スカラー関数の勾配としての速度場
NACA 0012 翼の 周囲の 11° の迎え角 でのポテンシャル フロー 流線 。上部と下部の 流管 が識別されています。流れは 2 次元で、翼のスパンは無限です。 流体力学 では 、 ポテンシャル流 または 非回転流は、 渦 のない流体の流れの記述を指します。このような記述は、通常、 粘性が ゼロになる極限 、つまり 非粘性流体 で流れに渦が存在しない場合に発生します。
ポテンシャルフローは、 速度場を スカラー関数の 勾配、つまり 速度ポテンシャル として記述します 。その結果、ポテンシャルフローは 非回転速度場によって特徴付けられ、これはいくつかのアプリケーションで有効な近似です。ポテンシャルフローの非回転性は、 スカラー の勾配の 回転 が常にゼロに等しいこと
に起因します。
非圧縮性流れ の場合、 速度ポテンシャルは ラプラス方程式を 満たし、 ポテンシャル理論が適用可能です。しかし、ポテンシャル流は 圧縮性流れ や ヘレ・ショー流 の記述にも使用されています 。ポテンシャル流アプローチは、定常流と非定常流の両方のモデリングで使用されます。
ポテンシャルフローの応用には、翼の 外側の流れ場 、 水面波 、 電気浸透流 、 地下水の流れなどがあります。 渦度の 影響が強い流れ（またはその一部）には 、ポテンシャルフロー近似は適用できません。渦度が重要であることが知られている流れ領域、例えば 後流 や 境界層 では、ポテンシャルフロー理論では流れの適切な予測を行うことができません。 [1] 幸いなことに、流れには非回転性の仮定が有効な大きな領域がしばしば存在し、それがポテンシャルフローがさまざまな用途に使用されている理由です。例えば、 航空機 の周りの流れ、 地下水の流れ 、 音響 、 水面波 、 電気浸透流 などです。 [2]
説明と特徴 ポテンシャルフローは、単純な 基本フロー を追加し、その結果を観察することによって構築されます。 均一な流れの中 の円筒周りの 非圧縮性ポテンシャル流の 流線。 ポテンシャル流または非回転流では、渦度ベクトル場はゼロである。すなわち、
ω
≡ ∇ ×
ヴ
= 0
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\equiv \nabla \times \mathbf {v} =0}
、 ここで は速度場、は 渦度 場です 。回転角がゼロであるベクトル場と同様に、速度場は、あるスカラーの勾配として表現できます。これは、勾配の回転角が常にゼロであるため、 速度ポテンシャル と呼ばれます 。したがって、 [3]
ヴ
（
x
、 t ）
{\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}
ω
（
x
、 t ）
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ,t)}
φ （
x
、 t ）
{\displaystyle \varphi (\mathbf {x} ,t)}
ヴ
= ∇ φ 。
{\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi .}
速度ポテンシャルは一意に定義されません。なぜなら、任意の時間関数、たとえば を 、関連する物理量 に影響を与えることなく追加できるからです 。この非一意性は、通常、 が満たす適切な初期条件または境界条件を適切に選択することで解消されます 。そのため、手順は問題ごとに異なる場合があります。
ふ （ t ）
{\displaystyle f(t)}
ヴ
{\displaystyle \mathbf {v} }
φ
{\displaystyle \varphi}
ポテンシャル流では、 単連結輪郭 の周りの 循環はゼロである。これは ストークスの定理 を使って示すことができる 。
Γ
{\displaystyle \ガンマ}
Ｃ
{\displaystyle C}
Γ ≡
∮
Ｃ
ヴ
⋅ d
l
= ∫
ω
⋅ d
ふ
= 0
{\displaystyle \Gamma \equiv \oint _{C}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {l} =\int {\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {f} =0}
ここで、 は 等高線上の線要素であり、 は 等高線で囲まれた任意の面の面積要素である。多重連結空間（例えば、2次元で固体を囲む等高線周辺、または3次元でトーラスを囲む等高線周辺）または集中渦（いわゆる非 回転渦 または点渦、または煙の輪）が存在する場合、循環はゼロである必要はない。前者の場合、ストークスの定理は適用できず、後者の場合、 等高線で囲まれた領域内では はゼロではない。等高線が無限に長い固体円筒を囲み、その円筒と等高線が回ループする等高線周辺では 、
次の式が成り立つ。
d
l
{\displaystyle d\mathbf {l} }
d
ふ
{\displaystyle d\mathbf {f} }
Γ
{\displaystyle \ガンマ}
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}
いいえ
{\displaystyle N}
Γ = いいえ κ
{\displaystyle \Gamma =N\kappa }
ここで は 巡回定数である。この例は二重連結空間に属する。 -重連結空間では、次のような巡回定数が存在する 。
κ
{\displaystyle \kappa}
ん
{\displaystyle n}
ん − 1
{\displaystyle n-1}
κ
1
、
κ
2
、 … 、
κ
ん − 1
。
{\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2},\dots ,\kappa _{n-1}.}
非圧縮流れ 非圧縮性の流れ の場合 、例えば 液体 や 低 マッハ数の 気体 の場合、速度 vは 発散 がゼロになるが、 音波 の場合はそうではない 。 [3]
∇ ⋅
ヴ
= 0 、
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0\,,}
ここで代入すると、 ラプラス方程式を 満たす ことがわかる [3]
ヴ
= ∇ φ
{\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }
φ
{\displaystyle \varphi}
∇
2
φ = 0 、
{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0\,,}
ここで、 ∇ 2 = ∇ ⋅ ∇は ラプラス演算子（ Δ と表記されることもある） である 。ラプラス方程式の解は 調和関数 であるため、すべての調和関数は潜在的な流れの解を表す。明らかなように、非圧縮性の場合、速度場は運動 学 、すなわち流れの非回転性と発散ゼロの仮定から完全に決定される。運動量方程式に関連する 力学は、圧力場を計算する場合にのみ後から適用する必要がある。たとえば、 ベルヌーイの定理 を使用して翼の周りの流れを計算する場合などである 。
非 圧縮性
の流れでは、一般的な誤解に反して、 粘性 項
μ
∇
2
ヴ
= μ ∇ （ ∇ ⋅
ヴ
） − μ ∇ ×
ω
= 0
{\displaystyle \mu \nabla ^{2}\mathbf {v} =\mu \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mu \nabla \times {\boldsymbol {\omega }}=0}
は、常にゼロです。ポテンシャルフローは、特に固体境界付近では、必要な境界条件を満たすことができないため、必要な流れ場を表現することができません。ポテンシャルフローが必要な条件を満たしている場合、それは非圧縮ナビエ・ストークス方程式の必要な解です。
2 次元では、調和関数 とその共役調和関数(ストリーム関数) の助けを借りて、非圧縮ポテンシャル フローは、 複素解析 を使用して分析される非常に単純なシステムに縮小されます (以下を参照)。
φ
{\displaystyle \varphi}
ψ
{\displaystyle \psi}
圧縮性流れ
安定した流れ ポテンシャル流理論は、非回転圧縮性流れのモデル化にも使用できます。 オイラー方程式 からの支配方程式の導出は 非常に簡単です。定常流の連続性と（ポテンシャル流）運動量方程式は次のように表されます。
φ
{\displaystyle \varphi}
ρ ∇ ⋅
ヴ
+
ヴ
⋅ ∇ ρ = 0 、 （
ヴ
⋅ ∇ ）
ヴ
= −
1 ρ
∇ p = −
c
2
ρ
∇ ρ
{\displaystyle \rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{ \frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho }
ここで最後の式は、流体粒子の エントロピーが一定であり、 音速 の2乗がであるという 事実から導かれる 。2 つの支配方程式から を消去すると、次の式が得られる。
c
2
= （ ∂ p
/
∂ ρ
）
s
{\displaystyle c^{2}=(\partial p/\partial \rho )_{s}}
∇ ρ
{\displaystyle \nabla \rho }
c
2
∇ ⋅
ヴ
−
ヴ
⋅ （
ヴ
⋅ ∇ ）
ヴ
= 0.
{\displaystyle c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =0.}
非圧縮バージョンは極限で現れる 。ここで代入すると [4] [5] となる。
c → ∞
{\displaystyle c\to \infty}
ヴ
= ∇ φ
{\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }
（
c
2
−
φ
x
2
）
φ
x x
+ （
c
2
−
φ
ええ
2
）
φ
ええ ええ
+ （
c
2
−
φ
ず
2
）
φ
ず ず
− 2 （
φ
x
φ
ええ
φ
x ええ
+
φ
ええ
φ
ず
φ
ええ ず
+
φ
ず
φ
x
ϕ
ず x
） = 0
{\displaystyle (c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{ yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx})=0}
ここで、は 速度の大きさの関数として表されます 。 ポリトロープガス の場合、 、ここで は 比熱比 、 は よどみエンタルピー です 。2次元では、この式は次のように簡略化されます。
c = c （ ヴ ）
{\displaystyle c=c(v)}
ヴ
2
= （ ∇ ϕ
）
2
{\displaystyle v^{2}=(\nabla \phi )^{2}}
c
2
= （ γ − 1 ） （
h
0
−
ヴ
2
/
2 ）
{\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)(h_{0}-v^{2}/2)}
γ
{\displaystyle \gamma}
h
0
{\displaystyle h_{0}}
（
c
2
−
φ
x
2
）
φ
x x
+ （
c
2
−
φ
ええ
2
）
φ
ええ ええ
− 2
φ
x
φ
ええ
φ
x ええ
= 0.
{\displaystyle (c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{ yy}-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.}
妥当性: 現状では、この方程式は、流れが亜音速か超音速かに関係なく、あらゆる非粘性ポテンシャル流れに有効です (例: プラントル・マイヤー流 )。しかし、超音速流や遷音速流では、衝撃波が発生し、流れにエントロピーと渦度をもたらし、流れを回転させることがあります。それでも、衝撃波があってもポテンシャル流れが優勢になるケースが 2 つあり、これは次の形式で記述される (必ずしもポテンシャルではない) 運動量方程式から説明されます。
∇ （ h +
ヴ
2
/
2 ） −
ヴ
×
ω
= T ∇ s
{\displaystyle \nabla (h+v^{2}/2)-\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=T\nabla s}
ここで、 は 比エンタルピー 、 は 渦度 場、 は温度、 は比エントロピーです。 衝撃波の前方にはポテンシャル流があるため、ベルヌーイの式は が一定であることを示しており、これは衝撃波全体でも一定です（ ランキン・ユゴニオ条件 ）。したがって、次のように書くことができます 。[4]
h
{\displaystyle h}
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}
T
{\displaystyle T}
s
{\displaystyle s}
h +
ヴ
2
/
2
{\displaystyle h+v^{2}/2}
ヴ
×
ω
= − T ∇ s
{\displaystyle \mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=-T\nabla s}
1) 衝撃波の強度が一定である場合、衝撃波全体のエントロピー不連続性も一定であり、 したがって渦度生成はゼロです。2 次元くさび形または 3 次元円錐形の尖った先端にある衝撃波 ( テイラー・マッコール流れ ) は、一定の強度を持ちます。2) 弱い衝撃波の場合、衝撃波全体のエントロピー ジャンプは、衝撃波の強度に関して 3 次量であるため、 無視できます。細長い物体内の衝撃波は、物体とほぼ平行であり、弱いです。
∇ s = 0
{\displaystyle \nablas=0}
∇ s
{\displaystyle \nabla s}
ほぼ平行な流れ: 流れが主に一方向で、細長い物体を流れるような小さな偏差がある場合、方程式全体はさらに簡略化できます。 を主流とし、この速度場からの小さな偏差を考えます。対応する速度ポテンシャルは次のように表すことができます。 ここで、 は 均一な流れからの小さな逸脱を特徴付け、方程式全体の線形化バージョンを満たします。これは次のように表されます。
あなた
e
x
{\displaystyle U\mathbf {e} _{x}}
φ
=
x
U
+
ϕ
{\displaystyle \varphi =xU+\phi }
ϕ
{\displaystyle \phi }
(
1
−
M
2
)
∂
2
ϕ
∂
x
2
+
∂
2
ϕ
∂
y
2
+
∂
2
ϕ
∂
z
2
=
0
{\displaystyle (1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0}
ここで、は一様流に対応する 定数 マッハ数 である。この式は、が1に近くない 場合に有効である。 が小さい場合（遷音速流）、次の非線形方程式が成り立つ [4]。
M
=
U
/
c
∞
{\displaystyle M=U/c_{\infty }}
M
{\displaystyle M}
|
M
−
1
|
{\displaystyle |M-1|}
2
α
∗
∂
ϕ
∂
x
∂
2
ϕ
∂
x
2
=
∂
2
ϕ
∂
y
2
+
∂
2
ϕ
∂
z
2
{\displaystyle 2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}
ここで、 は ランダウ微分 [6] [7] の臨界値であり 、 は 比容積である。遷音速流は単一のパラメータ によって完全に特徴付けられ 、ポリトロープ気体の場合、その値は となる 。 ホドグラフ 変換により、2次元の遷音速方程式は オイラー・トリコミ方程式 となる。
α
∗
{\displaystyle \alpha _{*}}
α
=
(
c
4
/
2
υ
3
)
(
∂
2
υ
/
∂
p
2
)
s
{\displaystyle \alpha =(c^{4}/2\upsilon ^{3})(\partial ^{2}\upsilon /\partial p^{2})_{s}}
υ
=
1
/
ρ
{\displaystyle \upsilon =1/\rho }
α
∗
{\displaystyle \alpha _{*}}
α
∗
=
α
=
(
γ
+
1
)
/
2
{\displaystyle \alpha _{*}=\alpha =(\gamma +1)/2}
不安定な流れ 非定常流の連続性と（ポテンシャル流）運動量方程式は次のように表される。
∂
ρ
∂
t
+
ρ
∇
⋅
v
+
v
⋅
∇
ρ
=
0
,
∂
v
∂
t
+
(
v
⋅
∇
)
v
=
−
1
ρ
∇
p
=
−
c
2
ρ
∇
ρ
=
−
∇
h
.
{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho =-\nabla h.}
（ポテンシャルフロー）運動量方程式の第一積分は次のように与えられる。
∂
φ
∂
t
+
v
2
2
+
h
=
f
(
t
)
,
⇒
∂
h
∂
t
=
−
∂
2
φ
∂
t
2
−
1
2
∂
v
2
∂
t
+
d
f
d
t
{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {v^{2}}{2}}+h=f(t),\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}+{\frac {df}{dt}}}
ここで は 任意の関数である。 は 一意に定義されない
ので、一般性を失うことなく と設定できる。これらの式を組み合わせると、
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
f
(
t
)
=
0
{\displaystyle f(t)=0}
φ
{\displaystyle \varphi }
∂
2
φ
∂
t
2
+
1
2
∂
v
2
∂
t
=
c
2
∇
⋅
v
−
v
⋅
(
v
⋅
∇
)
v
.
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}=c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} .}
ここで代入すると 、
v
=
∇
φ
{\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }
φ
t
t
+
1
2
(
φ
x
2
+
φ
y
2
+
φ
z
2
)
t
=
(
c
2
−
φ
x
2
)
φ
x
x
+
(
c
2
−
φ
y
2
)
φ
y
y
+
(
c
2
−
φ
z
2
)
φ
z
z
−
2
(
φ
x
φ
y
φ
x
y
+
φ
y
φ
z
φ
y
z
+
φ
z
φ
x
ϕ
z
x
)
.
{\displaystyle \varphi _{tt}+{\frac {1}{2}}(\varphi _{x}^{2}+\varphi _{y}^{2}+\varphi _{z}^{2})_{t}=(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx}).}
ほぼ平行な流れ: 前述のように、ほぼ平行な流れの場合、(再スケールされた時間を導入した後 )
次のように書くことができます。
τ
=
c
∞
t
{\displaystyle \tau =c_{\infty }t}
∂
2
ϕ
∂
τ
2
+
M
∂
2
ϕ
∂
x
∂
τ
=
(
1
−
M
2
)
∂
2
ϕ
∂
x
2
+
∂
2
ϕ
∂
y
2
+
∂
2
ϕ
∂
z
2
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+M{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=(1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}
ただし、一定のマッハ数が 1に近くない場合、 小さい場合（遷音速流）、次の非線形方程式が成り立ちます [4]
M
{\displaystyle M}
|
M
−
1
|
{\displaystyle |M-1|}
∂
2
ϕ
∂
τ
2
+
∂
2
ϕ
∂
x
∂
τ
=
−
2
α
∗
∂
ϕ
∂
x
∂
2
ϕ
∂
x
2
+
∂
2
ϕ
∂
y
2
+
∂
2
ϕ
∂
z
2
.
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=-2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}.}
音波：音波 では、速度の大きさ （またはマッハ数）は非常に小さいが、不安定項は方程式の他の主要な項と同程度である。したがって、すべての2次項と高次の項を無視し、同じ近似で が 定数であることに注意すると（たとえば、ポリトロープ気体 ）、次の式が得られます。 [8] [4]
v
{\displaystyle v}
c
{\displaystyle c}
c
2
=
(
γ
−
1
)
h
0
{\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)h_{0}}
∂
2
φ
∂
t
2
=
c
2
∇
2
φ
,
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\varphi ,}
これは速度ポテンシャル φ の線形 波動方程式です。ここでも、速度ベクトル v の振動部分は 速度ポテンシャルと v = ∇ φ で関連しており、前と同様に Δ は ラプラス演算子 、 c は 均質媒体 内の平均音速です。この近似では、 圧力 p と 密度 ρ の振動部分もそれぞれ個別に波動方程式を満たすことに注意してください 。
適用範囲と制限 ポテンシャル流は、現実世界で遭遇する流れのすべての特性を網羅しているわけではない。ポテンシャル流理論は、 近接したプレート間の流れ を除いて 、粘性 内部流には適用できない [1] 。 リチャード・ファインマンは、 ポテンシャル流は非物理的であるため、仮定に従う唯一の流体は「乾いた水」である（ジョン・フォン・ノイマンを引用）。 [9]非圧縮ポテンシャル流は、 ダランベールのパラドックス など、多くの無効な予測も行う。ダランベールのパラドックス は、静止している無限の流体中を移動する物体の抗力はゼロであると主張する。 [10] より正確には、ポテンシャル流は 境界層 を含む流れの挙動を説明できない。 [1] それでも、ポテンシャル流を理解することは、流体力学の多くの分野で重要である。特に、 自由渦 や点源などの単純なポテンシャル流（ 基本流と呼ばれる）には、すぐに解析解が得られる。これらの解を 重ね合わせる と、さまざまな境界条件を満たすより複雑な流れを作成 できる。 これらの流れは、流体力学全体にわたって現実の流れと密接に対応しています。さらに、観測された流れと対応するポテンシャル流れとの間の偏差（多くの場合、わずか）を考慮すると、多くの貴重な洞察が生まれます。ポテンシャル流れは、航空機設計などの分野で多くの用途があります。たとえば、 数値流体力学では、 境界層 外部のポテンシャル流れの解を境界層内部の 境界層方程式 の解に結合するという手法があります。境界層の影響がないということは、流れ場を変えることなく、任意の流線を固体境界に置き換えることができることを意味し、これは多くの空力設計アプローチで使用されている手法です。もう 1 つの手法は、 リアブチンスキー固体 の使用です 。 [ 疑わしい – 議論する ]
2次元非圧縮流れの解析 2次元のポテンシャルフローは、 複素平面 の 変換 を使用した 等角写像 を使用して簡単に解析できます。ただし、たとえば円筒を通過する流体の流れの古典的な解析のように、複素数を使用する必要はありません。3 次元で 複素数を 使用してポテンシャルフローを解くことはできません。 [11]
基本的な考え方は、 物理領域 ( x 、 y ) を変換された領域 ( φ 、 ψ )にマッピングする 正則関数 ( 解析関数 とも呼ばれる) または 有理型関数 f を使用することです。 x 、 y 、 φ 、 ψ は すべて 実数値 ですが 、複素量を定義すると便利です。
z
=
x
+
i
y
,
and
w
=
φ
+
i
ψ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\,,{\text{ and }}&w&=\varphi +i\psi \,.\end{aligned}}}
ここで写像 fを [11] のように書くと、
f
(
x
+
i
y
)
=
φ
+
i
ψ
,
or
f
(
z
)
=
w
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+iy)&=\varphi +i\psi \,,{\text{ or }}&f(z)&=w\,.\end{aligned}}}
そして、 fは正則関数または有理型関数であるため、 コーシー・リーマン方程式 [11] を満たす必要がある。
∂
φ
∂
x
=
∂
ψ
∂
y
,
∂
φ
∂
y
=
−
∂
ψ
∂
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,,&{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}&=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}}
（ x 、 y ） 方向の 速度成分 （ u 、 v ）は、それぞれ z について微分することで f から直接得ることができる 。つまり [11]
d
f
d
z
=
u
−
i
v
{\displaystyle {\frac {df}{dz}}=u-iv}
したがって速度場 v = ( u , v )は [11] で定義される。
u
=
∂
φ
∂
x
=
∂
ψ
∂
y
,
v
=
∂
φ
∂
y
=
−
∂
ψ
∂
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},&v&={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}}
φ と ψは 両方とも ラプラス方程式 を満たす ： [11]
Δ
φ
=
∂
2
φ
∂
x
2
+
∂
2
φ
∂
y
2
=
0
,
and
Δ
ψ
=
∂
2
ψ
∂
x
2
+
∂
2
ψ
∂
y
2
=
0
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=0\,,{\text{ and }}&\Delta \psi &={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0\,.\end{aligned}}}
したがって、 φは 速度ポテンシャルとして識別され、 ψは 流れ関数 と呼ばれます 。 [11] 定数 ψの線は 流線 として知られ、定数 φ の線は 等電位線として知られています（ 等電位面を 参照）。
流線と等電位線は互いに直交している。 [11]
∇
φ
⋅
∇
ψ
=
∂
φ
∂
x
∂
ψ
∂
x
+
∂
φ
∂
y
∂
ψ
∂
y
=
∂
ψ
∂
y
∂
ψ
∂
x
−
∂
ψ
∂
x
∂
ψ
∂
y
=
0
.
{\displaystyle \nabla \varphi \cdot \nabla \psi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}=0\,.}
したがって流れは定数ψ の線に沿って発生し、定数 φ の線に対して直角に発生する 。 [11]
Δ ψ = 0 も満たされ、この関係は ∇ × v = 0 と同等です。したがって、流れは非回転です。自動条件 ∂ 2 Ψ / ∂x ∂y は 、 = ∂ 2 Ψ / ∂y ∂x すると、非圧縮性制約 ∇ · v = 0 が与えられます。
2次元非圧縮流れの例 f には任意の微分可能関数を使用できます 。次の例ではさまざまな 基本関数 を使用していますが、 特殊関数 も使用できます。 自然対数 などの 多値関数も使用できますが、単一の リーマン面 に限定する必要があることに注意してください 。
べき乗則
べき乗則 w = Az n の等角写像の例（べき乗 n の異なる値について）。 z 平面が表示され、定電位 φ と流れ関数 ψ の線が表示され、 w = φ + iψ です。
次のべき乗 法則等角写像を適用する 場合、 z = x + iyから w = φ + iψ まで ： [12]
w
=
A
z
n
,
{\displaystyle w=Az^{n}\,,}
次に、 zを 極座標で z = x + iy = re iθ と書くと、 [12]
φ
=
A
r
n
cos
n
θ
and
ψ
=
A
r
n
sin
n
θ
.
{\displaystyle \varphi =Ar^{n}\cos n\theta \qquad {\text{and}}\qquad \psi =Ar^{n}\sin n\theta \,.}
右の図には、 n のいくつかの値が示されています。黒い線は流れの境界で、濃い青の線は流線、薄い青の線は等電位線です 。n の 興味深いべき乗には次のようなものがあります: [12]
n = 1 / 2 : これは半無限板の周りの流れに対応し、 n = 2 / 3 : 右コーナーを回り、 n = 1 : 一様流の単純なケース、 n = 2 : コーナーまたはよどみ点付近を流れ、 n = −1 : ソースダブレットによるフロー 定数 A はスケーリング パラメーターです。その 絶対値 | A | によってスケールが決定され、 引数 arg( A ) によって回転が導入されます (ゼロ以外の場合)。
w = Az 1 、つまり n = 1 のべき乗則の場合 、流線（つまり定数 ψの線）は x 軸に平行な直線のシステムになります 。これは、実数部と虚数部で書くと最も簡単にわかります。
f
(
x
+
i
y
)
=
A
(
x
+
i
y
)
=
A
x
+
i
A
y
{\displaystyle f(x+iy)=A\,(x+iy)=Ax+iAy}
したがって、 φ = Ax および ψ = Ay となります。この流れは、 x 軸に平行な 均一な流れ として解釈できます 。
べき乗則 2 の 場合 n = 2 の場合には 、 w = Az 2 となり、 ψ の特定の値に対応する流線 は、
ψ
=
A
r
2
sin
2
θ
,
{\displaystyle \psi =Ar^{2}\sin 2\theta \,,}
これは直角双曲線 の系です 。これは、実数部と虚数部を使って再度書き直すことで確認できます。 sin 2 θ = 2 sin θ cos θ であることに注目し、 sin θ = と書き直すと、 ええ / r そして cos θ = x / r （簡略化すると）流線は次のように表されることがわかる。
ψ
=
2
A
x
y
.
{\displaystyle \psi =2Axy\,.}
速度場は ∇ φ で与えられる、または
(
u
v
)
=
(
∂
φ
∂
x
∂
φ
∂
y
)
=
(
+
∂
ψ
∂
y
−
∂
ψ
∂
x
)
=
(
+
2
A
x
−
2
A
y
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\[2px]{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\partial \psi \over \partial y}\\[2px]-{\partial \psi \over \partial x}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+2Ax\\[2px]-2Ay\end{pmatrix}}\,.}
流体力学では、原点付近の流れ場は よどみ点 に対応します。原点の流体は静止していることに注意してください（これは、 z = 0 で f (z) = z 2 を微分するとわかります）。 ψ = 0 の 流線は特に興味深いもので、座標軸、つまり x = 0 と y = 0に沿って 2 つ（または 4 つ）の枝があります。 x 軸 を横切る流体はないため、 x軸は固体境界として扱うことができます。したがって、 y < 0 である下半平面の流れを無視し、上半平面の流れに焦点を当てることができます。この解釈では、流れは、水平な平板に衝突する垂直方向のジェットの流れです。（たとえば） x 、 y < 0 で指定された領域を無視すると、流れは 90 度の角への流れとして解釈することもできます 。
べき乗則 3 の 場合 n = 3 の場合、結果として生じる流れは、上で検討した n = 2 の場合の一種の六角形バージョンになります。流線は ψ = 3 x 2 y − y 3 で与えられ 、この場合の流れは 60° コーナーへの流れとして解釈できます。
べき乗則 1 = −1 です : ダブレット n = −1 の場合 、流線は次のように表される。
ψ
=
−
A
r
sin
θ
.
{\displaystyle \psi =-{\frac {A}{r}}\sin \theta .}
これは、実数部と虚数部の観点から見るとより簡単に解釈できます。
ψ
=
−
A
y
r
2
=
−
A
y
x
2
+
y
2
,
x
2
+
y
2
+
A
y
ψ
=
0
,
x
2
+
(
y
+
A
2
ψ
)
2
=
(
A
2
ψ
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi ={\frac {-Ay}{r^{2}}}&={\frac {-Ay}{x^{2}+y^{2}}}\,,\\x^{2}+y^{2}+{\frac {Ay}{\psi }}&=0\,,\\x^{2}+\left(y+{\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}&=\left({\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}\,.\end{aligned}}}
したがって、流線は 原点で x 軸に接する 円です。したがって、上半平面の円は時計回りに流れ、下半平面の円は反時計回りに流れます。速度成分は r −2 に比例し、原点での値は無限大であることに注意してください。この流れのパターンは通常、ダブレット または ダイポール と呼ばれ 、無限の強さを持つソースとシンクのペアが無限に小さい距離に保たれた組み合わせとして解釈できます。速度場は次のように与えられます。
(
u
,
v
)
=
(
∂
ψ
∂
y
,
−
∂
ψ
∂
x
)
=
(
A
y
2
−
x
2
(
x
2
+
y
2
)
2
,
−
A
2
x
y
(
x
2
+
y
2
)
2
)
.
{\displaystyle (u,v)=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)=\left(A{\frac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}},-A{\frac {2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right)\,.}
または極座標では:
(
u
r
,
u
θ
)
=
(
1
r
∂
ψ
∂
θ
,
−
∂
ψ
∂
r
)
=
(
−
A
r
2
cos
θ
,
−
A
r
2
sin
θ
)
.
{\displaystyle (u_{r},u_{\theta })=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)=\left(-{\frac {A}{r^{2}}}\cos \theta ,-{\frac {A}{r^{2}}}\sin \theta \right)\,.}
べき乗則 2 = −2 の場合 : 四重極 n = −2 の場合 、流線は次のように表される。
ψ
=
−
A
r
2
sin
2
θ
.
{\displaystyle \psi =-{\frac {A}{r^{2}}}\sin 2\theta \,.}
これは四重極子 に関連する流れ場である 。 [13]
ラインソースとシンク 強度の線源または線シンク （ ソースの場合は線源、 シンクの場合は線シンク）は、ポテンシャルによって与えられる。
Q
{\displaystyle Q}
Q
>
0
{\displaystyle Q>0}
Q
<
0
{\displaystyle Q<0}
w
=
Q
2
π
ln
z
{\displaystyle w={\frac {Q}{2\pi }}\ln z}
ここで、 実際には、ソースまたはシンクを囲む表面を横切る単位長さあたりの体積流束です。極座標での速度場は、
Q
{\displaystyle Q}
u
r
=
Q
2
π
r
,
u
θ
=
0
{\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{2\pi r}},\quad u_{\theta }=0}
つまり、純粋な放射状の流れです。
ライン渦 線渦の強さは 次のように表される。
Γ
{\displaystyle \Gamma }
w
=
Γ
2
π
i
ln
z
{\displaystyle w={\frac {\Gamma }{2\pi i}}\ln z}
ここで、渦を囲む任意の単純な閉曲線の周りの 循環 である 。極座標における速度場は
Γ
{\displaystyle \Gamma }
u
r
=
0
,
u
θ
=
Γ
2
π
r
{\displaystyle u_{r}=0,\quad u_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}
つまり、純粋に方位角方向の流れです。
3次元非圧縮流れの解析 3次元の流れの場合、複雑なポテンシャルを得ることはできません。
ポイントソースとシンク 球面極座標における
点源または点シンクの強度 （ 源については 、シンクについては ）の速度ポテンシャルは次のように表される。
Q
{\displaystyle Q}
Q
>
0
{\displaystyle Q>0}
Q
<
0
{\displaystyle Q<0}
ϕ
=
−
Q
4
π
r
{\displaystyle \phi =-{\frac {Q}{4\pi r}}}
ここで、 実際には、ソースまたはシンクを囲む閉じた表面を横切る体積流束です。球面極座標における速度場は、
Q
{\displaystyle Q}
u
r
=
Q
4
π
r
2
,
u
θ
=
0
,
u
ϕ
=
0.
{\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{4\pi r^{2}}},\quad u_{\theta }=0,\quad u_{\phi }=0.}
参照
注記
^ abc バチェラー（1973）378-380頁。 ^ カービー、BJ（2010）、マイクロおよびナノスケール流体力学：マイクロ流体デバイスにおける輸送、ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 978-0-521-11903-0 ^ abc バチェラー（1973）99-101頁。 ^ abcde Landau, LD, & Lifshitz, EM (2013). 流体力学: Landau And Lifshitz: 理論物理学講座、第6巻 (第6巻). Elsevier. セクション114、436ページ。 ^アンダーソン 、 JD (2002)。 現代の圧縮性流れ 。マグロウヒル。pp. 358– 359。ISBN 0-07-242443-5 。 ^ 1942年、Landau, LD「衝撃波について」J. Phys. USSR 6 229-230 ^ Thompson, PA (1971). 気体力学における基本的な微分。流体物理学、14(9), 1843-1849。 ^ ラム（1994）§287、pp.492-495。 ^ ファインマン、RP ; レイトン、RB ; サンズ、M. (1964)、 ファインマン物理学講義 、第2巻、アディソン・ウェズリー 、p. 40-3。第40章のタイトルは「 乾いた水の流れ」 です。 ^ バチェラー（1973）404-405頁。 ^ abcdefghi バチェラー (1973) 106–108ページ。 ^ abc バチェラー（1973）409-413頁。 ^ Kyrala, A. (1972). 複素変数の応用関数 . Wiley-Interscience. pp. 116– 117. ISBN 9780471511298 。
参考文献 バチェラー、GK （1973）、 流体力学入門 、ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 0-521-09817-3 Chanson, H. (2009)、応用流体力学：理想流体と実流体の入門、CRC Press、Taylor & Francis Group、ライデン、オランダ、478ページ、 ISBN 978-0-415-49271-3 ラム、H. (1994) [1932]、 流体力学 （第6版）、ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 978-0-521-45868-9 ミルン・トムソン、LM (1996) [1968]、 理論流体力学 （第5版）、ドーバー、 ISBN 0-486-68970-0
さらに読む Chanson, H. (2007)、「Lepotentiel de vitesse pour les écoulements de fludes réels: la courtesy de Joseph-Louis Lagrange [実際の流体の流れにおける速度ポテンシャル: Joseph-Louis Lagrange の貢献]」、 La Houille Blanche (フランス語) 、 93 (5): 127–131 、 ビブコード :2007LHBl...93..127C、 土井 : 10.1051/lhb:2007072 Wehausen, JV ; Laitone, EV (1960)、「表面波」、 Flügge, S. ; Truesdell, C. (編)、Encyclopedia of Physics、第 IX 巻、Springer Verlag、pp. 446– 778、2009 年 1 月 5 日にオリジナルからアーカイブ、 2009 年 3 月 29 日 に取得
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、ポテンシャルフロー に関連するメディアがあります 。
「非粘性流体の非回転流れ」。 ジェノヴァ大学 工学部。 2009年3月29日 閲覧 。 「コンフォーマル マップ ギャラリー」。3D-XplorMath。2009 年 3 月 29 日 閲覧 。 — 等角地図を探索するためのJavaアプレット 潜在的フローの可視化 - インタラクティブ Web アプリ
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\[2px]{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\partial \psi \over \partial y}\\[2px]-{\partial \psi \over \partial x}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+2Ax\\[2px]-2Ay\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4b9c7c089cdb5f03b26cc8ca14663e89500d586)
