レイノルズストレス

流体力学において、レイノルズ応力は、流体の運動量の乱流変動を考慮するためにナビエ-ストークス方程式の平均化操作から得られる流体の全応力テンソルの成分です。

流れの速度場はレイノルズ分解によって平均部分と変動部分に分割できる。次のように書く。

${\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u_{i}',\,}$

は、座標方向の成分を持つ流れの速度ベクトルです（座標ベクトル の成分を表します）。平均速度は、研究対象の流れに応じて、時間平均、空間平均 、またはアンサンブル平均のいずれかによって決定されます。さらに、は速度の変動（乱流）部分を表します。 ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle {\overline {u_{i}}}}$${\displaystyle u'_{i}}$

密度 ρが一定とされる均質流体を考えます。このような流体の場合、レイノルズ応力テンソルの 成分τ' _{ij は次のように定義されます。}

${\displaystyle \tau '_{ij}\equiv \rho \,{\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}$

一定の密度に対するレイノルズ応力成分の別の（よく使われる）定義は次のとおりです。

${\displaystyle \tau ''_{ij}\equiv {\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}$

応力ではなく速度の二乗の次元を持ちます。

説明のために、直交ベクトル インデックス表記法を使用します。簡単にするために、非圧縮流体を考えます。

流体速度が位置と時間の関数として与えられている場合、平均流体速度は、速度変動はと書きます。この場合、 となります。 ${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle {\overline {u_{i}}}}$${\displaystyle u'_{i}}$${\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u'_{i}}$

平均化の従来のアンサンブルルールは、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\bar {a}}}&={\bar {a}},\\{\overline {a+b}}&={\bar {a}}+{\bar {b}},\\{\overline {a{\bar {b}}}}&={\bar {a}}{\bar {b}}.\end{aligned}}}$

オイラー方程式（流体力学）またはナビエ・ストークス方程式を平均部分と変動部分に分割します。流体方程式を平均すると、右側の応力が の形式になることがわかります。これはレイノルズ応力であり、慣例的に と表記されます。 ${\displaystyle \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}$${\displaystyle R_{ij}}$

${\displaystyle R_{ij}\ \equiv \ \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}$

この応力の発散は、乱流変動による流体上の力の密度です。

例えば、非圧縮性、粘性、ニュートン流体の場合、連続方程式と運動量方程式（非圧縮性ナビエ・ストークス方程式）は（非保存形式で）次のように表すことができます。

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0,}$

そして

${\displaystyle \rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right),}$

ここで、 はラグランジアン微分または実質微分であり、 ${\displaystyle D/Dt}$

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.}$

上記の流れ変数を時間平均成分と変動成分で定義すると、連続方程式と運動量方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{i}}}=0,}$

そして

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}$

運動量方程式の左側の項の一つを調べると、

${\displaystyle \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}-\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}},}$

ここで、右辺の最後の項は連続方程式の結果として消える。したがって、運動量方程式は次のようになる。

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}$

次に、連続方程式と運動量方程式を平均化します。変動量の積の平均は一般にはゼロにならないことを念頭に置き、平均化のアンサンブル規則を適用する必要があります。平均化後、連続方程式と運動量方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0,}$

そして

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}{\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

左辺の項の1つに 積の法則を適用すると、次の式が成立する。

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}={\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{i}}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}},}$

ここで、右辺の最後の項は平均連続方程式の結果として消えます。平均運動量方程式は、並べ替えると次のようになります。

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}-\rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}\right),}$

ここで、レイノルズ応力 は、粘性法線応力項およびせん断応力項とともに収集されます。 ${\displaystyle \rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}$${\displaystyle \mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}}$

レイノルズ応力の時間発展方程式は、周培源の論文^[1]で式(1.6)として初めて示されました。 この方程式の現代的な形式は、 動粘性率、最後の項は乱流散逸率です。この方程式は非常に複雑です。をトレースすると、乱流運動エネルギーが得られます。圧力スクランブリング項は、この項(圧力-ひずみ共分散とも呼ばれる)が非圧縮性の仮定の下でトレースレスであるためこのように呼ばれています。つまり、この項は乱流運動エネルギーを生成または破壊することはできず、速度の3つの成分間でそれを混合することしかできません。アプリケーションによっては、この方程式に浮力生成項(重力加速度 に比例)とコリオリ生成項(地球の自転速度に比例)を含めることもできます。これらは、たとえば大気のアプリケーションに存在します。 $${\displaystyle \underbrace {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial t}} _{\rm {storage}}+\!\!\underbrace {{\bar {u}}_{k}{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}} _{\rm {mean~advection}}=-\ \underbrace {{\overline {u_{i}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{k}}}-{\overline {u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}} _{\rm {shear~production}}+\underbrace {\overline {{\frac {p^{\prime }}{\rho }}\left({\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{i}}}\right)}} _{\rm {pressure-scrambling}}-\underbrace {{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{i}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{jk}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{j}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{ik}-\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}\right)} _{\rm {transport~terms}}-2\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}},}$$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu {\overline {{\tfrac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\tfrac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$${\displaystyle {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$${\displaystyle g}$

では、レイノルズ応力の値はいくらかという疑問が生じます。これは、およそ過去 1 世紀にわたって、集中的なモデリングと関心の対象となってきました。この問題は、BBGKY 階層における閉包の問題に類似した、閉包問題として認識されています。レイノルズ応力の輸送方程式は、変動速度の流体方程式とそれ自体の 外積を取ることで見つけることができます。

レイノルズ応力の輸送方程式には、高次の相関（具体的には三重相関）を持つ項と圧力変動（つまり、音波によって運ばれる運動量）を持つ項が含まれていることがわかります。一般的な解決策は、これらの項を単純なアドホックな処方 でモデル化することです。${\displaystyle {\overline {v'_{i}v'_{j}v'_{k}}}}$

レイノルズ応力の理論は、気体の運動理論と非常に類似しており、実際、流体内の特定の点における応力テンソルは、流体内の特定の点における分子の熱速度による応力の全体平均と見ることができます。したがって、類推により、レイノルズ応力は、乱流圧力と呼ばれる等方性圧力部分と、有効乱流粘性と考えられる非対角部分で構成されると考えられることがあります。

実際、流体のレイノルズ応力の優れたモデルの開発に多大な努力が費やされてきたが、実際問題として、数値流体力学を使用して流体方程式を解く場合、最も単純な乱流モデルが最も効果的であることが判明することが多い。乱流粘性の概念に密接に関連するモデルの 1 つのクラスは、乱流エネルギー密度(乱流圧力、つまりレイノルズ応力のトレースに類似) と乱流散逸率の結合輸送方程式に基づくk-ε 乱流モデルである。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \epsilon }$

通常、平均は統計的アンサンブル理論のように、アンサンブル平均として正式に定義されます。ただし、実際問題として、平均はある長さスケールの空間平均、または時間平均として考えることもできます。形式的には、このような平均間の関係は平衡統計力学においてエルゴード定理によって正当化されますが、流体力学的乱流の統計力学は現時点では理解にほど遠いことに注意してください。実際、乱流流体の任意のポイントでのレイノルズ応力は、平均をどのように定義するかによって、ある程度解釈の対象となります。