よりはるかに小さい液体金属だけがこの方法では扱えない。^[19] 1962 年に、Kestin と Persen は、熱境界層が完全に運動量層内に含まれている場合の熱伝達と、さまざまな壁面温度分布に関する解法を説明した論文を発表した。^[21]で温度が急上昇する平板の問題に対して、彼らは、放物線状の熱境界層方程式を常微分方程式に簡約する置換法を提案している。この方程式の解、つまり流体内の任意の点の温度は、不完全ガンマ関数として表すことができる。^[18] Schlichting は、熱境界層方程式を、解が同じ不完全ガンマ関数である常微分方程式に簡約する同等の置換法を提案した。^{[22]熱伝導を含む非圧縮境界層方程式に対して、時間依存の}自己相似仮説を使用して解析解を導くことができる。^[23]${\displaystyle Pr}$${\displaystyle Pr}$${\displaystyle x=x_{0}}$

いくつかの教科書でよく知られているように、境界層が増加すると熱伝達は減少する傾向があります。最近、太陽光発電機を流れる風は、乱流状態下では熱伝達の減少によりPVパネルに熱を「閉じ込める」傾向があることが実際的かつ大規模に観察されました。^[24]本質的に乱流であるとよく想定されているにもかかわらず、この偶然の観察は、少なくとも平板で予想される動作に似た観察では、自然の風が実際には理想的な流体に非常に近い動作をすることを実証しており、この種の現象をより大規模に分析する際の困難さを軽減する可能性があります。

ポール・リチャード・ハインリッヒ・ブラシウスは、上記の層流境界層方程式の正確な解を導き出しました。^[25]境界層の 厚さは、層流の レイノルズ数の関数です。${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \delta \approx 5.0{x \over {\sqrt {Re}}}}$

${\displaystyle \delta }$= 境界層の厚さ: 速度が遠方場速度の 99% 未満の流れの領域。は半無限プレートに沿った位置であり、 は(密度と動粘性)によって与えられるレイノルズ数です。${\displaystyle v_{\infty }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Re}$${\displaystyle \rho v_{\infty }x/\mu }$${\displaystyle \rho =}$${\displaystyle \mu =}$

Blasius 解法では、無次元形式の境界条件を使用します。

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty }}={v_{y} \over v_{\infty }}=0}$     で     ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty }}=1}$     および​     ${\displaystyle y=\infty }$${\displaystyle x=0}$

多くの場合、滑りのない境界条件は、プレートの表面での流体速度がすべての位置でのプレートの速度に等しいという条件を満たすことに注意してください。プレートが動いていない場合は、次のようになります。流体の滑りが許容される場合は、はるかに複雑な導出が必要です。^[26]${\displaystyle v_{S}}$${\displaystyle v_{S}=0}$

実際、半無限プレート上の境界層における層流速度プロファイルの Blasius 解は、熱と質量の移動に対する熱境界層と濃度境界層をそれぞれ記述するように簡単に拡張できます。微分 x 運動量バランス (運動方程式) ではなく、同様に導出されたエネルギーと質量のバランスを使用します。

エネルギー：         ${\displaystyle v_{x}{\partial T \over \partial x}+v_{y}{\partial T \over \partial y}={k \over \rho C_{p}}{\partial ^{2}T \over \partial y^{2}}}$

質量：           ${\displaystyle v_{x}{\partial c_{A} \over \partial x}+v_{y}{\partial c_{A} \over \partial y}=D_{AB}{\partial ^{2}c_{A} \over \partial y^{2}}}$

運動量バランスの場合、動粘性は運動量拡散率とみなすことができます。エネルギーバランスではこれは熱拡散率に置き換えられ、質量バランスでは質量拡散率に置き換えられます。物質の熱拡散率では、は熱伝導率、は密度、は熱容量です。下付き文字 AB は、種 A が種 B に拡散する拡散率を表します。 ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \alpha ={k/\rho C_{P}}}$${\displaystyle D_{AB}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle C_{P}}$

という仮定の下では、これらの方程式は運動量バランスと等価になります。したがって、プラントル数とシュミット数に対しては、ブラシウス解が直接適用されます。 ${\displaystyle \alpha =D_{AB}=\nu }$${\displaystyle Pr=\nu /\alpha =1}$${\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}=1}$

したがって、この導出では、または(種 A の絶対温度または濃度) に置き換えて、境界条件の関連形式を使用します。下付き文字 S は表面条件を表します。${\displaystyle v}$${\displaystyle T}$${\displaystyle c_{A}}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}=0}$     で     ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}=1}$     および​     ${\displaystyle y=\infty }$${\displaystyle x=0}$

流線関数を使用して、Blasius はプレート表面のせん断応力について次の解を得ました。

${\displaystyle \tau _{0}=\left({\partial v_{x} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{v_{\infty } \over x}Re^{1/2}}$

そして境界条件により、

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}}$

プレートの表面からの熱/質量流束については次の関係式が与えられている。

${\displaystyle \left({\partial T \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{T_{\infty }-T_{S} \over x}Re^{1/2}}$

${\displaystyle \left({\partial c_{A} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{c_{A\infty }-c_{AS} \over x}Re^{1/2}}$

だから${\displaystyle Pr=Sc=1}$

${\displaystyle \delta =\delta _{T}=\delta _{c}={5.0x \over {\sqrt {Re}}}}$

ここで、およびは遠方場値の99%未満となる流れの領域である。 ^[27]${\displaystyle \delta _{T},\delta _{c}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle c_{A}}$

特定の流体のプラントル数は1ではないことが多いため、ルートヴィヒ・プラントルとともに研究していたドイツのエンジニア、E.ポルハウゼンは、これらの式を経験的に拡張して に適用しようと試みました。彼の結果は にも適用できます。 ^[28] 彼は、プラントル数が0.6より大きい場合、熱境界層の厚さは次のように近似されることを発見しました。 ${\displaystyle Pr\neq 1}$${\displaystyle Sc}$

${\displaystyle {\delta \over \delta _{T}}=Pr^{1/3}}$          そしてそれゆえ          ${\displaystyle {\delta \over \delta _{c}}=Sc^{1/3}}$

このソリューションから、境界層の流れの領域に基づいて対流熱/質量伝達定数を特徴付けることができます。フーリエの伝導法則とニュートンの冷却法則は、上記で導出されたフラックス項と境界層の厚さと組み合わされます。

${\displaystyle {q \over A}=-k\left({\partial T \over \partial y}\right)_{y=0}=h_{x}(T_{S}-T_{\infty })}$

${\displaystyle h_{x}=0.332{k \over x}Re_{x}^{1/2}Pr^{1/3}}$

これは半無限平面上の一点における局所対流定数を与える。プレートの長さにわたって積分すると平均 ${\displaystyle h_{x}}$

${\displaystyle h_{L}=0.664{k \over x}Re_{L}^{1/2}Pr^{1/3}}$

物質移動項（ = 対流物質移動定数、= 種 A から種 B への拡散率、 ）を用いた導出に続いて、次の解が得られます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle D_{AB}}$${\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}}$

${\displaystyle k'_{x}=0.332{D_{AB} \over x}Re_{x}^{1/2}Sc^{1/3}}$

${\displaystyle k'_{L}=0.664{D_{AB} \over x}Re_{L}^{1/2}Sc^{1/3}}$

これらの解はプラントル/シュミット数が0.6より大きい層流に適用される。^[27]

航空機に適用される原理の多くは、船、潜水艦、海洋プラットフォームにも適用され、空気ではなく水が主な流体として考慮される。水は理想的な流体ではないため、水中を移動する船舶は抵抗を受ける。水と船舶の間の粘着力により、流体粒子が船体にくっつき、境界層が形成され、そこで流体の流速は小さいながらも急峻な速度勾配を形成し、船舶と接触する流体の相対速度は理想的には0となり、境界層の境界にある流体は自由流速度、つまり船舶の周囲の流体の相対速度となる。^[29]

船の前部は周囲の流体による通常の圧力を受けますが、船尾部は境界層により圧力の作用成分が低くなります。これにより、「粘性圧力抵抗」または「形状抵抗」と呼ばれる圧力による抵抗が大きくなります。^[29]

船舶の場合、航空機とは異なり、非圧縮性の流れを扱います。非圧縮性の流れでは、水の密度の変化はごくわずかです (圧力が 1000kPa 近くまで上昇しても、変化は 2～3 kg/m ³に過ぎません)。この流体力学の分野は、流体力学と呼ばれます。船舶エンジニアは、まず流体力学を考慮して設計し、その後で強度を考慮します。境界層の発達、崩壊、分離は、水の高粘度によって高いせん断応力が生じるため、重要になります。

この効果は、 1913 年にニコラ テスラが特許を取得したテスラ タービンで利用されました。従来のタービンのように流体がブレードに衝突するのではなく、境界層効果を使用するため、ブレードレスタービンと呼ばれます。境界層タービンは、凝集型タービン、ブレードレス タービン、プラントル層タービン (ルートヴィヒ プラントルにちなんで) とも呼ばれます。

円筒状流れの過渡力と粘性力の方程式を使用して、ウォマーズリー数 ( ) を見つけることで過渡境界層の厚さを予測できます。 ${\displaystyle N_{w}}$

過渡力 =${\displaystyle \rho vw}$

粘性力 =${\displaystyle {\mu v \over \delta _{1}^{2}}}$

これらを等しく設定すると次のようになります。

${\displaystyle \rho vw={\mu v \over \delta _{1}^{2}}}$

デルタを解くと次のようになります。

${\displaystyle \delta _{1}={\sqrt {\mu \over \rho w}}={\sqrt {\ v \over \ w}}}$

無次元形式では：

${\displaystyle {L \over \delta _{1}}={L{\sqrt {w \over \ v}}}=N_{w}}$

ここで= ウォマーズリー数; = 密度; = 速度;  ?; = 過渡境界層の長さ; = 粘度; = 特性長さ。 ${\displaystyle N_{w}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle v}$${\displaystyle w=}$${\displaystyle \delta _{1}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle L}$

円筒状流れの境界層における対流力と粘性力の方程式を使用すると、無次元レイノルズ数 ( ) を見つけることで境界層における対流の流れの状態を予測できます。 ${\displaystyle Re}$

対流力:${\displaystyle \rho v^{2} \over \ L}$

粘性力:${\displaystyle {\mu v \over \delta _{2}^{2}}}$

これらを等しく設定すると次のようになります。

${\displaystyle {\rho v^{2} \over \ L}={\mu v \over \delta _{2}^{2}}}$

デルタを解くと次のようになります。

${\displaystyle \delta _{2}={\sqrt {\mu L \over \rho v}}}$

無次元形式では：

${\displaystyle {L \over \delta _{2}}={\sqrt {\rho vL \over \mu }}={\sqrt {Re}}}$

ここで= レイノルズ数; = 密度; = 速度; = 対流境界層の長さ; = 粘度; = 特性長さ。 ${\displaystyle Re}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle v}$${\displaystyle \delta _{2}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle L}$

境界層吸気は、機体後部に搭載された推進装置が低速の機体境界層を吸気し、後流を再活性化して抗力を減らし、推進効率を向上させることで、航空機の燃料効率の向上が期待できる。歪んだ気流の中で作動するため、ファンは重くなり効率は低下し、統合も困難である。これは、Aurora D8やフランスの研究機関OneraのNovaなどのコンセプトで使用されており、機体境界層の40%を吸気することで巡航時に5%の節約を実現している。^[30]

エアバスは2018年9月のICAS会議でノーチリウスのコンセプトを発表した。胴体の境界層全体を吸い込みながら方位角流の歪みを最小限に抑えるために、胴体は13〜18：1のバイパス比ファンを備えた2つのスピンドルに分割される。推進効率は、より小型で軽量で、より複雑で騒音の少ないエンジンで、逆回転オープンローターと同様に最大90％です。通常の翼下の15：1バイパス比エンジンと比較して、燃料燃焼を10％以上削減できます。^[30]

• 境界層の分離
• 境界層の厚さ
• 熱境界層の厚さと形状
• 境界層吸引
• 境界層制御
• 境界マイク
• ブラシウス境界層
• ファルクナー・スカン境界層
• エクマン層
• 惑星境界層
• 摂動論
• 壁の対数法則
• 形状係数（境界層流れ）
• せん断応力
• 表面層

• Chanson, H. (2009)。応用流体力学: 理想流体と実流体の入門。CRC Press、Taylor & Francis Group、ライデン、オランダ、478 ページ。ISBN 978-0-415-49271-3。
• AD ポリアニンと VF ザイツェフ著『非線形偏微分方程式ハンドブック』、チャップマン＆ホール/CRC プレス、ボカラトン – ロンドン、2004 年。ISBN 1-58488-355-3 
• AD ポリアニン、AM クテポフ、AV ヴィヤズミン、DA カゼニン、「化学工学における流体力学、質量、熱伝達」、テイラー＆フランシス、ロンドン、2002 年。ISBN 0-415-27237-8 
• Hermann Schlichting、Klaus Gersten、E. Krause、H. Jr. Oertel、C. Mayes 『境界層理論』第 8 版、Springer 2004 年ISBN 3-540-66270-7 
• ジョン・D・アンダーソン・ジュニア、「ルートヴィヒ・プラントルの境界層」、Physics Today、2005年12月
• アンダーソン、ジョン (1992)。空気力学の基礎(第 2 版)。トロント: SSCHAND。pp. 711–714。ISBN 0-07-001679-8。
• H. テネケスとJL ラムリー、「乱流入門」、MIT 出版、(1972 年)。
• ウィリアム・K・ジョージ著『21世紀の乱流に関する講義』

• 国立科学デジタル図書館 – 境界層
• ムーア、フランクリン K.、「3 次元境界層の変位効果」。NACA レポート 1124、1953 年。
• ベンソン、トム、「境界層」。NASA グレン ラーニング テクノロジーズ。
• 境界層の分離
• 境界層方程式: 正確な解 – EqWorld より
• ジョーンズ、TV 境界層熱伝達
• 「『境界層』の革命的な概念と航空学におけるその普及、Sourabh S. Diwan著」。YouTube 。国際理論科学センター。2022年2月18日。