レイリーフロー

流体力学において、レイリー流(英国の物理学者レイリー卿にちなむ)とは、熱伝達の効果が考慮された 、一定面積のダクトを通る摩擦のない非断熱流体の流れを指します。レイリー流モデルは非圧縮性の流れにももちろん適用されますが、圧縮性の影響がしばしば考慮されます。このモデルでは、ダクト面積は一定のままで、ダクト内に質量は追加されません。したがって、ファノ流とは異なり、よどみ点温度は変数です。熱の追加によりよどみ点圧力が低下します。これはレイリー効果として知られ、燃焼システムの設計で重要です。熱の追加により、超音速および亜音速のマッハ数がマッハ1に近づき、チョーク流が発生します。逆に、熱の除去により、ダクトに沿って亜音速マッハ数が 減少し、超音速マッハ数が増加

レイリー流れモデルは、マッハ数の変化とよどみ点温度T _{0の変化を関連付ける}微分方程式から始まります。微分方程式を以下に示します。

${\displaystyle \ {\frac {dM^{2}}{M^{2}}}={\frac {1+\gamma M^{2}}{1-M^{2}}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right){\frac {dT_{0}}{T_{0}}}}$

微分方程式を解くと、以下に示す関係が得られます。ここで、T ₀ * は、流れを熱的に絞るために必要な、ダクトのスロート位置でのよどみ温度です。

${\displaystyle \ {\frac {T_{0}}{T_{0}^{*}}}={\frac {2\left(\gamma +1\right)M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}$

これらの値は、燃焼システムの設計において重要です。たとえば、ターボジェット燃焼室の最高温度が T ₀ * = 2000 K の場合、燃焼室の入口の T ₀と M は、熱によるチョークが発生しないように選択する必要があります。熱によるチョークが発生すると、エンジンへの空気の質量流量が制限され、推力が低下します。

レイリーフローモデルの場合、エントロピー関係の無次元変化は以下に示されます。

${\displaystyle \ \Delta S={\frac {\Delta s}{c_{p}}}=\ln \left[M^{2}\left({\frac {\gamma +1}{1+\gamma M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{\gamma }}\right]}$

上記の式は、マッハ数対 ΔS グラフにレイリー線をプロットするのに使用できますが、無次元エンタルピー H 対 ΔS ダイアグラムの方がより頻繁に使用されます。無次元エンタルピー式は、一定圧力での熱容量c _pが一定である熱量的に完全なガスのチョーク位置での静的温度と値の関係を示す式とともに、以下に示されています。

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {h}{h^{*}}}={\frac {c_{p}T}{c_{p}T^{*}}}={\frac {T}{T^{*}}}\\{\frac {T}{T^{*}}}&={\frac {\left(\gamma +1\right)^{2}M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}$

上記の式を操作して、M を H の関数として解くことができます。ただし、T/T* 式の形式により、M = M(T/T*) という複雑な多根関係が形成されます。代わりに、M を独立変数として選択し、ΔS と H を図 1 に示すようなチャートで対応させることができます。図 1 は、加熱により上流の亜音速マッハ数が M = 1.0 になって流れが詰まるまで増加することを示しています。逆に、上流の超音速マッハ数を持つダクトに熱を加えると、マッハ数が減少して流れが詰まるまで減少します。冷却では、これら 2 つのケースのそれぞれで逆の結果になります。レイリー流れモデルは、M = 1.0 で最大エントロピーに達します。亜音速流の場合、H の最大値は M = 0.845 で発生します。これは、加熱ではなく冷却によってマッハ数が 0.845 から 1.0 に変化することを示しています。流れを亜音速マッハ数から M = 1 に動かすにはよどみ点温度が常に上昇するため、必ずしも正しいわけではありませんが、M = 0.845 から M = 1.0 では流れは熱が加えられるよりも速く加速します。したがって、この状況では熱は加えられますが、その領域では T/T* は減少します。

レイリー流れでは、面積と質量流量は一定に保たれます。ファノ流れとは異なり、ファニング摩擦係数fは一定のままです。これらの関係は、チョークが発生する可能性があるスロート位置を表す * 記号とともに以下に示されています。

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=A^{*}={\mbox{constant}}\\{\dot {m}}&={\dot {m}}^{*}={\mbox{constant}}\\\end{aligned}}}$

微分方程式を展開して解くことで、チョーク位置の値に対するレイリー流れ特性比を記述することもできます。圧力、密度、静温度、速度、よどみ点圧力の比率をそれぞれ以下に示します。これらは、前のセクションのよどみ点温度比の式とともにグラフで表されます。よどみ点特性には、下付き文字「0」が含まれます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p}{p^{*}}}&={\frac {\gamma +1}{1+\gamma M^{2}}}\\{\frac {\rho }{\rho ^{*}}}&={\frac {1+\gamma M^{2}}{\left(\gamma +1\right)M^{2}}}\\{\frac {T}{T^{*}}}&={\frac {\left(\gamma +1\right)^{2}M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\\{\frac {v}{v^{*}}}&={\frac {\left(\gamma +1\right)M^{2}}{1+\gamma M^{2}}}\\{\frac {p_{0}}{p_{0}^{*}}}&={\frac {\gamma +1}{1+\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\end{aligned}}}$

レイリー流モデルは、多くの分析用途がありますが、最も顕著なのは航空機エンジンに関連しています。たとえば、ターボジェット エンジン内の燃焼室は通常、面積が一定で、燃料質量の追加はごくわずかです。これらの特性により、レイリー流モデルは、熱の追加によって空気と燃料の混合物が分離しないという前提で、フロー スルー燃焼への熱の追加に適用できます。熱によるチョークによりエンジンの燃焼室内に衝撃波が発生すると、質量流量と推力が低下するため、非常に望ましくありません。したがって、レイリー流モデルは、エンジンのダクト形状と燃焼温度の初期設計に不可欠です。

レイリー流モデルは、ファノ流モデルとともに広く使用されています。これらの 2 つのモデルは、エンタルピー - エントロピー図およびマッハ数 - エントロピー図上の点で交差しており、多くのアプリケーションで意味があります。ただし、各モデルのエントロピー値は、音速状態では等しくありません。各モデルで M = 1 のときのエントロピーの変化は 0 ですが、前のステートメントは、同じ任意の点から音速点までのエントロピーの変化がファノ流モデルとレイリー流モデルで異なることを意味します。s _iと M _iの初期値が定義されている場合、各モデルに対して無次元エントロピーとマッハ数の新しい方程式を定義できます。これらの方程式は、それぞれファノ流とレイリー流について以下に示されています。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta S_{F}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=ln\left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right]\\\Delta S_{R}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=ln\left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{2}\left({\frac {1+\gamma M_{i}^{2}}{1+\gamma M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{\gamma }}\right]\end{aligned}}}$

_{図 3 は、s i} = 0 および M _i = 3.0の初期条件でレイリー線とファノ線が交差している様子を示しています。交差点は、新しい無次元エントロピー方程式を互いに等しくすることで計算され、以下の関係が得られます。

${\displaystyle \ \left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}\right)\left[{\frac {M_{i}^{2}}{\left(1+\gamma M_{i}^{2}\right)^{2}}}\right]=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\left[{\frac {M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\right]}$

交差点は、与えられた初期マッハ数とその法線衝撃後の値で発生します。図 3 の場合、これらの値は M = 3.0 と 0.4752 であり、ほとんどの圧縮性流れの教科書に記載されている法線衝撃表に記載されています。ダクト面積が一定の特定の流れは、これらのポイントでレイリー モデルとファノ モデルを切り替えることができます。

• ファノフロー
• 大量注入フロー
• 等エントロピー過程
• 等温流
• ガス力学
• 圧縮性流れ
• 流れが詰まる
• エンタルピー
• エントロピ

• ストラット、ジョン・ウィリアム（レイリー卿）（1910）。「有限振幅の空中平面波」。Proc . R. Soc. Lond. A. 84 （ 570）：247–284。Bibcode ：1910RSPSA..84..247R。doi ：10.1098/rspa.1910.0075。、また、以下でも：
  • ドーバー編 (1964)。レイリー卿 (ジョン・ウィリアム・ストラット) の科学論文。第 5 巻。pp. 573–610。
• Zucker, Robert D.; Biblarz O. (2002) 「第 10 章 レイリー流」気体力学の基礎. John Wiley & Sons . pp. 277–313. ISBN 0-471-05967-6。
• シャピロ、アッシャー H. (1953)。圧縮性流体の流れのダイナミクスと熱力学、第 1 巻。ロナルド プレス。ISBN 978-0-471-06691-0。
• Hodge, BK ; Koenig K. (1995)。圧縮性流体力学とパーソナルコンピュータアプリケーション。Prentice Hall。ISBN 0-13-308552-X。
• エマニュエル、G. (1986)。「第8.2章 レイリー流」。気体力学：理論と応用。AIAA。pp . 121–133。ISBN 0-930403-12-6。

ウィキメディア・コモンズには、レイリー流れに関連するメディアがあります。

• パーデュー大学レイリーフロー計算機
• ケンタッキー大学 レイリーフロー Web計算機